第二十章 勾股定理（复习课件）数学新教材人教版八年级下册

单元复习课件 第二十章 勾股定理 人教版2024·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解勾股定理的内容，掌握其推导过程，能在直角三角形中熟练运用； 3.将实际问题抽象为直角三角形模型，灵活选择定理或逆定理. 2.勾股定理的应用(解决折叠问题、网格中的线段长度、立体图形侧面展开最短路径等问题) ； 单元学习目标 勾股定理 勾股定理 逆定理 应用 文字语言：三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何语言：∵在中，∴ 基本思路：构造直角三角形和方程思想 常规类型：求三角形线段长、折叠问题、 立方体上最短路径、对称中的最短路径等 文字语言： 如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形 为直角三角形 常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25； ④若是勾股数，则(k为正整数)也是勾股数 勾股定理证明 单元知识图谱 勾股定理 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于______的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ () 斜边 B C A a b c 考点串讲 勾股定理的逆定理: 文字语言：如果三角形的三边长满足__________，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： ∵ ∴△ABC为直角三角形 B C A a b c 考点串讲 题型一、利用勾股定理求线段长 例1．(1)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， ①AB＝5，BC＝12，则AC的长为_______ ②AB＝5，AC＝10，则BC的长为_______ ③AC＝5，BC＝4，则AB的长为_______ (2)已知一个直角三角形的两条直角边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为______ (3)已知一个直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为______ 13 3 或 没有指明直角边和斜边需要分类讨论 题型剖析 1.已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 2.如图，在中，，，于点，则的结果为_______ 3.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为_______ 针对训练 4.如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 5.已知中，°，若，，则的面积是 ________ 针对训练 题型二、勾股树 例2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．13 B．29 C．47 D．94 两直角边正方形面积之和=斜边正方形面积 题型剖析 1.如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为______ 2.如图，在直角三角形中，，分别以，为边向外作等边三角形，将它们的面积分别记为与．若 ，则的长为_____ 6 针对训练 3.如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________ 6 4.如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是_______ 针对训练 5.如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 30 针对训练 题型三、利用勾股定理在数轴上表示无理数 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为 ． 题型剖析 1.如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2.如图，在数轴上点P表示的实数是 ____ ． C 针对训练 题型四、勾股定理逆定理 例4.(1)满足下列条件的，不是直角三角形的是______ A． B． C． D． E． F． BE 题型剖析 题型四、勾股定理逆定理 例4.(2)如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积． 解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形． ∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2. 解得AC＝10. 又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°. ∴S四边形ABCD＝SRt△ACB－SRt△ACD＝×10×24－×6×8＝96(m2)． 故这块空白地的面积为96 m2. 题型剖析 1.已知△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC的形状是__________________. 2.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东400航行，乙船以30海里/时的速度航行，半小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里， 则乙船的航行方向是 . 等腰直角三角形 南偏东50° 针对训练 3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求BD的长　 解：作DM⊥BC，交BC延长线于M， 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25，即AC＝5， ∵AD＝5，CD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， 针对训练 ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， 在△ABC和△CMD中 ∴△ABC≌△CMD， ∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4， ∴BM＝BC+CM＝7， ∴BD 针对训练 4．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长． 解：延长AD到E使AD＝DE，连接CE， 在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD， ∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝6，AE＝12， 在△AEC中，AC＝13，AE＝12，CE＝5， ∴AC2＝AE2+CE2， ∴∠E＝90°， 由勾股定理得：CD，∴BC＝2CD＝2. 遇中点连中线，倍长中线很常见 针对训练 题型五、利用勾股定理与方程思想解三角形 例5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，求BD的长． 解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10， ∴， ∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC， 设BD＝x，则AD＝CD＝8﹣x， 则在直角三角形BDC中，根据勾股定理可得：BD2+BC2＝CD2， 即x2+62＝（8﹣x）2，解得，即， 则BD的长为． 题型剖析 1.如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽． 则木柱长为 　　 尺． 针对训练 2.如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 解：设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米， ∵PA＝PB，由勾股定理得：AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2， ∴52+x2＝（12﹣x）2+102，解得， ∴中转站P应修建在离点M相距千米处． 针对训练 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝12，AC＝9，求BD的长． 解：过点D作DE⊥AB，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵BC＝12，AC＝9，∴AB15， 在Rt△ADE与Rt△ADC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6， ∵DE2+BE2＝BD2， ∴（12﹣BD）2+62＝BD2， ∴BD 针对训练 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC．当，，时，求的值． 解：设,则 ,， 又∵， ，解得：,即 ， ． 针对训练 题型六、勾股定理求对称中最短路径 模型一、两定一动 单对称 模型二、一定两动 “回原地”：双对称 “不回原地”：单对称+垂直 题型剖析 模型三、两定两动 双对称 题型剖析 题型六、勾股定理求对称中最短路径 例6.如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，求的最小值． 解：如图所示，连接，  ∵，，∴， ∴垂直平分，∴，∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值， 最小值为此时线段的长， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴的最小值为. 规律与方法 (1)确定定动点 (2)确定模型 (3)作图得出最短路径 (4)构造直角三角形求最短路径 题型剖析 1.如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，求的最小值． 解：如图，连接， ，，垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小. 针对训练 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 针对训练 2.如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，求的周长最小值． 解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（） 针对训练 3.如图，已知∠MON＝45°，P为∠MON内一定点，OP＝4，点A为OM上的点，B为ON上的点，求△PAB周长最小值 解：作点P关于直线OM的对称点E，点P关于直线ON的对称点F， 连结PE、PF、OE、OF、OP， ∵OM垂直平分PE，ON垂直平分PF，∠MON＝45°，OP＝4， ∴OE＝OP＝4，OF＝OP＝4， ∴∠EOM＝∠POM，∠FON＝∠PON， ∴∠POE＝2∠POM，∠POF＝2∠PON， ∴∠EOF＝∠POE+∠POF＝2（∠POM+∠PON）＝2∠MON＝90°， 连结EF、AE、BF，则AE＝AP，BF＝BP， ∴EF4， ∵AE+AB+BF≥EF，∴AP+AB+BP≥4， ∴AP+AB+BP的最小值是4， ∴△PAB周长最小值是4 针对训练 4.如图，设，A为上一点，，D为上一点，，C为上任意一点，B是上任意一点，求折线的长度最小值． 解：如图，作A关于的对称点，D关于的对称点， 作，连接，，则，， ，，，， ， ，， ，， ，， ，，， ， 在直角中， 针对训练 题型七、勾股定理求立体图形中最短路径 例7.(1)如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，求这条彩带的最小长度 解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是， ∴，， 在中，， ∴这条彩带的最小长度是 题型剖析 题型七、勾股定理求立体图形中最短路径 例7.(2)如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，求彩条的最短长度 解：如图，长方形为长方体侧面展开图， 则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接， 则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 规律与方法 (1)将立体图形展开为平面图形 (2)根据两点之间线段最短，确定最短路径 (3)构造直角三角形求最短路径 题型剖析 1.如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 针对训练 2.如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为____________ 20米 针对训练 3.如图，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 针对训练 4.如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，求它到的中点的最短路线 解：①沿展开，如图所示，  在中， ， ，， ∴； 针对训练 4.如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，求它到的中点的最短路线 解：②沿展开，如图所示： 在中，， ， ， ∴， ∵，∴最短路线长是. 针对训练 题型八、利用勾股定理解决翻折问题 例8.如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； 解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形，∴． 设，则， 在Rt中， ， ∴，解得， ∴． 题型剖析 题型八、利用勾股定理解决翻折问题 (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； 解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵，∴． ∵交于点，∴， ∴，∴． 设，则． 在Rt中， ，∴，解得， ∴．∴， ∴． 题型剖析 题型八、利用勾股定理解决翻折问题 (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得， ∴． 又∵，∴， ∴，∴． 又∵，设， 则， ∴． 在Rt中，，解得， ∴． 规律与方法 (1)根据翻折找全等 角等、线等 (2)角平分+平行 等腰三角形 (3)在直角三角形中，知二求一，知一设未知数利用方程思想解题 题型剖析 1.如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是______ 2.如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为_________ 5 针对训练 3.如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点，， ． ，， ，． 在中，由勾股定理，得 ， ，． 在中，由勾股定理，得． 针对训练 题型九、利用勾股定理解决动点问题 例9.如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示）． 题型剖析 题型九、利用勾股定理解决动点问题 (2)当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ 解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ，解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； 题型剖析 题型九、利用勾股定理解决动点问题 (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时t的值 解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形，则， ， ，， ， ， ，解得：， ②若是以为底边的等腰三角形，  则，，解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 题型剖析 1.如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒 (1)当为何值时，点与点的距离为？ 解：∵，∴此时点P在上， 如图，连接，由题意，得， ∵四边形是长方形，∴， ∴， ∴，（秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； 针对训练 (2)当为何值时，是等腰三角形？ 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形，∴点P在上， 分下列三种情况，第一种：如图，连接，，， ∴， ∴，， ∴此时； 针对训练 (2)当为何值时，是等腰三角形？ 解：第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴此时； 针对训练 (2)当为何值时，是等腰三角形？ 解：第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； 针对训练 (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 解：由题意，，∴，∴点P在上， 如图，连接，则， ， ∴， ，， 由题意，可得， 即，解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 针对训练 2.如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)求出斜边上的高； 解：∵，，， ∴， ∵，即：， ∴； 针对训练 (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 解：当是以为腰的等腰三角形时： ①时：如图：  ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； 针对训练 (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 解：当是以为腰的等腰三角形时： ②时，当点在上，如图： 此时：，； 当点在上，如图，过点作，则：， 由（1）可知：，∴， ∴，∴； 综上，当为或或时，是以为腰的等腰三角形； P 针对训练 (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，、两点之间的距离为？ 解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ，∴，即：， 解得：或（舍去）； 针对训练 ②当点在上、点在上时，，不合题意； ③当点、都在上，此时：， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 针对训练 题型十、勾股定理解决实际问题 例11.如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为． 公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，求点处受噪音影响的时间. 解：如图，过点作，上取点，， 使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为 题型剖析 1.如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由． 解：如图，根据题意得：， ，， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，∴能通过． 针对训练 2.如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ 解：如图，出发秒钟时， 米，米 米，米米，米 （米） 针对训练 (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 针对训练 3.“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； 解：过点C作于H，在中，， ． 米（米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． 针对训练 (2)此车超速了吗？请说明理由 (参考数据:，) 解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 针对训练 题型十一、勾股定理解决几何问题 例11.如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； 证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线，∴. 在中，勾股定理得， ∴，即. 题型剖析 题型十一、勾股定理解决几何问题 (2)若，，求的周长及的长． 解：∵是斜边的中点，，∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵，∴， ∴的周长为. ∵∴， 即，解得：． 题型剖析 1.如图，在长方形中，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，若． (1)求证：； 证明：∵四边形是长方形，， 平分，， 又，， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，， ，； 针对训练 (2)求的度数； 解：，，， , , 又，即， ， ， ； 针对训练 (3)如果，求的值． 解：， ，， 由（2）得，， ∴，∴， ，，， ∴， 在中，得，∴， ∴． 针对训练 2.如图，在中，，，D是边上一点（点D与、不重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，． (1)求证：； 证明：∵，∴．     在和中， ∴； 针对训练 (2)当时，判断的形状，并说明理由； 解：是等腰三角形，理由如下： ∵，∴， ． ∵，∴， ∴， ∴． 在中，， ∴，   ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 针对训练 (3)点在上运动时，试探究是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 解：∵，， ∴．    当时，最小，的值最小． ∵，， ∴ 的最小值为3， ∴的最小值为． 针对训练 3.已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论： ①图中全等的三角形只有两对； ②的面积等于四边形的面积的2倍； ③，其中正确的结论有_______（填序号）； ②③ 针对训练 (2)求证：； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； 针对训练 (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 解：成立，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点，∴ ∵，∴ ∴，， ∵，∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∵中，∴． 针对训练 题型十二、等腰三角形存在性问题 例12.在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），求点的坐标． 解：∵点，点在轴上，∴，设点坐标为， ∴，， ①当时，则，解得或，故点B坐标为或； 规律与方法 (1)设坐标 (2)用两点之间距离公式表示线段长度 (3)分类讨论，建立方程 题型剖析 题型一、等腰三角形存在性问题 ②当时，则，解得或， 当时，两点重合，不构成三角形，故舍去，故点B坐标为； ③当时，则，解得，故点B坐标为； ∴综上，点的坐标可为或或或. 题型剖析 1.已知点，点，点在轴上，并且满足，求点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，则点点坐标为______________________． B 或或或． 针对训练 3.如图①在平面直角坐标系中，O为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点，如图②． (1)点的坐标为________； 针对训练 (2)若点是轴上一点，的面积等于，请求出点的坐标； 解：∵，∴， ∴， ∵的面积等于，∴的面积为21， ∴，∴， ∵， ∴点P的坐标为或； 针对训练 (3)若点为轴上一点,为等腰三角形,请直接写出点的坐标． 解：∵，，设点E的坐标为(0,e) ∴，, 当时, ,解得：或 则点E的坐标为或； 当时, ，解得：∴点E的坐标为； 当时, ，解得，∴点的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 针对训练 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 2.如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为_______ D 课堂总结 3.如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是_______ 4.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______ 课堂总结 5.如图，在点处测得点在北偏东方向上，在点处测得点在北偏东方向上．如果米，那么点到直线距离为 米． 6.如图，的面积为，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，为上任意一点，点为的中点，连接，，则长度的最小值为______ 5 课堂总结 7.如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为________ 课堂总结 8.海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? 解：由题可得， ， ， 在中， （）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； 课堂总结 (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 解：如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中， （）， 在中， （）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 课堂总结 感谢聆听! $