精品解析：江苏省南京市中华中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

学科网丽组卷网 南京市中华中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟满分：150分 命题：夏小强审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.过点1，-3)且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程是（) A.2x+y+1=0 B.x+2y+5=0 C.x-2y-7=0 D.2x-2y-5=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点(1，-3)，采用点斜式即可求出待求直线方程. 1 详解】直线x-2y+10化为斜截式为y)x+,即斜率为天 设所求直线斜率为k2,则k·飞2=-1可得：飞=一2， 所求直线过点(1，-3)，所以方程为y-（-3)=-2(x-1), 化简可得2x+y+1=0. 故选：A. 2.已知数列{an}是等差数列，a2=5,a4=7,则a,=() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出4 【详解】等差数列{a}中，由4，=5，a,=7,得公差d=0-4=1, 4-2 所以a,=a4+3d=10 故选：B 第1页/共19页 学科网 命组卷网 3.函数f(x=x3-12x+1的极小值为() A.-17 B.-15 C.15 D.17 【答案】B 【解析】 【分析】求得f'(x)=3x2-12,得出函数f(x)的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解 【详解】由函数f(x)=x3-12x+1,可得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 当x<-2时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增： 当-2<x<2时，f'(x)<0,函数fx单调递减； 当x>2时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以x=2是极小值点，则函数的极小值为f(2)=-15 故选：B 4.若函数f(x)=sinx+2xf'(0),则f'(0)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得∫'(x),从而求得'(O) 【详解】因为f(x=sinx+2xf'(0),所以f'(x)=cosx+2f'(0), 则f'(0)=cos0+2f'(0)=1+2f'(0),所以f'(0)=-1, 故选：B. 5.若等比数列{an}的各项均为正数，且a,a6+a44,=18，则l0g341+log342+…+log34o=() A.12 B.10 C.5 D.2l0g,5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得 【详解】因为aa6+aa7=18,又a,a6=a4a,,所以a4a,=9, 第2页/共19页 学科网丽组卷网 所以41a10=a2a,=a3ag=a4a,=aa6=9, 所以aa2…aw=(aa1o(a,ag(a,as）(a4a,a,a6)=9=30, 所以l0g3a1+l0g,a,+…+log,a0=log,(a,a2…ao）=log33l0=10 故选：B ,x2y2 6双曲线C:。京=1(a>0,b>0)的焦距是4.其渐近线与圆C:(x+2+广=1相切，则双曲线C 的方程为() 321 A. B.x2y -=1 C.xy 二1 D 3 62 152s1 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距可得c=2,根据相切关系以及点到直线的距离公式即可求解b=1,a=√3 【详解】由题意可得2c=4,得c=2. 因为双尚线C:上 京存=1(a>0,b>0)的浙近线bx±ay=0与圆Cx+22+y'=1相切， -2b 所以 =1,得a2=3b2,又c2=4=a2+b2, Va2+b 解得b=1,a=√3， 所以双曲线C的方程为 3y2=1. 故选：A 1已知F是横国C号+芳=a>b>0的去台点，主袋y=≠0)交暂C于M.N两点去 2 2π FM=3|FN,∠MFN= ,则椭圆C的离心率为() 3 A分 B.② D.V5 4 4 4 【答案】A 第3页/共19页 学科网可组卷网 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出FMF,N为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次 式得到离心率即可 【详解】设E是椭圆C的右焦点，连接MF,NF,, 由对称性可知OM=ON,OF=OF,, 则FM,N为平行四边形，则M=FN,∠FM=子即FM=3M, 因FW+lM=4wE=2a.则wr-aFM=a, 在△FMF,中，由余弦定理可得FF=ME+|FMP-2 MFFM-cOsZFMF, 即4e2=a2+9a2-2xax2ax 131 4 4 2 2 2 解得c2、7 a216 所以C的肉心率为e== 故选：A 8.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有xf'(x)-f(x<0恒成立，则不等式 f(x>0的解集为() A.-2,0)0,2). B.（-2,0)U(0,+∞ C.（-00,-2U(2,+0 D.-0,-2)U0,2 【答案】D 【解析】 【分析】设函数g)=八，即可得到gx是偶函数，求导说明gx的单调性，卿可待到gx的取 第4项/共19页 学科网组卷网 值情况，从而得到∫x)的取值情况， 【详解】设函数g刘=因，可知g到的定义拔为xx0, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 则g-对=--儿国_儿国=g,所以g)是偶函数。 -xx 又g(x=-x) 因为当x>0时，有f'(x)-fx<0恒成立，则g'(x)<0, 所以gx)在(0，+o)上单调递减，且f(2)=0,可知g2)=0, 则g(x)在(-o0,0)上单调递增，且g-2)=g(2)=0; 所以当x>2时，gx<g(2)=0;当0<x<2时，gx>g(2)=0: 当x<-2时，8x)<g-2)=0；当-2<x<0时，gx)>g-2)=0; 所以当x<-2时，g(x)<0,f(x)>0: 当-2<x<0时，gx)>0,f(x)<0: 当0<x<2时，g(x)>0,f(x)>0; 当x>2时，gx<0,f(x)<0. 所以不等式f(x)>0的解集为-0，-2)U(0,2) 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知曲线C的方程为X+广=1k∈R).（) 9-kk-1 A.当k=5时，曲线C是半径为2的圆 B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±x C.存在实数k,使得曲线C为离心率为√2的双曲线 第5页/共19页 学科网丽组卷网 D.“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A由k=5得到曲线方程判断；B.由k=0得到曲线方程判断；C根据曲线C为离心率为√2的双曲线，则 由9-k+k-1=0判断；D.利用充分和必要条件的定义判断 【详解】A当k=5时，曲线方程为x2+y2=4,所以是半径为2的圆，故正确： B.当k=0时，曲线方程为二-y=1,所以是双曲线，且其衔近线方程为y=±号x,故正确： C.若曲线C为离心率为√2的双曲线，则9-k+k-1=0,方程无解，故错误； D.当k=10时，k>1,曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时， k-1>0 则 9-k>k-1:解得1<k<5,故必要，故正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析能力，属于基础题 10.己知数列{an},下列结论正确的有() A.若a1=2,am+1=an+n+1,则a20=211 B.若41=1，an+1=2an+1,则an=2”-1 C.若Sn=3”+。,则数列{an}是等比数列 D.若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 为等差数列 n 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造{an+1}为等比数列，求通项公式，即可判断： C.利用公式an= S,-S,≥2”即可求解通项公式，判断选项：D.根据等差数列前刀项和公式，结合 S,n=1 等差数列的定义，即可判断选项。 第6页/共19页 命学科网丽组卷网 【详解】对于选项A,由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1, 则a20=（a20-a1g+(a1g-a18+a18-a17）+…+a2-a1+a1 =20+19+18++2+2=19×(20+2)+2=211,故A项正确： 2 对于选项B,由an+1=2an+1,得(ant1+1)=2(an+1), 所以{a+}为等比数列，首项为4+1=2，公比为2， 所以an+1=2×2"-1=2”,所以a,=2”-1,故B项正确； 对于选项C,因为S=3+2” 1 17 当n=1时，a,=3+ 22' 当n≥2时，an=Sn-Sn1=3”-3”-1=2×3”-1, 将n=1代入0，=2×3，得a=2≠7， 个 所以an= 所以数列{an}不是等比数列，故C项错误。 2×3"-,n≥2 对于选项D,设等差数列的公差为d, 由等差数列前n项和公式可得Sna,+，d 2=a4+ -d=2n+a-2 d d, n n 22 所以S出S=a+1)-n=号与n无关， n+1n2 2 2 所以数列心}为等差数列，故D项正确 1 故选：ABD 1.已知函数f)=+3x+1,其中x∈R,则() e A.不等式f(x)≥-e2对x∈R恒成立 B.若直线y=k与函数f(x)的图像有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是(-e,0] C.方程f(f(x)=0恰有4个实根 第7项/共19页 学科网组卷网 D.若关于x的不等式f(x)<ax恰有1个负整数解，则a的取值范围为 e, 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数(x)求导，判断其单调性，求出最小值，可判断A项，作出曲线∫(x)与直线y=k图像， 根据图像可判断B选项，令f()=0,解得x=3± ,数形结合可判断C选项，由直线y=ax过原点， 2 再结合图像分析即可判断D选项 【详解】对于A,由竖可行：f=2x+3到e-（+3x+e-2+x-2。-1x+2) (e) er 当x<-2或x>1时，f'(x)<0,当-2<x<1时，f'(x)>0, 所以函数f(x)的单调减区间为-o,-2),(1,0),函数f(x)的单调减区间为-2,1， 所以f)在x=-2处取得极小值，f(-2)=-e2,在x=1处取得极大值，f0=三，而x>1,f(x)>0 恒成立， 故f(x)的最小值是e2,即不等式f(x)≥-e2对x∈R恒成立，所以A选项正确； 对于B选项，方程f(x)=k有且只有两个不同实数根，即直线y=k与函数(x)的图像有且只有两个不同 的公共点，根据A选项分析，函数f(x)与直线y=k图像如下： /(x) 01 v=k 由于f(-2)=-e,f0=5,由图可得，当-e2<k≤0或k=5时，直线y=k与函数的图像有且只 有两个不同的公共点，故B不正确； 第8页/共19页 学科网丽组卷网 对于c,自f=0,解特x=3生5，令=3,5和j=35,由于 2 2 -e2<-3±v5 2 0 A yf(x) -3+√5 e /2 -2 O:1 T-- 35 = 2 由图像知，-3,5和=-35分别有两个解，综上，方程了)=0恰有4个实根， 2 2 故C正确； 对于D.直线y=ar过原点，且f-1)=-e,f(-2)=-e,即太=八D0=c,k=f2)0-g -1-0 -2-02 ,易判断k<k2,若关于x的不等式f(x)<ax恰有1个负整数解，即函数f(x)在y=axr的图像下方对应 的x值恰有1个负整数， e 2 y=f(x) v-er 由于可得k≤a<k,即esa<C ,故D正碗 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若曲线C:fx)=alnx+x3+b在点x=1处的切线方程是2x-y-2=0,则a+b= 【答案】-2 第9页/共19页 耐学科网 可组卷网 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可 【详解】函数的定义域为0，+o）,由在点x=1处的切线方程是2x-y-2=0, 得切线斜率为2，f()=0,由曲线C:f(x=alnx+x3+b,得'(x)=a+3x2, 故f'1)=a+3=2,解得a=-1,又因为f1=1+b=0，,故b=-1, 所以a+b=-1+-1)=-2 故答案为：-2 13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点A(2,1,点P是抛物线上一个动点，则PF+PA的最小值为 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可 【详解】抛物线y2=4x的准线为x=-1, 如图，过点P作PM垂直准线于点M, 则PF=|PM, 所以PF+PA=PM+PA≥3， 当且仅当P,M,F三点共线时取等号， 所以PF+PA的最小值为3 故答案为：3 第10页/共19页 南京市中华中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：夏小强 审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 4. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 6. 双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. ． B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为．（ ） A. 当时，曲线是半径为2的圆 B. 当时，曲线双曲线，其渐近线方程为 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. “”是“曲线为焦点在轴上椭圆”的必要不充分条件 10. 已知数列，下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数图像有且只有两个不同的公共点，则的取值范围是 C. 方程恰有4个实根 D. 若关于的不等式恰有1个负整数解，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线方程是，则___________． 13. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为_____________． 14. 已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，圆为的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 16. 为等比数列的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． （1）若直线倾斜角为，求线段的长； （2）求四边形面积的最小值． 18. 已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $