精品解析：江苏省南京市中华中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

南京市中华中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：夏小强 审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【详解】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出. 【详解】等差数列中，由，得公差， 所以. 故选：B 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 4. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得，从而求得. 【详解】因为，所以， 则，所以， 故选：B． 5. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 6. 双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距可得，根据相切关系以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，得． 因为双曲线的渐近线与圆相切， 所以，得，又， 解得， 所以双曲线的方程为． 故选：A 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，所以椭圆的离心率为.   故选：A. 8. 设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. ． B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，即可得到是偶函数，求导说明的单调性，即可得到的取值情况，从而得到的取值情况. 【详解】设函数，可知的定义域为， 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 又， 因为当时，有恒成立，则， 所以在上单调递减，且，可知， 则在上单调递增，且； 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为．（ ） A. 当时，曲线是半径为2的圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A.由得到曲线方程判断；B.由得到曲线方程判断；C.根据曲线为离心率为的双曲线，则由判断；D. 利用充分和必要条件的定义判断. 【详解】A.当时，曲线方程为，所以是半径为2的圆，故正确； B.当时，曲线方程为，所以是双曲线，且其渐近线方程为，故正确； C.若曲线为离心率为的双曲线，则，方程无解，故错误； D. 当时，，曲线为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故必要，故正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 10. 已知数列，下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断;C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差数列前项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项. 【详解】对于选项A，由，得， 则 ，故A项正确； 对于选项B，由得， 所以为等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以，故B项正确； 对于选项C，因为， 当时，， 当时，， 将代入，得， 所以，所以数列不是等比数列，故C项错误. 对于选项D，设等差数列的公差为d， 由等差数列前项和公式可得， 所以与n无关， 所以数列为等差数列，故D项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图像有且只有两个不同的公共点，则的取值范围是 C. 方程恰有4个实根 D. 若关于的不等式恰有1个负整数解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出最小值，可判断A项，作出曲线与直线图像，根据图像可判断B选项，令，解得，数形结合可判断C选项，由直线过原点，再结合图像分析即可判断D选项. 【详解】对于A，由题可得：， 当或时，，当时，， 所以函数的单调减区间为，，函数的单调减区间为， 所以在处取得极小值，，在处取得极大值，，而，恒成立， 故的最小值是，即不等式对恒成立，所以A选项正确； 对于B选项，方程有且只有两个不同实数根，即直线与函数的图像有且只有两个不同的公共点，根据A 选项分析，函数与直线图像如下： 由于，，由图可得，，当或时，直线与函数的图像有且只有两个不同的公共点，故B不正确； 对于C，由，解得，令和，由于， 由图像知，和分别有两个解，综上，方程恰有4个实根，故C正确； 对于D，直线过原点，且，，即，，易判断，若关于的不等式恰有1个负整数解，即函数在的图像下方对应的值恰有1个负整数， 由于可得，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线方程是，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是， 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法求出，从而得到，利用裂项相消法求出，再分为偶数和奇数两种情况，参变分离法分别求出的取值范围. 【详解】因为①， 当时，则； 当时，则②. ①②得，即. 又也满足，所以. 所以， 则， 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当为偶数时，恒成立，所以， 因为在上单调递增，且， 所以； 当为奇数时，恒成立，即恒成立，则， 因为在上单调递减，且， 所以； 综上可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，圆为的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即求； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合条件利用圆的弦长公式即求. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， ∴方程为即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程得或，则弦长为8，符合题意， 当直线斜率存在时，可设直线方程为即， 圆心M到直线的距离为， ∴，解得， ∴直线方程为， 综上可得直线的方程为或. 16. 为等比数列的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，首先判断，再由等比数列求和公式得到、的方程组，解得即可； （2）分析可得的前项包含的前项及个，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 若公比，则，显然无解，故； 所以， 两式相除可得，则，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 设原数列有项时，插入的的个数如下： 在与间有个，在与间有个，…，在与间有个， 令，解得（负值已舍去）， 所以的前项包含的前项及个， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． （1）若直线的倾斜角为，求线段的长； （2）求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义可求； （2）设，，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义求出，最后根据以及基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题可知，， 则直线的方程为 联立，得，． 设，则， 则线段的长为. 【小问2详解】 依题意，，直线的斜率存在且不为0，设，， 由，得，显然， 设，则，得， 同理可得，， 四边形的面积，等号成立时， 故四边形的面积取得最小值32． 18. 已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：（i）设,，,，， 由（1）可知，， 所以，， 因为，即，所以， 所以， 又，所以， 所以； （ii）设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 由（i）可知，，即， 所以， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以直线经过轴上的定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程； （2）（i）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可；（ii）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理与（i）中斜率乘积为定值，化简求得定点坐标，即可证得结论． 【小问1详解】 依题意可设椭圆，且， 又的周长为，即， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可得，当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为有极值，由（1）知，，且在处取得极大值，即最大值， 故，即为， 令，则，所以在上单调递增， 且，所以当时，即，故的取值范围为； 【小问3详解】 由恒成立，，得恒成立， 令，，所以， 令，，则，所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在上单调递增，，即，所以，， 故， 所以，即， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：夏小强 审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 4. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 6. 双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. ． B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为．（ ） A. 当时，曲线是半径为2的圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 10. 已知数列，下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图像有且只有两个不同的公共点，则的取值范围是 C. 方程恰有4个实根 D. 若关于的不等式恰有1个负整数解，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线方程是，则___________． 13. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为_____________． 14. 已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，圆为的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 16. 为等比数列的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． （1）若直线的倾斜角为，求线段的长； （2）求四边形的面积的最小值． 18. 已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $