专题 1.20 锐角三角函数（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.20 锐角三角函数（学情检测卷） （检试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）计算的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．解题的关键是牢记特殊角的三角函数值，然后将其代入式子进行计算． 解： 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，求角的余弦值，掌握知识点是解题的关键． 先推导出是直角三角形，且，再根据余弦的定义求解即可． 解：由勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．由的值设，，利用勾股定理求，再根据的定义计算 解：∵在中，，若 ， ∴设，， 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 5．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，锐角三角函数，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰直角三角形的性质得，由三角函数可求，进而由解答即可求解， 解：，， ， ， ， ． 故选：． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解． 解：由旋转可得， 在中，，， ∴（米）． 故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关于x轴对称的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，先计算点P坐标 求其关于x轴对称点Q，再将Q绕原点顺时针旋转，利用全等得点R坐标． 解：∵， ， ∴ ， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用， 锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出图形，理解题意是解题的关键． 过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，分别求出F，D，E的坐标，根据勾股定理求出的长，利用三角函数求出的值，再求出的值，即可得答案． 解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E， 当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小， 整理得：，此时方程有两个相等的实数根， ， 解得：（舍去）， 直线为， 当时，，则；当时，，则；当时，，则， ， ， ， 过D作与C， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点为．下列结论：①；②；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质；由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；由，可得②符合题意，根据，可得，可得③不正确；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴，则，故②正确， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， ∴， ∴，， ∴，故③不正确； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）若是锐角，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键． 根据 的值得出，然后计算即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·月考）在中，三边之比为，则 ． 【答案】 【分析】根据判定三角形是直角三角形，根据三角函数的定义计算即可． ∵， 设， 且， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数的混合运算，正确运用勾股定理的逆定理，合理运算是解题的关键． 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，根据等边三角形的性质和菱形的性质，得到，，再利用锐角三角函数求出，进而得到，即可求出k的值． 解：过点C作轴于点E， ∵等边和菱形的边、都在x轴上，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，三角函数的应用，平行线的性质，求反比例函数解析式，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，点G是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及重心的性质．延长交于点D，过点D作于点E，根据重心的性质以及，可求出，从而得到，即可求解． 解：延长交于点D，过点D作于点E， ∵点G是的重心，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 16．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．（21-22九年级下·辽宁阜新·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据的坐标为和，确定等边三角形的边长，分别计算等边三角形的边长，设的边长为，则，找到的规律即可． 解：设到轴的距离为，到轴的距离为,则点的坐标为 点在直线 为等边三角形 设的边长为 ∴B2021B2022=a2021=×22021-1=22020 故答案为：22020． 【点睛】本题考查了正比例函数与坐标轴的夹角，特殊角的锐角三角函数，等边三角形的性质．找到的规律是解题的关键． 18．（2025学年第一学期期末考试九年级数学试题卷）如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查图形旋转的性质、相似三角形的判定及性质，过点作的平行线，交于点，设，，，根据图形旋转的性质可知，，，则，，根据，求得，根据，求得，结合，即可求得答案． 解：过点作的平行线，交于点，设，，． 根据图形旋转的性质可知，，． 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点． （1）根据，求出线段的长度，在Rt中由勾股定理即可求出的值，再在Rt中由勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义即可求出的值； （2）解法一：连接，过F作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．解法二：直接用三角形中位线定理求解即可． （1）， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． （2）解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 为等腰三角形， 又， 在中，， 一题多解法（2）如图，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 是的中位线， ， 在中，. 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔垂直于桥面，测角仪、在两侧，垂直于桥面，，点与点相距（点，，在桥面所在直线上），在处测得桥塔顶点的仰角为，在处测得桥塔顶点的仰角为．求桥塔的高度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】桥塔的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 连接交于点，则，由题意得，，再设，则，然后根据相等可得方程，求出解，最后根据得出答案． 解：如图，连接交于点，则， 由题意得：，， 设，则， 在中，， ． 在中，， ， ， 解得：， ， ， 桥塔的高度约为． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·重庆巫山·期末）某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的西北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米，米（参考数据：，） (1)求景点C、D之间的距离（结果保留根号） (2)小巫和小山在景点D游览后，小巫乘坐观光车沿路线从景点D到景点，小山步行沿路线从景点到景点．已知观光车的速度为每分钟260米，小山步行的速度为每分钟60米，两人同时出发，且中途均不停歇，小巫和小山谁先到景点B？请说明理由 【答案】(1)米 (2)小巫先到景点B，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及勾股定理是解题关键． （1）过点作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离； （2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小巫所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小山所用时间，比较两者的大小即可得到答案． （1）解：如图，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，米， 由题意：景点A在景点D的西北方向，景点B在景点C的北偏东方向， ，， 又米，米， （米）， 在中，（米）， 米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 即景点C、D的距离是米； （2）解：小巫先到景点B，理由如下： 在中，（米）， 小巫所用时间为（分钟）， 在中，（米）， 小山所用时间为（分钟）， ， 小巫先到景点B． 23．（本小题满分10分）（2025-2026学年上学期九年级数学调研试题）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，其顶点，均在轴上、顶点在反比例函数（）的图象上，． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正方形向右平移个单位长度得到正方形（），其边，分别与反比例函数的图象交于点，． ①如图2，当点与点重合时，连接，，，求的面积； ②如图3，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①先求出点，的坐标，再利用割补法求面积，计算即可； ②利用平移的性质，用含m的式子表示点、和的坐标，计算出、，根据正切函数列方程，解方程即可． （1）解：正方形的边长为3，， ， ， 正方形的边长为3， ， 将代入反比例函数， 得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）①由题可得：，，， 将代入，得，解得， ， 当时，， ， ； ②将正方形向右平移个单位长度得到正方形，，， ，，， ， ， 四边形为正方形， ， 在中， ， ，解得． 【点睛】本题考查反比例函数图象，函数和方程，正方形的性质，平移的性质，锐角三角函数等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，点分别是边上的动点，且． (1)如图1，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，三点在同一直线上．求证：． (2)如图2，在矩形中，已知，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】(1)见解析(2)①；②；(3) 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． （1）证明： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）解：①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）解：由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.20 锐角三角函数（学情检测卷） （检试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）计算的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 5．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点为．下列结论：①；②；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）若是锐角，，则 ． 12．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为 ． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·月考）在中，三边之比为，则 ． 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，点G是的重心，，，，则 ． 16．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么 ． 17．（21-22九年级下·辽宁阜新·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为 ． 18．（2025学年第一学期期末考试九年级数学试题卷）如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔垂直于桥面，测角仪、在两侧，垂直于桥面，，点与点相距（点，，在桥面所在直线上），在处测得桥塔顶点的仰角为，在处测得桥塔顶点的仰角为．求桥塔的高度（参考数据：，结果精确到）． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·重庆巫山·期末）某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的西北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米，米（参考数据：，） (1)求景点C、D之间的距离（结果保留根号） (2)小巫和小山在景点D游览后，小巫乘坐观光车沿路线从景点D到景点，小山步行沿路线从景点到景点．已知观光车的速度为每分钟260米，小山步行的速度为每分钟60米，两人同时出发，且中途均不停歇，小巫和小山谁先到景点B？请说明理由 23．（本小题满分10分）（2025-2026学年上学期九年级数学调研试题）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，其顶点，均在轴上、顶点在反比例函数（）的图象上，． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正方形向右平移个单位长度得到正方形（），其边，分别与反比例函数的图象交于点，． ①如图2，当点与点重合时，连接，，，求的面积； ②如图3，当时，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，点分别是边上的动点，且． (1)如图1，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，三点在同一直线上．求证：． (2)如图2，在矩形中，已知，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $