精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第4周周考数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第4周周考数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算出答案. 【详解】因为，所以z= ，所以 故选：C 2. 已知抛物线的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与点关于直线对称列出方程，求解即可． 【详解】由题意知，准线方程为， 根据对称性得，因此， 故的方程为， 故选：C． 3. 数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（ ） A. 34.5 B. 46 C. 49 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数定义求解即可. 【详解】先按照从小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12个数据， 12×75%=9，第9，10个数据分别为46，52，则第75百分位数为. 故选：C. 4. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 5. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“”的代换求最小值，注意取值条件即可． 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 6. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 7. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 8. 已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取，此时函数和不满足条件，当时，设直线与切于，与切于，根据导数的几何意义可得，求出函数和的切线方程，由条件可得，条件可转化为方程有两个不同的解，设，利用导数研究函数图象，结合图象可得的范围. 【详解】当时，，，不存在公切线， 当时，设直线与切于， 与切于， 又，， 则直线的斜率， 所以， 所以直线为，即， 直线也可以写成，即， 所以， 将代入可得，， 又，所以， 因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切， 所以方程有两个不同的解， 设， 则， 当时，解得， 当时，解得， 所以， 又因为且无穷接近时，趋近正无穷； 当时，趋近正无穷； 函数的大致图象如下： 所以， 所以， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合运算的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用交并集、补集的知识及关系，即可得出结论. 【详解】对于A：由并集及交集，补集知识可知，故A正确； 对于B：由交集的分配律可得，故B正确； 对于C：由交集与并集知识可得，故C错误； 对于D：由交集与并集知识可得，故D正确. 故选：ABD. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 各项系数的绝对值之和为 C. 常数项为140 D. 的系数为40 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法可计算并判断A、B；利用通项公式可计算并判断C、D. 【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A错误； 对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等， 在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则有4种情况： 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为. 故常数项为，故C错误； 对于D，令，结合， 则有，解得或， 当时，该项为； 当时，该项为， 所以的系数为，故D正确. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期可判断A选项；结合已知和对称性得，，，，进而利用周期性求和可判断B选项；将的零点转化为函数图象的交点问题即可求解C选项；结合与的函数值的符号，根据奇函数的性质和周期性可判断D选项. 【详解】为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ，且函数的图象关于点对称， 函数的周期为4，故A错误； 当时，，， 而，，， ，故B正确； 函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称， 所有零点之和为，故C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时，，， 当时，， 又与的周期都为4， 在上成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：(1)关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；(2)关于周期：若，或，可知函数的周期为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正实数满足 则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用双变量同构函数思想，构造函数，从而把问题转化为研究函数单调性可得，最后利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为正实数，， 所以两边同除以得： 整理得：， 构造，由于 则原不等式等价于， 因为，所以， 即是上的单调递增函数， 所以， 则，取等号条件是， 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由双曲线定义求出，求出，，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，，由双曲线定义可得， 即，所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率， 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据奇偶性求出参数，根据题意进行图象变换得到，再根据函数单调性结合函数图象求解. 【详解】由题意，， 由是奇函数，可得，即， . 所以，. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到， 令时， 则时，单调递增，时，单调递减， 时，；时，. 函数的图象如图， 由图可知，若函数与直线在时有两个交点，则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【答案】（1） 数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 16. 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. （1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； （2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】（1） （2）应该选择参加乙活动，理由如下： 由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额 的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 【解析】 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【小问1详解】 由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 为矩形，， 平面，平面，， 平面，平面，，平面， 平面，. （2） ； （3）. 【解析】 【分析】（1）由为矩形得到，由平面得到，从而得到平面，又平面，从而得到. （2）利用空间向量法求解； （3）利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，分别为轴建系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，， 取，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， .即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离，， . 18. 已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设到直线的距离为，则， ， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可； （2）（i）依题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，以及题设条件推得，代入的表达式，利用不等式的性质即可求得的取值范围；（ii）在（i）的基础上，求出到直线的距离和弦长，代入三角形的面积公式化简计算即可证明. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：, 由椭圆经过点，可得，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）依题意，设直线的方程为， 由，消去，可得， 则 设，且，， 则 因为线段中点，则得, 又点关于点的对称点是，则得，即， 因点在椭圆上，则有，即，则有， 因 . 由，可得，则，故. 即的取值范围为； （ii）略 19. 已知函数． （1）证明：当，时，； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，， 则函数在单调递减 即. （2） （3） 先证明：当，． 由等比数列求和公式得： 所以只需证：当时，． 设，只需证：当时， 设， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 所以有， 又，则 所以， 所以， 即当时， 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调性即可求证； （2）求导，通过，，时，讨论单调性即可求解； （3）先证明当，，求和后利用放缩法证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时，，不成立. ②当时，，显然成立. ③当时，存在，使得， 当单调递增，单调递减， 则 综上所述：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第4周周考数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（ ） A. 34.5 B. 46 C. 49 D. 52 4. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合运算的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 各项系数的绝对值之和为 C. 常数项为140 D. 的系数为40 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正实数满足 则 的最小值为_______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 16. 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. （1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； （2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 17. 如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 19. 已知函数． （1）证明：当，时，； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $