精品解析：云南省昆明市安宁市2025-2026学年高一年级上学期期末学业质量监测数学试题

启用前★秘密【考试时间：2026年1月27日9:00-11:00】 2025-2026学年上学期期末学业质量监测 高一年级数学 （满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】已知集合，集合， 所以，. 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定相关概念可得答案. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断答案. 【详解】由于在其定义域上都为增函数， 故函数在上为增函数， 又， 故在内有唯一零点， 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质与特值，利用排除法即可判断. 【详解】因为，定义域为，又，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除； 当时，，排除. 故选：. 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 7. 已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出扇形的半径和弧长，根据周长得到弧长与半径的关系，再表示出扇形面积，最后利用二次函数性质求面积最大时的半径. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 故选：A. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围． 【详解】由，得， 所以或.，作出的图象，如图， 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根， 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点， 由图可知，即，所以实数的取值范围为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，满足在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】根据对数函数的性质，知在上单调递增，故正确； 根据指数函数的性质，知在上单调递减，故错误； 因为，所以在上单调递增，故正确； 根据幂函数的性质，知在上单调递增，故正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a，b，c满足，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则函数的最小值为5 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 11. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的一个对称中心是 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点，则a的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】由图像可知：最大值为，最小值为， 所以，，选项A正确； 图像中，从到是半个周期：， 所以， 当时，取最大值：， ， 因为，所以， 因此， 选项B：，选项B错误； 选项C：横坐标缩短到： ， 向右平移：， 选项C正确； 选项D：令，则， 解得：或， 或， 在时的零点依次为：， 要使内有个零点，需：，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义即可求出参数. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解之可得，则. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出,两边平方即可求解. 【详解】由已知，所以， 即. 故答案为： 14. 已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的最值性质，结合二次函数的最值性质、存在性和任意性的定义、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以，不一定，使得成立， 比如当时，，因为，所以不存在这样的； 当时，， 因为，，使得成立， 所以， 于是有或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式对每一项化简，再求值； （2）利用对数的运算性质及对数恒等式化简求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）如果，求m的取值范围. 【答案】（1）定义域为，值域为R. （2）. 【解析】 【分析】（1）由真数大于求定义域，结合复合函数求值域； （2）根据单调性以及定义域列不等式求解. 【小问1详解】 由，得， 所以的定义域为， 因为，所以的值域为R. 【小问2详解】 因为的定义域为，且是增函数. 所以，解得， 所以的取值范围是. 17. 已知函数. （1）求该函数的最小正周期和对称轴； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，求函数的值域. 【答案】（1）最小正周期为：；对称轴为：，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可； （2）由函数图象平移变换得，再整体代换求函数的值域即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以的最小正周期为， 令，，解得，. 所以函数的最小正周期为，对称轴为，. 【小问2详解】 解：由图象的横坐标缩小为原来的，可得：， 再将其向右平移，可得：，即函数， 当时，可得， 当，即时，， 当，即时，， ∴的值域为. 18. 中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. （1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； （2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ （3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 【答案】（1） （2）倍. （3）5.1. 【解析】 【分析】（1）直接代入，根据题目给的数据化简计算. （2）和代入，然后计算相除. （3）令和，两式相减，大于等于1975 m/s，最后根据题目给的数据化简计算 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得 ①； ，得 ②； 由①②两式，得倍. 【小问3详解】 技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1. 19. 达·芬奇不仅是意大利的著名画家，还是数学家、物理学家和机械工程师.他在创作《抱银貂的女人》时曾思考过一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.约170年后，约翰·伯努利给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为，. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）已知，，若的图象与x轴有2个交点，求实数t的取值范围. 【答案】（1） 左边， 右边左边，得证. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲余弦函数和双曲正弦函数的函数表达式，结合指数式的运算，化简即可证明； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式； （3）令，通过构造函数，借助对勾函数单调性求出取值范围，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，故是偶函数. 当时，单调递增，， 又在单调递增， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 根据函数的奇偶性和单调性可得 即，即，即， 解得，所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 因为的图象在上与x轴有2个交点， 因为，所以， 即方程在有2个实数根， 又，所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则，所以， 所以， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以当时，函数，，与直线有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 此时，即实数t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启用前★秘密【考试时间：2026年1月27日9:00-11:00】 2025-2026学年上学期期末学业质量监测 高一年级数学 （满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，满足在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a，b，c满足，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则函数的最小值为5 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的一个对称中心是 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，则________. 13. 已知，则__________. 14. 已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）如果，求m的取值范围. 17. 已知函数. （1）求该函数的最小正周期和对称轴； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，求函数的值域. 18. 中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. （1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； （2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ （3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 19. 达·芬奇不仅是意大利的著名画家，还是数学家、物理学家和机械工程师.他在创作《抱银貂的女人》时曾思考过一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.约170年后，约翰·伯努利给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为，. （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）已知，，若的图象与x轴有2个交点，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $