精品解析：新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2025-2026学年高二上学期期末数学试题

墨玉县2025-2026学年高二上学期期末卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可知，直线的斜率， 故，即直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：C. 3. 已知直线经过抛物线的焦点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出焦点坐标代入直线方程即可得解. 【详解】由抛物线得焦点坐标，因为直线经过抛物线的焦点， 所以，即. 故选：D 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，则中最小角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，由题意可得，，化简可得，，计算即可求解. 【详解】在中，设， 若，，成等差数列，则， 在中，， 所以，化简可得，即， 所以， 所以. 故选：B 5. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像分别选取为基底向量，根据向量的加减及数乘运算求得结果. 【详解】如图 由题可知 ， 故选：D 6. 设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，求出首项和公差之间的关系式，根据等差数列通项公式，求出结果. 【详解】由得，化简得， 因为，则 由得，化简得，即， 所以使成立的的最大值为1012. 故选：A. 7. 已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个圆有四条公切线可得两个圆相离，再用几何法即可解得. 【详解】由圆，即，得圆心，半径. 再由圆，即，得圆心，半径. 又因为两个圆有四条公切线，所以两个圆相离，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，点在线段上，且使，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，用等面积法，求出线段长度之间的关系，根据余弦定理，列出方程组，求出参数的齐次方程，进而求出离心率. 【详解】 如图所示，当时，， 设，则，所以， 则，解得， 此时， 在中，， 在中，， 由得， 代入得，化简得， 即，解得，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的实轴长为3 B. 的一个焦点坐标为 C. 的渐近线方程为 D. 的离心率为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出、、，再根据双曲线的性质一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，所以； 对于A：的实轴长为，故A错误； 对于B：的一个焦点坐标为，故B正确； 对于C：的渐近线方程为，故C正确； 对于D：的离心率，故D正确. 故选：BCD 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若为等差数列，则数列有可能为等差数列 D. 若为等比数列，则数列有可能为等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A、B选项，分别分析当，和时， ，看是否为等差数列或等比数列；对于C、D选项，要考虑公比或公差为1的情况. 【详解】对于A选项，当时，；当时， ，将代入得，所以，故不为等差数列； 对于B选项，当时，；当时， 将代入得，成立， 所以，故为等比数列； 对于C选项，若为等差数列，设公差为，则， 当时，，此时， 所以为等差数列； 对于D选项，若为等比数列，设公比为，首项为则 ①当时，，不是等比数列； ②当时，， 若为等比数列，则需要满足，即， 化简得，解得（不成立） 所以不为等比数列. 故选：BC. 11. 如图，在正方体中，，是棱的中点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 当时，平面 D. 异面直线与夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法研究平面位置关系，求解对应异面直线所成角即可判断对应选项. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， ， 因为，所以 对于A，， 若，则，解得，故A选项正确； 对于B，，若， 则需存在使，即， 所以，显然方程组无解，故不存在，使得，B选项错误； 对于C，当时，，， 所以，即，， 因为，平面， 所以平面，故C选项正确. 对于D，， 所以， 所以异面直线与夹角的余弦值为，故D选项正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接根据空间向量的数量积为零可得结果. 【详解】由向量，，且， 所以，得. 故答案为：1. 13. 已知等比数列满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用下标和性质求出，结合可得，然后可得. 【详解】由等比数列下标和性质可知，又，所以， 记公比为，则，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知点，，若圆上的任意一点均满足，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用特殊值（位置）法，因为圆上任意一点均满足，故可取圆上两个特殊点，根据列出方程，再取交集，即可得解. 【详解】若圆上的任意一点均满足， 则圆上的点与，也满足， 即，. 因为，，故 由，可得，得； 由，可得， 整理得，解得或. 综上所述，取两种情况下的交集，得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 16. 已知圆与直线. （1）证明：直线与圆相交； （2）设直线与圆的交点为，，求的取值范围. 【答案】（1） 由圆，得，圆心，半径. 再由直线，即， 令，解得，所以直线经过定点， 且，所以点在圆内，故直线经过圆内一个定点， 故直线与圆相交. （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断直线经过定点，且定点在圆内，所以直线与圆相交； （2）因为直线经过圆内的定点，所以圆心距，再由圆的弦长公式可得弦长的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：过C点作，则，当且仅当M与N重合时等号成立. 所以，且，所以. 故的取值范围为. 17. 已知抛物线过点，焦点为. （1）求； （2）过点作直线与交于，两点.若的面积为10，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，由焦半径公式计算即可求出； （2）设，，联立方程组，根据计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，，则，则，， 故； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在，设， 联立，得， 设，则，， 则 ， 解得，满足， 则直线的方程为. 18. 已知数列满足，，. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，求. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的递推公式求出的递推公式，然后利用构造法可证； （2）利用（1）中结论，结合等比数列通项公式即可求解； （3）利用（2）中结论，结合已知分为奇数和偶数求出数列的通项公式，然后分组求和即可. 【小问1详解】 当时，因为为奇数，为偶数， 所以，所以， 又，， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以. 【小问3详解】 由（2）可得，又， 所以， 所以 19. 如图，在四棱锥中，，，，是对角线与的交点，点满足，且平面. （1）证明：. （2）若二面角的余弦值为， （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，，，所以, 所以为的角平分线， 又为等腰三角形，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）（i）4；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证，然后由线面垂直性质定理证明，结合线面垂直判定定理证明平面，然后可证； （2）（i）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，求出平面法向量，根据二面角的向量公式列方程求解可得；（ii）利用线面角的向量公式直接计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，所以，， 因为，所以，， 因为平面，平面，所以， 以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知为平面的一个法向量， 由题知，，解得（负值舍去），即； （ii）由上可得， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 墨玉县2025-2026学年高二上学期期末卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 2. 已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过抛物线的焦点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，则中最小角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 7. 已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，点在线段上，且使，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的实轴长为3 B. 的一个焦点坐标为 C. 的渐近线方程为 D. 的离心率为2 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若为等差数列，则数列有可能为等差数列 D. 若为等比数列，则数列有可能为等比数列 11. 如图，在正方体中，，是棱的中点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 当时，平面 D. 异面直线与夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，则实数__________. 13. 已知等比数列满足，，则__________. 14. 已知点，，若圆上的任意一点均满足，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知圆与直线. （1）证明：直线与圆相交； （2）设直线与圆的交点为，，求的取值范围. 17. 已知抛物线过点，焦点为. （1）求； （2）过点作直线与交于，两点.若的面积为10，求直线的方程. 18. 已知数列满足，，. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，求. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是对角线与的交点，点满足，且平面. （1）证明：. （2）若二面角的余弦值为， （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $