山东省济宁市济宁学院附属中学2025-2026学年 上学期九年级数学期中质量检测

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题（附中） 一．选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的，请你将正确选项的代号填在答题卡内） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 2．如图为某个几何体从正面看得到的形状，则该几何体不可能为（　　） A． B． C． D． 3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm，最小距离是1cm，则这个圆的半径是（　　） A．3cm B．2cm C．3cm 或2cm D．不能确定 4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 5．在平行投影下，矩形的投影不可能是（　　） A． B． C． D． 6．将抛物线y＝3x2如何平移得到抛物线y＝3（x﹣5）2+1（　　） A．向左平移5个单位，向下平移1个单位 B．向左平移5个单位，向上平移1个单位 C．向右平移5个单位，向下平移1个单位 D．向右平移5个单位，向上平移1个单位 7．如图，点A，B，C在半径为5的⊙O上，AB＝6，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数y＝2（x﹣3）2﹣4（1≤x≤6）的最大值与最小值的和为（　　） A．18 B．0 C．10 D．无法确定 9． 如图，在⊙O中，＝，有下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD； ③∠AOC＝∠BOD；④＝，其中正确的有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 10．已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（　　） A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜2 二．填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上） 11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．如图，在⊙O中，若＝＝，则AC与2CD的大小关系是：AC　 　 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 13．图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中小正方体共有 　 　 ． 14．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是　 　 ． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b2＜4ac； ③2c＜3b；④a+b＞m（ma+b）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4． 其中正确的结论有 　 　 ． 三．解答题（本大题满分75分，解答要写必要的解答过程） 16．（8分）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 17．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于E． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 18．（8分）如图，是某几何体的三视图． （1）直接写出该几何体名称； （2）若△EFG中，EF＝8cm，∠EFG＝45°．BC＝10cm，求左视图ABCD的面积． 19．（9分）如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，垂足是点E．连接CO并延长交AD于点F．若AB＝2，求当CF⊥AD时，CD的长． 20．（9分）金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． （1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 21．（10分）如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．（1）求证：CE＝CF； （2）当E为弧中点时，求证：BE＝AC． 22．（11分）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”． 小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参照小组同学的方法解决下面问题： （1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是　 　 ； （2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”， 则（m+n）2023的值为　 　 ； （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A D B C B C 二．填空题（共5小题） 11．x＞1 ． 12．＜　 13． 　9　 ． 14．　（0，0）　 ． 15． 　③⑤ ． 三．解答题 16．解：画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 如图所示： 17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点， ∴， 解得， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）联立方程组得：， 解得（舍去），， ∴D（4，5）． 在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1， ∴F（0，1）． 在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴E（0，﹣3）． ∴EF＝1﹣（﹣3）＝4． 过点D作DM⊥y轴于点M， ∴S△DEF＝EF•DM＝8． 18．解：（1）该几何体名称：三棱柱； （2）如图，作EM⊥FG于M， ∴∠EMF＝∠EMG＝90° ∵∠EFG＝45°，EF＝8cm， ∴， ∴， ∴左视图ABCD的面积＝． 19．解：连接AC， ∵AB＝2， ∴OA＝OC＝1， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴AC＝AD， ∵CF⊥AD， ∴AF＝DF， ∴CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACF＝∠DCF＝30°， 在Rt△COE中，CE＝OC＝＝， ∴CD＝2CE＝． 20.解：（1）每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出（120+10x）箱， 由题意得：（60﹣44﹣x）（120+10x）＝1800， 整理得：x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣2（舍去）； 答：x为6时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）由题意得：w＝（60﹣44﹣x）（120+10x）， 即w＝﹣10x2+40x+1920， 配方得：w＝﹣10（x﹣2）2+1960， 由于二次项系数为负数，则当x＝2时，利润最大，最大利润为1960元； 答：x为2时w最大，最大值为1960． 21．证明：（1）∵AE＝AC＝AF， ∴∠AEC＝∠ACE，∠ACF＝∠AFC， 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴∠CEA＝∠ACE＝∠ACF＝∠CFA， ∵∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠AEC，∠CAF＝180°﹣∠ACF﹣∠AFC， ∴∠CAE＝∠CAF， ∵AE＝AF，AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF（SAS）， ∴CE＝CF； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ACE∽△BAC， ∴∠B＝∠CAE， ∵E为弧中点， ∴∠CAE＝∠EAB， ∴∠B＝∠BAE， ∴BE＝AE， ∴BE＝AC． 22．（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3， ∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3， ∴y＝﹣x2﹣4x﹣3， 故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3； （2）解：根据题意得：， ∴． ∴（m+n）2023＝（3﹣2）2023＝1． 故答案为：1． （3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6， 则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6）， ∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）， ∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6， ∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数． 23.解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为0＜a≤或a＜0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $