精品解析：广东省惠州市正弘实验学校2025-2026学年12月21日高二数学周测试卷

2025年12月21日惠州正弘学校高二数学周测 一、单选题 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【点睛】方法点睛：归纳总结 标准方程 焦点坐标 准线方程 3. 椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 4. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 5. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 6. 双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解，结合焦半径的范围得到的值. 【详解】焦距为10，，，，， ，是双曲线上的一点，， ，，或， ，舍去，. 故选：B. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质求椭圆离心率的值. 【详解】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 8. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果. 【详解】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上； 对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上； 对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 故选：AB. 10. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 点在圆内 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可. 【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误； 对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条， 一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确； 对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误； 对于D，因为，所以点在圆内，故D正确. 故选：BD 11. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线是，所以， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 记为数列的前n项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明： 当时，， 当时，， 显然时也满足上式， 所以， 因为， 所以是公差为2的等差数列; （2）． 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据当时，，求出其通项公式，最后由等差数列的定义即可得证； （2）利用错位相减求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，① ，② 由①②得， ， 故． 16. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 17. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为4． （1）求实数p的值； （2）若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可； （2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解. 【小问1详解】 由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离， ，解得：； 【小问2详解】 由（1）知抛物线，则焦点坐标为F， 显然直线l斜率不为0，设直线l为：，， 联立直线与抛物线方程：，得：， 则，，则 所以 ，解得， 所以直线l为：或； 综上， ，直线l为：或. 18. 椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）取 的中点 ，连接与 交于 点， 在底面矩形 中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面 ， ，则平面 ， 且，所以， 因为，平面 可得 平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得 平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中 ， 则， 因为直线 与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月21日惠州正弘学校高二数学周测 一、单选题 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 5. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 点在圆内 11. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 三、填空题 12. 若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为__________. 13. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 14. 已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为______________. 四、解答题 15. 记为数列的前n项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 17. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为4． （1）求实数p的值； （2）若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程． 18. 椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，，求的面积． 19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $