2026年中考数学重难点一轮复习：不等式与不等式组

2026年中考数学重难点一轮复习：不等式与不等式组 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式变形正确的是（    ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 4．下列对情境“一辆中巴车限乘20人（含司机1人），现在车上载有名旅客，中途又有2名旅客上车，车上还有一些空座”中数量关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列判断中，错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（    ）． A．2 B．7 C．11 D．10 7．如果关于x的方程的解不是负数，那么a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知x，y，m满足，且y为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．若不等式组的解 为，则值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．把关于的不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 11．某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 18 months．如果用x（单位：月）表示Eatable Date（保质期），那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ． 12．如图，数轴上的点、分别表示实数、，则 ．（填“>”、“=”或“<”） 13．不等式组的解集是 ． 14．凤中初一某班有若干名学生参加研学活动，分住若干个宿舍，若每间宿舍住6人，则还余10人无房间可住；若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，该班参加研学的学生共有 人． 15．小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边“■”处被墨迹污染看不清，所看到的不等式是：1－3x<■，他查看练习本后的答案才知道这个不等式的解集是x>5，那么被污染的数是 ． 16．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 17．点在第三象限内，则整数的值为 ． 18．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 三、解答题 19．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 20．解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上， 21．小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？ 22．某学校准备组织290名学生进行野外考察活动，共有100件行李，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李， （1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案； （2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 23．学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元． (1)一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 24．遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． (1)求，型设备单价分别是多少元？ (2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．根据解一元一次不等式的方法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 故选：A． 2．D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A．∵，∴，故不符合题意； B．∵，∴，故不符合题意； C．∵，∴，故不符合题意； D．∵，，∴，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3．B 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：A、不等式两边都除以，不等号的方向改变，原变形错误，故该选项不符合题意； B、由，可得，原变形正确，故该选项符合题意； C、当为负数时，则，原变形错误，故该选项不符合题意； D、不等式两边都减去3，不等号的方向不变，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据中巴车限乘总人数（含司机）和实际载客量的关系建立不等式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 5．C 【分析】两个大于0的数的积也大于0，因此，若m＞0，n＞0，则mn＞0；若m＜n，则﹣3m＞﹣3n，所以2﹣3m＞2﹣3n；若m＜n，7m＜7n，两个负数，去掉负号大的数添上负号反而小，因此，若m＜n，则﹣7m＞﹣7n；若m＜n，根据不等式的性质，两个不相同的数除以一个大于0的数，原来大的还大，即若m＜n，． 【详解】解：因为m＞0，n＞0，所以则mn＞0．A正确； 因为m＜n，所以﹣3m＞﹣3n，所以2﹣3m＞2﹣3n，B正确； 因为m＜n，所以7m＜7n，所以﹣7m＞﹣7n，C错误； 因为m＜n，所以，D正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质和应用，要熟练掌握． 6．D 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得， 由解集为，得到，即， 方程去分母得：，即， 由为非负整数，结合且为整数， ∴或， ∴符合条件的所有整数m的积为， 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．B 【分析】本题首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是负数，可以得到一个关于a的不等式，就可以求出a的范围． 【详解】解：解方程， ∴ ∴， ∴， ∵方程的解不是负数， ． ． ， 即． 故选：B. 【点睛】本题考查了解一元一次方程与解不等式的综合题目，解题的关键是熟练掌握解方程和解不等式的方法，解关于x的不等式是本题的一个难点． 8．B 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围． 【详解】解：， ，， ，， 为正数， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 9．C 【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 若不等式组解为， ，且， 解得：，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强． 10． 【详解】解：由图可知：x＞1．故答案为x＞1． 11．． 【分析】将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可． 【详解】解∶一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．此题是一道与生活联系紧密的题目，解答起来较容易． 12． 【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：由图可得：， 由不等式的性质得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 13． 【分析】求出每个不等式的解集，然后根据口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出解集即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能准确解出每个不等式是基础，掌握口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是关键． 14． 【分析】设有间宿舍，则学生有人，若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，说明学生住满间，还剩的人数大于4小于8，可列出不等式求解即可得出答案． 【详解】解：设有间宿舍，则学生有人 由题意，得 解得 宿舍间数只能是整数 该班参加研学的学生共有人 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 15．-14 【详解】分析：设被污染的数为a，表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a的值即可． 详解：设被污染的数为a，不等式为1﹣3x＜a．     解得：x＞，由已知解集为x＞5，得到：=5，解得：a=﹣14．      故答案为﹣14． 点睛：本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的求法是解答本题的关键． 16． 【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解是负数，即， 所以， ， ， 故答案为：． 17．2 【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键．根据第三象限内的点的横、纵坐标均小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点在第三象限内， ∴， 解得， 则整数的值为2， 故答案为：2． 18．9 【分析】根据点关于轴的对称点在第三象限，建立不等式组，求得解集确定a的取值范围，再根据分式方程的非负整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，后计算绝对值的和即可得结论． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第三象限， ∴对称点的坐标为， ∴， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合的解是非负整数解的有， ∴符合条件的所有整数a的绝对值和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的对称，不等式组的解集、分式方程的解，绝对值的计算，解决本题的关键是根据不等式组的解集及分式方程的解确定a的取值范围． 19． 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 20．；见解析 【分析】本题主要考查解不等式并在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，可解不等式，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 21．小明至少答对18道题才能获得奖品. 【详解】试题分析：设小明答对x道题，根据“共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品”，列出不等式，解不等式即可. 试题解析： 设小明答对x道题，根据题意得， 6x-2（25-x）>90 解这个不等式得，， ∵x为非负整数 ∴x至少为18 答：小明至少答对18道题才能获得奖品. 考点：一元一次不等式的应用. 22．（1）共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）第一种租车方案更省费用 【详解】（1）租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8－x）辆． 根据题意，得解得5≤x≤6． 因为x为整数，所以x＝5或6． 所以有两种租车方案，方案一：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；方案二：租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． （2）方案一的费用：5×2000＋3×1800＝15400（元）； 方案二的费用：6×2000＋2×1800＝15600（元）． 因为15600元＞15400元，所以方案一更省钱． 所以第一种租车方案最省钱，即学校应租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆． 23．(1)一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元 (2)当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元 【分析】（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元列二元一次方程组解答； （2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套．根据A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍列不等式求出m的取值范围，设总费用为w元，列出函数关系式，根据函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元． 依题意，得 解得 答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元． （2）解：设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套． 依题意，得，解得， 设总费用为w元． 依题意，得， ∵， ∴w值随着m值的增大而减小． ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程、不等式及函数关系式是解题的关键． 24．(1)，型设备单价分别是元． (2)，最少购买费用为元 【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是元． （2）设购买台型设备，则购买型设备台，依题意， ， 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为． 答：最少购买费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $