精品解析：江西丰城市东煌学校2025-2026学年上学期第四次月考高二数学试卷

2025----2026学年上学期第四次月考高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 2. 若，则n的值为（ ） A. 8 B. 13或8 C. 13 D. 8或5 3. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（ ） A. 0.021 B. 0.022 C. 0.023 D. 0.04 5. 已知方程表示焦点在轴上双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则等于（　　） A 4 B. C. 32 D. 7 已知向量，且，那么（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 8. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列关于的说法，正确的是（ ） A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024 C. 展开式的第5项的二项式系数最大 D. 展开式的第3项为45x 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 已知曲线，，则（ ） A. 与焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 13. 已知双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为__________________． 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 四、解答题（本题共5小题，第1题13分，第2题15分，第3题15分，第4题17分，第5题17分，共77分） 15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． （1）平均分成三堆； （2）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； （3）平均分给甲、乙、丙三人； （4）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （5）一人得1本，一人得2本，一人得3本． 18. 已知二项式. （1）求展开式的第4项； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中的常数项. 19. 箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球. （1）求摸到两球编号均为奇数的概率； （2）在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025----2026学年上学期第四次月考高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解. 【详解】依题意，不同选法种数是. 故选：C 2. 若，则n的值为（ ） A. 8 B. 13或8 C. 13 D. 8或5 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质，即从个元素取个的组合数与取个的组合数相等. 【详解】由组合数的性质可得或，解得或． 故选：B． 3. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有条件概率计算即可. 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为. 故选：B 4. 某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（ ） A. 0.021 B. 0.022 C. 0.023 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得，任取1件产品且抽到不合格品的概率为 故选：B 5. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 详解】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6. 若，则等于（　　） A. 4 B. C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为：， 令，即得：， 所以. 故选：D 7. 已知向量，且，那么（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得的值，再利用模长公式即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B. 8. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码被破译的概率为：，据此可得答案. 【详解】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码不被任何人破译概率为： ， 从而密码被破译概率为：. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列关于的说法，正确的是（ ） A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024 C. 展开式的第5项的二项式系数最大 D. 展开式的第3项为45x 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答. 【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确； 对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误； 对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的第3项为，D正确. 故选：AD 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线，，则（ ） A. 与的焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析椭圆和双曲线的性质，再逐项判断即可. 【详解】对：， 可知焦点在轴上，其中，，所以. 所以长轴长为，离心率为； 对，可知焦点轴上，且，， 所以，所以其离心率， 渐近线为. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法直接计算即可. 【详解】由题可知：甲、乙至少有一人中靶的概率为. 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点可得，即又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，最后计算即可. 【详解】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合， 可得双曲线的右焦点为，即，可得， 又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得， 即交点为，代入渐近线方程，可得，可得， 将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为， 故答案为： 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量坐标计算公式可得答案. 【详解】由题，在上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，第1题13分，第2题15分，第3题15分，第4题17分，第5题17分，共77分） 15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，． （1）求点到平面距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法来求点到面的距离即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可. 【小问1详解】 如图建系，根据已知条件可得：， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 则点到平面的距离； 【小问2详解】 由平面的法向量为，平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为： . 17. 将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． （1）平均分成三堆； （2）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； （3）平均分给甲、乙、丙三人； （4）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （5）一人得1本，一人得2本，一人得3本． 【答案】（1）15 （2）60 （3）90 （4）60 （5）360 【解析】 【分析】（1）是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数； （2）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （3）是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数； （4）是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数； （5）是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数． 【小问1详解】 将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序． 故有， 将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法. 【小问2详解】 由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法． 故有． 所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法． 【小问3详解】 先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人， 故有． 所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法 【小问4详解】 实际上和（2）的问题是等价的. 故有． 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法． 【小问5详解】 由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以． 故有． 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 18. 已知二项式. （1）求展开式的第4项； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【小问1详解】 的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. 【小问2详解】 由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . 【小问3详解】 由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 19. 箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球. （1）求摸到两球编号均为奇数的概率； （2）在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）利用条件概率公式直接计算可得结果. 【小问1详解】 设事件A：“摸到两球编号均为奇数”， 则. 【小问2详解】 设事件B：“摸到1号球”，事件C：“摸到两球编号的和为奇数”， 则， 事件BC同时发生，即为摸到1、2号球或者1、4号球， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $