湖南省邵阳市2026届高三上学期第一次联考数学试题

2026年邵阳市高三第一次联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，的面积为3 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D. 若函数的导函数为，则的图象关于点对称 11. 已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B. 若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前项和为，若，，则___________． 13. 已知多项式，若，则___________． 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点． （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军的概率； （2）（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望； （ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）过点且与垂直的直线与椭圆相交于两点，在轴的上方，分别为线段，线段的中点，直线与直线相交于点． （i）直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求的面积的最小值． 19. 若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． （1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； （2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 2026年邵阳市高三第一次联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】8 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）1. （2） 【16题答案】 【答案】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面. （2）存在，点为棱上靠近点的三等分点. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i） 3 5 （ii）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）直线过定点，定点坐标为；（ii） 【19题答案】 【答案】（1）不是“3阶自和函数”. （2） （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以 ． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时， ，单调递减，当 时， ，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又 ， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即 . 设，则， 所以当时，，单调递减， 当 时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当 时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $