精品解析：宁夏贺兰一中2025-2026学年高一第一学期期末考试试卷数学试题

贺兰一中2025-2026学年第一学期高一期末考试试卷（数学） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 2. 与终边相同的一个角为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 方程的根的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是减函数 11. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 该函数的解析式为 D. 函数的减区间是 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 函数的零点是________. 13. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 14. 已知，则______． 四、解答题（共计77分） 15. 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点. （1）求； （2）求的值； 16. 已知定义在的函数，其中是自然对数的底数. （1）判断奇偶性，并说明理由； （2）判断单调性，不用说明理由； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 19. 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有；则称函数为“速增函数”； 已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺兰一中2025-2026学年第一学期高一期末考试试卷（数学） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 与终边相同的一个角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知与终边相同的角满足，结合选项分析判断即可. 【详解】因为， 与终边相同的角，即， 题中满足的只有， 所以与终边相同的一个角为. 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点列出限定条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 4. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系及角所在象限求正切值. 【详解】由，为第二象限角，所以，则. 故选：B 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 6. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解. 【详解】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为. 故选：C. 7. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性定义可得，解之即得． 【详解】根据题意，是上的减函数， 则，解得， 即a的取值范围为 故选：A. 8. 方程的根的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式求的解析式，再求其周期即可判断A的真假；根据同角三角函数基本关系求的解析式，再分析函数性质，判断B的真假；根据辅助角公式求与的解析式，分析函数性质，可判断CD的真假. 【详解】对于A，，其最小正周期为，故A错误； 对于B，，其图象关于对称，故B正确； 对于C，， 由，得，，故C正确； 对于D，， 由，，所以函数在上为增函数， 又，所以函数在上是增函数，故D错误. 故选：BC. 11. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 该函数的解析式为 D. 函数的减区间是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给三角函数的图像，可求得函数的解析式，再结合正弦函数的图像性质，逐项进行求解即可. 【详解】根据所给函数图像，可知的最大值为，最小值为， 所以函数的值域为，且，故A选项正确； 函数的周期满足，所以，即，解得， 又，所以，所以， 根据函数图像，点在图像上，即， 解得，又，所以， 所以，故C选项错误； 由正弦函数对称中心公式，可得其对称中心的横坐标满足， 解得，当时，， 故是函数图象的一个对称中心，B选项正确； 根据正弦函数的单调性，得其递减区间满足， 解得，故D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 函数的零点是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 13. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 14. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解. 【详解】令，即，， ， 故答案为：. 四、解答题（共计77分） 15. 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点. （1）求； （2）求的值； 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，通过同角三角函数的关系求出； （2）利用诱导公式对式子化简，将正弦、余弦化为正切，将代入即可求出答案. 【小问1详解】 由题意得，， 所以， . 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 16. 已知定义在的函数，其中是自然对数的底数. （1）判断奇偶性，并说明理由； （2）判断单调性，不用说明理由； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）为增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可. （2）根据复合函数的单调性或定义法证明单调性即可. （3）根据函数的奇偶性和单调性，结合分离参数法，将不等式转化为求函数值域问题求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为增函数，理由如下： 方法一：因为单调递增，单调递增，所以单调递增. 方法二：任取，，设，则，所以， ， 即，所以为增函数. 【小问3详解】 由可得，， 因为为奇函数，所以不等式可化为， 又为增函数，所以，即. 不等式在上恒成立，只需在上恒成立. 令，故只需即可. . 令，则，. 因为在上单调递减，所以，即. 所以. 故实数的取值范围为. 17. 中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）由题意得，代入化简即可； （2）分别求出和时的最大值，将其比较即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 又， 所以. 【小问2详解】 当时，， 在上单调递减，在上单调递增，图象对称轴为， 则当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最大值. 因为，所以的最大值为， 故当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元． 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 【答案】（1）； （2）当时，最大值为，当时，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数最小正周期的公式，可求出最小正周期，结合正弦函数的单调性即可求出单调区间； （2）由的范围求出的范围，结合正弦函数的图象求解； （3）由范围求得范围，再运用同角三角函数的平方关系求得的值，根据结合两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 根据正弦函数的图象可知， 当时，即时，取最大值，， 当时，即时，取最小值，. 综上，当时，最大值为，当时，最小值为. 【小问3详解】 ， 则， 因为为锐角，则，所以， 所以， 所以 . 19. 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有；则称函数为“速增函数”； 已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. 【答案】（1），. （2） 对于函数， 当，时，，， 又， 所以，故是“速增函数”. 对于函数， 当时，， 故不是“速增函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得且为偶数，即可求出，从而求出的解析式，由代入求出，即可得到的解析式； （2）根据“速增函数”的定义判断即可； （3）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数且是偶函数， 则且为偶数， 解得或（舍），所以， 又，即，解得，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当，时，由是“速增函数”， 可知，即， 即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由， 可得对一切正数恒成立， 即 对一切正数恒成立， 故对一切正数恒成立， 又，故对一切正数恒成立， 由对一切正数恒成立，可得，即. 综上可知，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $