精品解析：河北省易县中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章第四节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的圆心角为3rad，且该扇形的周长为15cm，则该扇形的面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. 27cm2 D. 9cm2 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角是第一象限角，则下列各角中，是第二象限角的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若，则为定值 D. 若是三条边的边长，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 13. 已知，且，若，则__________． 14. 函数所有零点的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． （1）求的值； （2）求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 17. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）若是的零点，证明：． 18. 已知函数满足，且当时，． （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若，且，求的取值范围． 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章第四节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，做出命题的否定，即可得解. 【详解】命题“”的否定为“”． 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解不等式求出集合，再根据交集的定义求解. 【详解】由得，解得； 由得，解得. 所以，， 所以． 故选：D. 3. 已知某扇形的圆心角为3rad，且该扇形的周长为15cm，则该扇形的面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. 27cm2 D. 9cm2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得出解. 【详解】设该扇形的半径为cm，则，解得，该扇形的面积为cm2． 故选：A 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除. 【详解】，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，排除A，B． ，排除D，所以只有C正确． 故选：C． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入中间值判断与的大小关系，又，从而可判断的大小关系. 【详解】函数在上单调递增，， 所以，即， ，， 所以． 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得恒成立，则函数与有相同的零点，即得，求出的值即可判断. 【详解】由，可得恒成立， 则函数与有相同的零点． 又因在定义域上单调递增，且， 故，解得，故． 故选：C. 7. 已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 8. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过取特值法验证函数的周期排除①；利用图象的翻折规律判断②；根据诱导公式和余弦型函数的周期性公式计算判断③；利用正切型函数的周期公式计算判断④. 【详解】对于①，设，因， ，显然，故不合题意； 对于②，因的最小正周期为， 函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意； 对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意； 对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意. 故最小正周期为的所有函数的序号为②④. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角是第一象限角，则下列各角中，是第二象限角的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由角是第一象限角，可知角是第四象限角.将角的终边按逆时针方向分别旋转和，得到角和，即可判断其所在的象限；同理，将角的终边按逆时针方向分别旋转和，得到角和，即可判断其所在的象限. 【详解】若角是第一象限角，则是第四象限角. 所以将角的终边按逆时针方向旋转得到角，其终边落在第二象限， 所以是第二象限角 ； 将角的终边按逆时针方向旋转得到角，其终边落在第一象限， 所以是第一象限角； 将角的终边按逆时针方向旋转得到角，其终边落在第三象限， 所以是第三象限角； 将角的终边按逆时针方向旋转得到角，其终边落在第二象限， 所以是第二象限角. 所以第二象限角有和. 故选：AD 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、充分条件和必要条件的定义，分别对选项逐一进行分析即可. 【详解】对于A，通过作差法得，，， 又的正负无法确定，当时，，即； 当时，，即.故A错误. 对于B，当时，可以推出， 当时，不一定有，例如：时，但不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，，， 对和作差，， ，，.故C错误. 对于D，，， 根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若，则为定值 D. 若是三条边的边长，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义可判断A；根据奇偶性和复合函数单调性判断的单调性，结合对称性和可判断B；利用对称性可判断C；先判断的单调性，然后结合三角形构成条件即可判断D. 【详解】对A，因为恒成立， 所以的定义域为， 又，所以， 所以 ， 所以是奇函数，正确； 对B，因为是奇函数，所以， 所以， 因为在上单调递增，且恒成立， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 由平移变换可知在上单调递增， 因为当时，恒成立，所以，所以， 所以恒成立，错误； 对C，由可知，当时，， 所以，正确； 对D，因为在上单调递增，且为增函数， 所以在上单调递增， 若是三条边的边长，则，所以，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 13. 已知，且，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，指数幂和对数的运算性质及换底公式进行运算即可得解. 【详解】因为，所以，所以. 则． 故答案为：2 14. 函数所有零点的和为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】将问题转化为函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 易得的图象与直线均关于点（2，0）对称． 又， 结合的图象与直线可知， 的图象与直线在内共有5个交点， 则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称， 则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22． 故答案为：22 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将原式化简为，根据三角函数的定义求出的值，再代入化简后的式子即可得解； （2）利用平方关系和商数关系将原式变形为，将的值代入变形后的式子即可得解. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 因为角的终边经过点，所以. 所以原式的值为； 【小问2详解】 因为， 分子分母同时除以可得， 将代入上式可得. 所以原式的值为. 16. 甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． （1）求的值； （2）求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【答案】（1） （2）32天 【解析】 【分析】（1）将，代入函数解析式，再利用指数式与对数式的互化及指数幂的运算性质运算即可求出的值； （2）由题意列出不等式，再利用函数的单调性转化为一元二次不等式，令函数，通过估算的值得到使不等式成立的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为当时，，所以， 整理得，即，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，． 要使该新房空气中甲醛的浓度达到安全入住标准， 须满足， 整理可得. 因为函数在上单调递减， 所以． 因为函数在上单调递增， 且． 所以至少通风32天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 17. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）若是的零点，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，显然是上的增函数． 因为，由零点存在定理，可得． 由，得，则， 由． 因为，所以．则，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，则， 则． 【解析】 【分析】（1）利用列方程组法求解函数的解析式即可； （2）先由零点存在定理求得，由函数的零点定义可得，利用作差比较法和基本不等式即可证明结论. 【小问1详解】 由，① 可得，② ②2①，得 ， 则． 【小问2详解】 略 18. 已知函数满足，且当时，． （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 在上单调递增．证明如下： 因为， 所以令，则有. 因为当时，，所以当时，， 所以，所以可得. 任取，且， 再令，可得，即． 因为，所以，所以，所以． 因为，所以可得，所以在上单调递增； （3）． 【解析】 【分析】（1）令，并将其代入，即可求出的值； （2）令，并将其代入原式，得到.任取，且，再令，并将其代入原式，利用所给条件，根据单调性的定义证明的单调性即可； （3）利用（2）的结论及条件将原不等式转化为，①. 令，其对称轴为.通过讨论对称轴与区间的位置关系，将①式能成立转化为函数在上的最小值，通过解不等式，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 令，则有． 因为当时，，所以不恒成立，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则有，因为，所以. 则由， 可得． 由（2）可知，在上单调递增，则有， 故，①. 令，其对称轴为. 若，即，则函数在上单调递增，要使①能成立， 须满足，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减， 在上单调递增，要使①能成立，须满足 ， 整理可得，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减，要使①能成立， 须满足，解得，所以． 综上，可知的取值范围为． 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求出解析式，然后可得的坐标，即可得解； （2）转化为在区间上的最小值大于在上恒成立，然后利用平方关系转化为在上恒成立，解不等式即可； （3）令，然后解方程，然后直接求出相应，结合题意即可得解. 【小问1详解】 将点坐标代入函数解析式可得：，即， 又，所以，所以， 易知，函数的最大值为3，最小值为，周期为， 记，则，所以. 令得， 所以或，即或， 由图可知，，所以 【小问2详解】 对任意的，任意的，恒成立， 等价于在区间上的最小值大于在上恒成立. 由（1）可知，，当时，， 所以，所以，即， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 由余弦函数性质可知，. 【小问3详解】 ， 令，则， 解得或，即或， 即或（舍去），所以， 所以或或或， 即或或或， 则方程的非负实数根由小到大为， 因为方程在上恰有3个不相等的解， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $