专题 1.19 锐角三角函数（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.19 锐角三角函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】锐角三角函数概念 2 【知识点二】特殊角的三角函数值 2 【知识点三】锐角三角函之间的关系 3 【知识点四】解直角三角形 3 【知识点五】解直角三角形的应用 3 二.题型分类精析 5 基础篇 5 【考点一】三角函数定义及函数值 5 【题型1】求三角函数值 5 【题型2】利用三角函数定义求边长 8 【考点二】特殊角的三角函数值 12 【题型3】特殊角的三角函数值与二次根式、分式（方程）、不等式的综合计算 12 【题型4】特殊角的三角函数值与几何综合问题 14 【考点三】解直角三角形及其应用 16 【题型5】仰角与俯角问题 16 【题型6】方位角问题 20 【题型7】坡角（度）坡比问题 24 培优篇 28 【考点四】三角函数与相似三角形综合 28 【题型8】三角函数与相似三角形综合 28 【考点五】三角函数与函数综合 34 【题型9】三角函数与反比例函数综合 34 【题型10】三角函数与二次例函数综合 40 【考点六】三角函数与圆综合 47 【题型11】三角函数与圆综合 47 三.中考真题专练 55 (一)单选题（10题） 55 （二）填空题（8题） 64 （三）解答题（6题） 72 一.知识梳理 【知识点一】锐角三角函数概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 【知识点二】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【知识点三】锐角三角函之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 【知识点四】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，，，，. 【知识点五】解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　拓展： 　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇 【考点一】三角函数定义及函数值 【题型1】求三角函数值 【★例题1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的正弦值是解题的关键，如图标记点，则是等腰直角三角形，，则． 解：如图标记点， 中，， ， ， 故选：C． 【★变式1】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【★★变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【★★变式3】（2025·天津·一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，由等边对等角结合对顶角相等可得，，求出，即可得证； （2）设，由题意可得，，则， ∴，，由勾股定理计算可得，从而求出，由（1）可得，再由余弦的定义计算即可得解． （1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设， ∴， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． 【题型2】利用三角函数定义求边长 【★例题2】（2025·浙江杭州·模拟预测）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】10或 【分析】先根据的值确定直角三角形的边比关系，然后利用勾股定理求出的长度，需要考虑两种情况，即为直角和不为直角，从而即可得解．本题主要考查了三角函数的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握三角函数的基本定义和勾股定理是解题的关键． 解：当时，，， ∴，， ， ∴（负值已舍去）； 当时，， ∴, ， ． 故答案为：10或． 【★变式1】（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，，，，为边上的中点． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数． 在中，根据的余弦可得：，从而可求的长度； 根据勾股定理求出，根据点是的中点，求出，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的周长公式计算即可． （1）解：在中，，， ， ， 解得：； （2）解：由可知，， ， ， 点是的中点， ， 在中，， 的周长为． 【★★变式2】（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC． 解：∵DE⊥AC， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵cosα=， ∴， ∴AC=×4=， 由勾股定理得，BC==， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键． 【★★变式3】（2025·浙江台州·二模）如图，中，为直径，与相切于点B，交于点E，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据三角形内角和定理可以证明，即，则是圆的切线； （2）先通过垂径定理得到，然后再直角中利用三角函数求得的长，然后即可求解； （1）证明：∵为的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：∵，O为圆心， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【考点二】特殊角的三角函数值 【题型3】特殊角的三角函数值与二次根式、分式（方程）、不等式的综合计算 【★例题3】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 【★变式1】（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，求不等式组的解集： （1）进行零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的计算，化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 解：（1）原式； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 【★★变式2】（2025·广东深圳·三模）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【答案】（1）；（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【分析】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． （2）①根据解分式方程的方法解答即可； ②根据解分式方程的方法解答即可． 解：（1）原式 ； （2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案为：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． 【题型4】特殊角的三角函数值与几何综合问题 【★例题4】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，点D是的中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义和锐角三角函数值是解题的关键； 本题先利用，再由中点可知，从而求出的值． 解：∵在中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【★变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点E，根据，得出，求出，得出，根据三角函数求出． 解：过点C作于点E，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 【★★变式2】（2025·安徽滁州·三模）超速行驶是交通事故的重要原因．合肥市交警在某高速路段进行测速，观测点P位于某古建筑旁，距公路垂直距离为米．一辆新能源汽车由南向北匀速行驶，测得从A处到B处用时秒．已知，，求到的距离，并判断该新能源汽车是否超过该路段千米/小时的限速．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速． 【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 解直角三角形，可得和，作差即可得到的距离，结合题意计算速度，与千米/小时的限速作比较即可． 解：由题可知，和均为直角三角形，， ∵，米， ∴（米）， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴从处到处的速度为（千米/小时）， ∵， ∴该新能源汽车没有超过限速， 答：到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速． 【考点三】解直角三角形及其应用 【题型5】仰角与俯角问题 【例题5】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度，在处用高为米的测角仪，测得摩天轮顶端的仰角为，再向摩天轮方向前进米，又测得摩天轮顶端的仰角为．求这个摩天轮最高处的高度约为多少?（可供参考数据：） 【答案】这个摩天轮最高处的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形、仰角的意义及一元一次方程的应用，熟练运用解直角三角形的知识是解题的关键． 设米，先在中表示出，再在中表示出，结合米，可得出关于的方程，解方程得长，由即可求解． 解：设米， 在中，米， 在中，米， 由题意得米，米， ∵， ∴， 解得， 即米， ∴米． 答：这个摩天轮最高处的高度约为米． 【变式1】1．（25-26九年级上·山东日照·月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度． 解：延长交于点， 则有， 无人机在距水平地面， ， ， 是等腰直角三角形， ， 无人机从点沿水平方向飞行到达点， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角函数可得，进而求解即可． 解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． (1)过点作于点，求的值． (2)此时点相对于点升高了多少？ 【答案】(1)的值为；(2)此时点相对于点升高了． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，得，，由即可求解； （2）过点作，根据题意，得到，利用三角函数得到，结合（1）中，利用线段的和差关系进行求解即可． （1）解：根据题意，得，，， ∴ ∴， 答：的值为； （2）解：过点作， 由题意，得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即此时点相对于点升高了， 答：此时点相对于点升高了． 【题型6】方位角问题 【例题6】（25-26九年级上·全国·期末）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地．已知B地位于A地北偏东方向，距离A地，C地位于B地南偏东方向．若打通穿山隧道，建成A，C两地直达高铁，求A地与C地之间直达高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：；， ， 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．过点B作于点D，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及D的长，再在中求出的长，进而可得出结论． 解：如图，过点B作于点D， ∵B地位于A地北偏东方向，距离A地， ∴，， 在中，， ， ∵C地位于B地南偏东方向， ∴， 在中，， ∴． 答：A地到C地之间高铁线路的长为． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为． (2)快递员能在内到达驿站 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． （1）解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． （2）解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 【题型7】坡角（度）坡比问题 【例题7】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点B作于，于．根据斜面坡度为得到，在中可求得米，米，由矩形得到米，米，在中求出，从而根据即可求解． 解：过点B作于，于，则， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴米，米， ， 四边形是矩形， 米，（米）， ∵在中，， 米， （米）． 答：楼房的高度约为米． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，等腰三角形的性质和判定，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可得解． 解：如图，过点A作于F，过点E作于H，则，，， ∵斜坡的坡度，， ， ，， ， ， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/米 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；由题意得：，，然后可得，进而问题可求解． 解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 【答案】大树的高度约为14米 【分析】本题主要考查仰角和俯角、坡度解直角三角形的运用，理解仰角和俯角、坡度的计算，正确列式求解是关键． 根据题意，，如图所示，过点作，由坡度的计算得到米，设米，则米，米，由此列式计算即可求解． 解：根据题意，， ∴， 如图所示，过点作， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∵斜坡的坡比为， ∴，则米， 设米，则米，米， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴大树的高度约为14米． 培优篇 【考点四】三角函数与相似三角形综合 【题型8】三角函数与相似三角形综合 【例题8】（25-26九年级上·山东烟台·期中）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，锐角三角函数的定义． （1）先证明，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点．根据正切函数的定义得出，那么可设，则，．同理（1）中，，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解． 解：（1）如图1． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， 在中，； （2）如图2，过点作交于点，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ． 同理（1）中，可得， ． ， ， 同理（1）中，可得， ， 在中，． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以． 解：如图，延长交延长线于F， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，点是平面内一点，连接、、，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握辅助线构造直角三角形是解题的关键． 先作，且，连接，运用勾股定理解出的值，再根据边成比例，夹角相等，推出，解出的值，最后根据三角形边长的关系，求出的最大值． 解：作，且，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵在和中， ，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ， ． ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过作于，根据勾股定理和正切的定义得到，，根据三角形面积得到，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解． 解：过作于， ， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 则， 即， 解得， 则， ， 将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点， ，， ， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等，相似三角形的判定与性质；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 【考点五】三角函数与函数综合 【题型9】三角函数与反比例函数综合 【例题9】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；设，证明，则可得，即可得；设，可分别求得的长，由勾股定理求出，即可求得结果． 解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F； 则， ∴； 设， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴， 即； 设，则， 由勾股定理得：； ∵C为中点， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， 在中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，求角的余弦值等知识，构造相似三角形是关键． 【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，正确进行计算是解题关键．过点、作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 解：过点作，过点作轴，垂足分别为、， ， 设，则， 点， ， ，（负值舍去）， 点的坐标是， ，， ， ，， ， 点的坐标是， 点落在反比例函数上， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图像性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握反比例函数值几何意义和解直角三角形是解题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值几何意义进行解答即可． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由于反比例函数的图象在第二象限， 则， 故答案为：． 【变式3】（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在菱形中，，且点落在反比例函数的图象上，点落在反比例函数的图象上，连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角函数的定义，菱形的性质，过点B作轴于点H，过点C作轴于点G，根据，求出，，设在菱形的边长为，用表示点，，，根据点落在反比例函数的图象上，求出，继而得出．直线为，联立直线与反比例函数求得点坐标为，再根据即可求解． 解：过点B作轴于点H，过点C作轴于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵在菱形中， ∴，， ∴ 设在菱形的边长为， 则， 同理可求：，， ∴ ∴，， ∵点落在反比例函数的图象上， ∴， 解并经检验得：，负值舍去， ∴，， ∵顶点落在反比例函数的图象上， ∴． ∵， 直线为， 联立直线与反比例函数得： ， 解得：，， ∴点坐标为， ∴ 故答案为：． 【题型10】三角函数与二次例函数综合 【例题10】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点． (1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）； (2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可； （2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可． （1）解：在中， 令，得， ，， ， ，； （2）解：过点作轴，垂足为， ， 设，， ， ， ， ． 点的横坐标与纵坐标之积为9， ， （不合题意，舍去）， 点在二次函数的图象上， ， ． 【变式1】1．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查是二次函数综合题，利用待定系数法代入两点即可得到二次函数解析式以及对称轴，分别求出点坐标，求出直线的解析式，利用勾股定理结合方程结合，逐一分析，即可选出答案． 解：把点，点代入，得，解得， ∴二次函数的解析式为：， ∴对称轴为直线，故A正确； 令，则， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴，设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， ∴点， ∴，故B正确； ∵， ∴故C正确； ∵， ∴， ∴，故D结论错误． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·月考）二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为，可得，而的长为，由恰好是等边三角形，可得，结合，再进一步解题即可． 解：不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为， ∴当时， ，， 则， 抛物线顶点坐标为， 则的长为， ∵恰好是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴； 当时，同理可得：， 综上：． 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)直线解析式为． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，代 入求得系数的值即可； （）过点作，与轴交于点，由可求，，根据的对应边成比例和勾股定理得到，然后利用待定系数法可得到直线解析式为． （1）解：将点，代入得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，与轴交于点， ∵，， ∴， 设直线的直线解析式， ∴，解得：， ∴直线的直线解析式， ∵， 设，则， ∴，即，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 【考点六】三角函数与圆综合 【题型11】三角函数与圆综合 【例题11】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线使． (1)证明：为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据圆心角，弦，弧的关系可得，进而证明，从而得到；再根据平行的性质得到，结合为半径，从而证明结论； （2）连接，根据等弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，结合锐角三角函数，求出的值；再由（1）问中的条件证明，利用相似比求出的长，最后根据即可求解． （1）证明：连接、，设与交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴在中，， ∴， 由（1）知，， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 即：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，切线的判定，直径所对的圆周角是度，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2020·安徽芜湖·二模）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝2，，则AB的长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据AB切小圆于点C，可得OC⊥AB，AB=2AC，因为即可求出AB的长． 连接OC， ∵大圆的弦AB切小圆于点C， ∴OC⊥AB， ∴AB=2AC， ∵OD=2， ∴OC=2， ∵， ∴AC=4， ∴AB=8， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，垂径定理，三角函数值，已知圆的切线，往往需要连接圆心和切点，这是常作的辅助线． 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，理解圆的切线的性质并灵活运用正切函数是解题的关键． 如图：连接，根据圆的切线的性质以及正切的定义可得，设该圆的半径为r，则、， 运用勾股定理列方程可求得，即，运用等面积法可得，再运用正切的定义以及线段的和差可得，最后运用勾股定理求解即可． 解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，即， 设该圆的半径为r，则，， ∵， ∴，解得：或（舍）， ∴， 如图：过A作， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，直线y与x轴、y轴分别交于A，B两点，动圆M始终与直线相切，设切点为C，圆心M在线段上，且圆M与y轴至少有一个交点，圆M的半径为r，设圆M与x轴的交点为D，E，点E在点D左侧．若圆M与y轴有两个交点，则分别为点F，G，点F在y轴的正半轴．点H为圆M上半圆一动点，连接交x轴于点P． (1)求圆M半径r的取值范围； (2)当，求的值； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据直线与轴，轴分别交于、两点，求得，两点的坐标，从而可求得与，再利用正切求得，然后证明是等边三角形，用表示出、、，分别根据，点E的横坐标为， ，求得的范围； （2）先说明，设，再用分别表示出， ，从而可得，结合，可得出，进而证明，列出比例式求解即可求得； （3）先证明，列出比例式，从而可得，进而求得，设，用分别表示出、，再利用勾股定理求得，从而可得出，再求． （1）解：连接，如图， ∵直线与轴，轴分别交于、两点， 当时，； 当时，， 解得：， ，， ，， ， ， ∵与圆切于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ， ∴点E的横坐标为， ， ， ； （2）如图（2）连结、， ∵是直径， ∴， ，， ， 设，则， ， ， 又， ， ，， ∴， ； （3）如图， 作于点N，连结， ∵圆M与x轴的交点为D，E， ∴为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 设， 则，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，一次函数与坐标轴交点，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质等内容，，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三.中考真题专练 (一)单选题（10题） 1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 解：∵在中，， ∴． 故选：B 2．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 解： 故选：A． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 5．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 8．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． （二）填空题（8题） 11．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 解： ， 故答案为：0． 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 13．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    【答案】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 解：根据题意，得， 故答案为：． 14．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到，参考依据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点作，解，求出的长即可． 解：过点作，则：， 在中，，， ∴； 故人字梯顶端离地面的高度是； 故答案为：． 15．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 16．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 18．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可． 解：过作，交的延长线于点，则：， ∵正方形，边长为4， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，故①正确； 延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故②错误； 设，则：，， ∴的面积， ∴当时，的面积最大为2；故③正确； ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴点G是线段的中点；故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． （三）解答题（6题） 19．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20． （2025·四川宜宾·中考真题） （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先计算括号内分式的减法，再进行乘法计算，直至化为最简即可． （1）解： ； （2）解： 21．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 22．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． （1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． （1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53；(2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． （1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.19 锐角三角函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】锐角三角函数概念 2 【知识点二】特殊角的三角函数值 2 【知识点三】锐角三角函之间的关系 3 【知识点四】解直角三角形 3 【知识点五】解直角三角形的应用 3 二.题型分类精析 5 基础篇 5 【考点一】三角函数定义及函数值 5 【题型1】求三角函数值 5 【题型2】利用三角函数定义求边长 6 【考点二】特殊角的三角函数值 7 【题型3】特殊角的三角函数值与二次根式、分式（方程）、不等式的综合计算 7 【题型4】特殊角的三角函数值与几何综合问题 7 【考点三】解直角三角形及其应用 8 【题型5】仰角与俯角问题 8 【题型6】方位角问题 10 【题型7】坡角（度）坡比问题 11 培优篇 12 【考点四】三角函数与相似三角形综合 12 【题型8】三角函数与相似三角形综合 12 【考点五】三角函数与函数综合 13 【题型9】三角函数与反比例函数综合 13 【题型10】三角函数与二次例函数综合 14 【考点六】三角函数与圆综合 16 【题型11】三角函数与圆综合 16 三.中考真题专练 17 (一)单选题（10题） 17 （二）填空题（8题） 19 （三）解答题（6题） 21 一.知识梳理 【知识点一】锐角三角函数概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 【知识点二】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【知识点三】锐角三角函之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 【知识点四】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，，，，. 【知识点五】解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　拓展： 　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇 【考点一】三角函数定义及函数值 【题型1】求三角函数值 【★例题1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【★★变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 【★★变式3】（2025·天津·一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【题型2】利用三角函数定义求边长 【★例题2】（2025·浙江杭州·模拟预测）是直角三角形，，，则的长为 ． 【★变式1】（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，，，，为边上的中点． (1)求的长； (2)求的周长． 【★★变式2】（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【★★变式3】（2025·浙江台州·二模）如图，中，为直径，与相切于点B，交于点E，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点二】特殊角的三角函数值 【题型3】特殊角的三角函数值与二次根式、分式（方程）、不等式的综合计算 【★例题3】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【★变式1】（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组： 【★★变式2】（2025·广东深圳·三模）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【题型4】特殊角的三角函数值与几何综合问题 【★例题4】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，点D是的中点，则的值是 ． 【★变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·安徽滁州·三模）超速行驶是交通事故的重要原因．合肥市交警在某高速路段进行测速，观测点P位于某古建筑旁，距公路垂直距离为米．一辆新能源汽车由南向北匀速行驶，测得从A处到B处用时秒．已知，，求到的距离，并判断该新能源汽车是否超过该路段千米/小时的限速．（参考数据：，，结果取整数） 【考点三】解直角三角形及其应用 【题型5】仰角与俯角问题 【例题5】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度，在处用高为米的测角仪，测得摩天轮顶端的仰角为，再向摩天轮方向前进米，又测得摩天轮顶端的仰角为．求这个摩天轮最高处的高度约为多少?（可供参考数据：） 【变式1】1．（25-26九年级上·山东日照·月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． (1)过点作于点，求的值． (2)此时点相对于点升高了多少？ 【题型6】方位角问题 【例题6】（25-26九年级上·全国·期末）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地．已知B地位于A地北偏东方向，距离A地，C地位于B地南偏东方向．若打通穿山隧道，建成A，C两地直达高铁，求A地与C地之间直达高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：；， ， 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【题型7】坡角（度）坡比问题 【例题7】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号） 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 培优篇 【考点四】三角函数与相似三角形综合 【题型8】三角函数与相似三角形综合 【例题8】（25-26九年级上·山东烟台·期中）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，点是平面内一点，连接、、，若，，则的最大值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为 ． 【考点五】三角函数与函数综合 【题型9】三角函数与反比例函数综合 【例题9】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则 ． 【变式3】（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在菱形中，，且点落在反比例函数的图象上，点落在反比例函数的图象上，连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，则 ． 【题型10】三角函数与二次例函数综合 【例题10】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点． (1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）； (2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值． 【变式1】1．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·月考）二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 【考点六】三角函数与圆综合 【题型11】三角函数与圆综合 【例题11】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线使． (1)证明：为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，时，求的长． 【变式1】（2020·安徽芜湖·二模）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝2，，则AB的长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长 ． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，直线y与x轴、y轴分别交于A，B两点，动圆M始终与直线相切，设切点为C，圆心M在线段上，且圆M与y轴至少有一个交点，圆M的半径为r，设圆M与x轴的交点为D，E，点E在点D左侧．若圆M与y轴有两个交点，则分别为点F，G，点F在y轴的正半轴．点H为圆M上半圆一动点，连接交x轴于点P． (1)求圆M半径r的取值范围； (2)当，求的值； (3)若，求． 三.中考真题专练 (一)单选题（10题） 1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ （二）填空题（8题） 11．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 13．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    14．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到，参考依据：，，） 15．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 16．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 17．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 18．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是 ． （三）解答题（6题） 19．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 20． （2025·四川宜宾·中考真题） （1）计算：； （2）计算：． 21．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 22．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 24．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $