精品解析：四川宜宾市2025-2026学年上学期学业质量监测高二数学试卷

2025年秋期______中学校学业质量监测 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知双曲线方程为：，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 已知，如果，，，，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与斜率为的直线相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（ ） A. 16 B. 16或2 C. 4 D. 4或 8. 已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 50 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 的周长为12 C. 的最小值为 D. 椭圆上不存在点P，使得 10. 等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前10项和为50 11. 在三棱锥中，，平面ABC，且，点M为内的一个动点（包含边界），直线AM与平面PBC所成角为，则（ ） A. PM的最小值为 B. PM的最大值为 C. 有且仅有一个点M，使得 D. 所有满足条件的线段AM组成的曲面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，且，则______． 13. 数列的前n项和为，则___________. 14. 已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： （1）“取出两球的标号之和为3”的概率； （2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求实数a的取值范围． 17. 如图所示，中，，，B，D，E，F，G分别是PC，AC，BC，AP，BP的中点，将沿AB翻折，使得平面平面ABC，PD与FC相交于M，PE与GC相交于N，连接MN． （1）若，求三棱锥的体积； （2）二面角的余弦值． 18. 已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． （1）求数列、的通项公式； （2）设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； （3）设数列的前n项和为，证明：． 19. 已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3． （1）求双曲线C的离心率； （2）若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点． （ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期______中学校学业质量监测 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可得斜率. 【详解】直线即为， 所以直线的斜率为2. 故选：A. 2. 已知双曲线方程为：，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线标准方程确定焦点在y轴上，求出，即可由渐近线定义方程得解. 【详解】双曲线方程为：即， 所以双曲线焦点在y轴上，且. 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 3. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式运算求解即可, 【详解】因为事件“甲获胜”与“乙不输”互为对立事件， 所以乙不输的概率为. 故选：C. 4. 已知，如果，，，，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项的性质可以求解，注意等比数列的奇数项同号，偶数项同号. 【详解】因为是和的等比中项，所以，设公比为，则， 所以b与首项-1同号，所以．又a，c必同号，所以． 故选：B 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数运算法则求导，再赋值求出，进而求出目标值. 【详解】函数，求导得， 则，解得，， 所以. 故选：B 6. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出即可由点到直线距离的向量法公式分析计算求解. 【详解】由题可得直线BC的单位方向向量为， 且， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 故选：A 7. 已知椭圆与斜率为的直线相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（ ） A. 16 B. 16或2 C. 4 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点差法列式求解. 【详解】由是椭圆弦AB的中点，得，解得， 设，则， 由两式相减得， 则，即，所以. 故选：C 8. 已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的5倍，结合圆的性质即可求解. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，则， 可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 令， 可分别看作点到直线的距离， 则是点到直线的距离的2倍， 且点到直线的距离，则的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 的周长为12 C. 的最小值为 D. 椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆性质判断ABC；对于D：可知当点P为短轴顶点时，取到最大值，结合余弦定理分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 10. 等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前10项和为50 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式得关于的方程，解出，则得到，最后一一判断选项即可. 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知， 解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确. 故选：AD. 11. 在三棱锥中，，平面ABC，且，点M为内的一个动点（包含边界），直线AM与平面PBC所成角为，则（ ） A. PM的最小值为 B. PM的最大值为 C. 有且仅有一个点M，使得 D. 所有满足条件的线段AM组成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定A在平面的投影H，根据线面夹角的定义确定点M轨迹，由数形结合及圆中最值可判定A、B、C选项，利用圆锥的侧面积公式结合图形计算即可判定D选项. 【详解】由题意可知：， 取的中点D，连接，设点A在平面的投影H， 因为，则，可知H为等边的外心， 因为，则， 又因为直线AM与平面PBC所成角为，则， 所以点M的轨迹是以H为圆心，为半径的圆在内部的一部分，如图所示， 对于选项A：当且仅当点在线段上时，PM取到最小值为，故A正确； 对于选项B：当且仅当点在的延长线上时，PM的最大值为， 但此时点在外部，所以PM的最大值不等于，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当点在线段上时，， 所以有且仅有一个点M满足题意，故C正确； 对于选项D：动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分， 因为，则，即， 可知曲面面积为圆锥侧面的，且圆锥的母线长， 所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将两直线方程转化为斜截式，再由平行充要条件即可求a. 【详解】直线即，直线即，且， 则. 故答案为： 13. 数列的前n项和为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由及递推关系求结果. 【详解】. 故答案为： 14. 已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程并求出点的坐标，结合弦长公式及函数单调性求出最大值. 【详解】设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由求导得，则切线的方程为， 即，同理得切线的方程为， 由，解得，则，即， 因此，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： （1）“取出两球的标号之和为3”的概率； （2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）取对立事件为取出两球的标号均等于1，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率求法运算求解. 【小问1详解】 记“取出两球的标号之和为3”为事件A， 可知和为3为或，即甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1， 所以. 【小问2详解】 记“取出两球的标号至少有一个大于1”为事件B， 则为“取出两球的标号均等于1”，可得， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）令，原题意等价于对任意的，都有，根据二次函数性质结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 若，则，， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，则， 若，，可得， 令，可得， 原题意等价于对任意的，都有， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 则在上的最大值为，可得， 且，所以实数a的取值范围为. 17. 如图所示，中，，，B，D，E，F，G分别是PC，AC，BC，AP，BP的中点，将沿AB翻折，使得平面平面ABC，PD与FC相交于M，PE与GC相交于N，连接MN． （1）若，求三棱锥的体积； （2）二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证平面ABC，建系并标点，求平面的法向量和点到平面的距离，进而可求体积； （2）不妨设，求平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 在中，，是的中点，则，且， 在三棱锥中，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，则， 因为分别是的中点， 则， 可得，则， 可知，的面积， 又因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则点到平面的距离， 所以三棱锥的体积为. 【小问2详解】 不妨设，由（1）可知平面的法向量， 因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则， 由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． （1）求数列、的通项公式； （2）设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； （3）设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）3 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，根据前n项和与通项之间的分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解； （3）分和两种情况，放缩可得，结合裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 因为函数，则，即， 可知数列是以首项，公差为2的等差数列， 所以； 又因为， 当时，则，解得； 当时，则，两式相减得，即， 可知数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 因为，则， 若对一切正整数n，恒成立，则， 且，所以m的最小值为3. 【小问3详解】 由（1）可知：，则， 当时，； 当时，则， 可得； 综上所述：. 19. 已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3． （1）求双曲线C的离心率； （2）若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点． （ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，双曲线焦距为，直接计算得到即可计算离心率； （2）（ⅰ）先由题设求出双曲线和渐近线方程，设结合题设求出，联立双曲线方程求出唯一解即可证明； （ⅱ）先由（ⅰ）得到，由题意，进而直接计算，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题，，设，双曲线焦距为， 则由题， 所以双曲线C的离心率为； 【小问2详解】 （ⅰ）由(1)，所以双曲线，右焦点， 令，则， 所以，所以双曲线， 所以渐近线方程为， 设、、， 则，且， 由题意可知直线l斜率存在为，则， 联立，结合整理得，解得，所以. 即直线与双曲线C仅有一个公共点. （ⅱ）由（ⅰ）， 所以，又由题意， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $