精品解析：云南文山壮族苗族自治州2025-2026学年上学期期末学业质量监测高二数学试卷

文山州2025年秋季学期学业质量监测 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 2. 复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加减法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第二象限. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知正切值，齐次式应用弦化切计算求解. 【详解】因为，则. 故选：B. 4. 随着科技发展，智能锁已进入千家万户．某型号的智能锁密码由数字0~9构成，如果忘记了密码的最后两位，随意输入两个数字就能打开锁的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析该密码后两位输入的两个数字的情况，然后分析打开锁的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】对密码最后两位随意输入两个数字的情况有：种， 输入两个数字能打开锁的情况只种， 所以所求概率为：， 故选：B. 5. 设l，m为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断即可求解. 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面），故A错误； 对于B，应推出，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或， 又因为，则，故D正确. 故选：D 6. 已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及点到直线的距离公式可求. 【详解】圆心到直线的距离为， 因为，等号成立时，所以的最小值为. 故选：A 7. 已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中几何关系，求得点的坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率. 【详解】 由图可知，若为等边三角形，由对称性，不妨设， 将点代入椭圆，得，又因为， 得，分子分母同除以，得， 整理得，解得或（因为，故舍去）， 则. 故选：A. 8. 在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据几何关系找出外接球的直径，再通过正弦定理求出外接圆的直径，最后经过勾股定理即可求出外接球的直径，继而得到体积． 【详解】如图所示， 设DE为外接圆的直径，且为外接圆圆心，O为外接球的球心， 则根据对称性，知D、E、、处于同一平面， 因为平面ABD，平面ABD，所以，也即C也在平面ODE中， 且由于，所以CE为球O某一截面圆的直径，又因为该截面过球心O， 所以CE即为外接球的直径， 根据正弦定理可得外接圆的直径， 则在中，可得外接球直径为， 则三棱锥的外接球体积为． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递减 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】首先将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】， 对于A：的最小正周期为，故A正确； 对于B：因为，所以的一个对称中心为，故B正确； 对于C：由，则，因为在上单调递增， 所以在区间内单调递增，故C错误； 对于D：将函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AB 10. 如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 侧棱与底面所成角为 C. 该四棱台的表面积为 D. 该四棱台的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交于，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A，由选项A的相关结论分析即可得出侧棱与底面所成角，求解即可得出选项B，计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，直接利用台体体积公式计算即可得出选项D. 【详解】如图连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有： ，平面，所以为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以， 所以， 则， 在直角三角形中，， 所以四棱台的高为，故A选项正确； 由，平面，所以平面， 所以为侧棱与底面所成角， 在直角三角形中，，所以， 侧棱与底面所成角为，故B答案正确； ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积： 在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 所以等腰梯形的面积为： ， 所以正四棱台的侧面积为：， 所以四棱台的表面积为，故C选项不正确； 四棱台的体积为， 故D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知双曲线，圆，的左、右顶点分别为，的一条渐近线与圆O交于M、N两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. 直线与恰有两个公共点 C. 或 D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过联立方程组的方法求得两点的坐标，根据列方程，求得的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为，双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或， 不妨设，则，又因为 所以，， 所以，又因为，所以， 从而得， 所以， 对于A，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以双曲线的渐近线为， 因为与平行，所以与仅有一个公共点，所以B错误； 对于C，设，则，因为，且， 所以，所以，， 当两点位置互换时，此时，C选项正确. 对于D，因为，所以， 又因为四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线（平行）的坐标判定，进行代入计算即可. 【详解】因为 ，，且， 所以， 则，解得：. 故答案为： 13. 已知F是抛物线焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用抛物线的定义得到 ，再结合已知条件求出点 的横坐标，最后代入抛物线方程求解 的值. 【详解】由抛物线的定义知，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，故 ， 过 作 于 ，则 ，且 ， 在 中，，而 ， 代入 得：， 解得 ，即 . 故答案为： 14. 设函数的定义域为，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出函数的对称中心，然后利用函数对称中心的性质计算即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 取，设，则， 所以 ， 因为时，， 所以函数的对称中心为， 所以对定义域上的函数有，， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求解. （2）由面积公式求出，再用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得 即，由余弦定理得，又，所以 【小问2详解】 由题意得，解得， 所以，所以 16. 从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 【答案】（1），中位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用频率分布直方图中位数定义求解即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得． 又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前3组的频率为， 前4组的频率为， 故中位数在区间上，因此中位数为． 【小问2详解】 采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取份数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取3份测试卷的所有可能样本点构成的样本空间为： ， 共有10个样本点，即． 设事件“这3份测试卷成绩至少有一份在”， 则， 共有9个样本点，故， 则． 这3份测试卷成绩至少有一份在的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点． （1）求证：平面PCD； （2）求侧面PBC与底面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）取的中点分别为，利用二面角的定义可证明是侧面与底面的夹角的平面角，再由边长关系计算即可得出结果. 【小问1详解】 正方形中，易知， 又侧面底面，侧面底面，平面ABCD， 所以平面， 又平面，所以， 又是正三角形，是的中点，可得， 又，且平面PCD， 所以平面PCD． 【小问2详解】 取的中点分别为，连接，如下图所示： 则， 又是正三角形，， 显然，且平面，所以平面， 在正方形中，，故平面， 即是侧面与底面的夹角的平面角， 又因为平面，，平面， 又平面，可得， 设正方形ABCD的边长为，则， 则， 故侧面与底面夹角的正切值为. 18. 已知函数（，且）． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若，设．当时，讨论的零点的个数． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）分类讨论，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）由已知求出函数并确定其单调性，结合（1）及零点的意义求出的零点，再按该零点是否在区间内分类求解判断. 【小问1详解】 函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 由，得，又，解得，故， 函数在上都是增函数，则函数在上是增函数， 由及函数为奇函数，得， 因此，即，解得或，即函数零点为， 不等式，即， 当，即时，，函数的零点个数为0； 当，即时，，函数的零点个数为2， 当时，，函数的零点个数为1； 所以当时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 19. 已知是椭圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在点，使得为定值，的最小值为，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）设，由题意得，根据得出相应的关系式，然后根据题意进行代换化简即可； （2）（i）由题意可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程，消元，写出韦达定理，然后利用弦长公式求解即可； （ii）可设直线为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得相关的表达式，然后利用基本不等式即可求解即可. 【小问1详解】 由题意如图所示： 设，由题意得， 则，由， 所以，即， 因为是椭圆上任意一点， 所以， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设， （i）当时，点的坐标为， 由直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 故直线的方程为即， 联立，消去整理得， 则，， 所以； （ii）如图所示： 若直线的斜率不为，，且经过， 则设直线方程为：， 联立消去得：， 则， 且， 由，则， 所以 ， 令为定值， 则， 即， 所以有， 即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，存在点，使得为定值，且的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山州2025年秋季学期学业质量监测 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 4. 随着科技发展，智能锁已进入千家万户．某型号的智能锁密码由数字0~9构成，如果忘记了密码的最后两位，随意输入两个数字就能打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设l，m为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递减 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 10. 如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 侧棱与底面所成角为 C. 该四棱台表面积为 D. 该四棱台的体积为 11. 已知双曲线，圆，的左、右顶点分别为，的一条渐近线与圆O交于M、N两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. 直线与恰有两个公共点 C. 或 D. 四边形的面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则________． 13. 已知F是抛物线的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若，且，则________． 14. 设函数的定义域为，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则________． 四、解答题（共77分．解答应应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 16. 从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点． （1）求证：平面PCD； （2）求侧面PBC与底面夹角的正切值． 18. 已知函数（，且）． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若，设．当时，讨论的零点的个数． 19. 已知是椭圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线斜率不为，，是否存在点，使得为定值?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $