1.2 等腰三角形（分层题型专练，9夯基题型+12进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.2 等腰三角形 （分层题型专练） 题型一 等边对等角 1．如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等腰三角形的性质等边对等角的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 2．等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，两个底角相等，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形的顶角为，则两个底角的和为，由于两个底角相等，因此每个底角为． 故答案为：． 3．在中，． (1)已知，则 ， ； (2)已知，则 ， ； (3)已知有一个角等于，则其余两个角分别是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意等边对等角定理的应用． （1）由在中，，根据等边对等角的性质，可得，然后由三角形内角和定理，求得两个角的度数； （2）由在中，，根据等边对等角的性质，可求得的度数，然后由三角形内角和定理，求得的度数； （3）如果有一个角等于，要分两种情况讨论：①当顶角为时，求出两个底角即可；②当底角为时，求出另外一个底角和顶角即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴． ∴． 故答案为：，． （3）解：如果有一个角等于，有以下两种情况： ①当顶角为时，即， ∴； ②当底角为时，即， ∴ 综上所述：其余两个角分别是，或，． 4．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 【答案】 （1）它的另外两个角是和； （2）它的另外两边长是和，或和． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 答：它的另外两个角是和． （2）等腰三角形的一边长是，周长是， 若等腰三角形的腰长为，则另一条腰长为，底边长为， 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 检验：，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意；，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意． 答：它的另外两边长是和，或和． 题型二 三线合一性质 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 2．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 3．如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是 ． 【答案】等腰三角形三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质即可得解. 【详解】解：∵，， ∴， 故这样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 4．如图，在中，，是的平分线，点在上． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）以及三角形内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出垂直平分，再结合垂直平分线的性质证明； （2）先根据等腰三角形“等边对等角”求出底角的度数，结合已知角算出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后结合及的条件，得出的度数． 【详解】（1）证明：，平分， 垂直平分， 又点在上， ； （2）解：，， ， ∵∠EBC=20°， ， 平分， ， ， ，， ． 题型三 等边三角形的性质 1．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 故选：C． 2．边长为2的等边三角形的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质构造直角三角形，再用勾股定理计算高． 利用等边三角形“三线合一”的性质作出高，将等边三角形转化为直角三角形，再通过勾股定理计算高的长度． 【详解】如图，为等边三角形，过作，交于点， 则， 在中，由勾股定理可得：， 故选：C． 3．等边三角形的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．9条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，共有3条对称轴， 故选：B． 4．如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，由是等边三角形，，从而即可求解． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 故答案为：． 5．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 6．下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键． 方法一：证明是等边三角形，即可求解； 方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解． 【详解】方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法二证明：如图，在上截取，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 题型四 等腰三角形的性质与判定 1．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的性质即可作出判断. 【详解】解：∵在 中，， ∴是等腰三角形，为底边. ∵D是的中点， ∴是底边上的中线. 根据等腰三角形三线合一的性质，同时也是底边上的高和顶角的平分线. ∴A、B、C选项正确 对于D选项，是底边上的中线，不是腰上的中线（腰上的中线应连接腰的中点和对角顶点），故D不正确. 故选：D. 2．如图，在中，，，则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵，， 由等腰三角形三线合一可得：，， 由等边对等角可得：， 而和不一定相等， 故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 【答案】C 【分析】根据作图痕迹发现BD平分，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 由作图痕迹发现BD平分， ∴， ∴，，故A、B正确； ∵， ∴， 结合图形可得：与的高相同， ∴，故C错误； 的周长为：，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 4．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是分类讨论． 已知等腰三角形的一个外角是，则等腰三角形的一个内角是，但题中没有说明这个角是顶角还是底角，所以分两种情况进行讨论． 【详解】等腰三角形的一个外角是， 等腰三角形的一个内角是， 当为顶角时，其他两个角都是底角且等于， 当为底角时，其他两个角为、， 等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 5．如图，四边形中，， 且，满足关系，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是正确运用勾股定理建立方程求解． 由题意可得为等腰直角三角形，设，则，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：1． 6．如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． (1)求的度数； (2)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，（1）根据等边对等角求出，再结合直角三角形两锐角互余即可得出，进而可得， （2）根据，可得，由此即可利用证明结论． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）由（1）得：， ∴． 又∵，， ∴． 题型五 网格图中等腰三角形的个数 1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 2．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 3．在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    【答案】4 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置； 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键． 4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，等腰直角三角形等知识，根据等腰直角三角形的定义以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：如图，三角形即为所作． ． 题型六 反证法 1．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 2．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 4．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 【答案】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为： 【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键． 5．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设 ， （ ）． 这与 相矛盾，故 不成立． 与不平行． 【答案】 两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确． 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 题型七 等边三角形的性质与判定 1．在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形判定是等边三角形，从而得解． 【详解】∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 2．在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；根据可得是等边三角形，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故选：A. 3．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的等边三角形的判定与性质的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 根据，可得为等边三角形，继而由等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 4．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 5．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长． 【详解】过点作， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 7．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 题型八 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半 1．如图，在中，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．据此求解即可． 【详解】解：在中，，，， ． 故选：C． 2．如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 3．如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质由题意可知米，，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得米，这棵树在折断前的高度为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知米，，， 米， 这棵树折断前的高度为米． 故选：D． 4．在中，，则的长度是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握含有的直角三角形的特征． 根据含角的直角三角形的性质，由角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ，解得． 故答案为：6． 5．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据度所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 6．如图，在Rt中，，D为AB的中点，于点E．，，试求DE的长度． 【答案】2 【分析】D为AB的中点，得到AD的长度，由含30度角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在Rt中，，D为AB的中点， ∴AD＝AB＝4， ∵于点E， ∴∠AED＝90°， ∵， ∴DE==2． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形的性质． 7．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长． 【答案】 【分析】首先根据等边三角形的性质和AB的长度求出AD的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AE的长度，进而求出CE的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出CF的长度，即可求出BF的长度． 【详解】∵在等边△ABC中，D是AB的中点， ∴AD=BD= AB=6， ∵∠A=60°，DE⊥AE， ∴∠ADE=30°， ∴， ∴CE=AC-AE=12-3=9， 又∵∠C=60°，EF⊥BC， ∴∠FEC=30°， ∴CF=CE=， ∴BF=BC-CF=12-=． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质． 题型九 求取图中等腰三角形的个数 1．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 2．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 3．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 4．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 题型一 根据等腰三角形的性质求线段的长 1．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：D． 3．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．14 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得，由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义得出，再证明即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 4．如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，由是等腰三角形的底边上的中线，，所以，，，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，再利用勾股定理即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边上的中线，， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故选：． 5．在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等边三角形的判定与性质．连接，利用等腰三角形的性质得出，再由翻折的性质得出垂直平分，推导出是等边三角形，进而证明是等边三角形，再利用三角形内角和定理求得，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵点B关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，则，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，由，，则，所以，由三角形内角和定理得，，所以，然后证明，则，，所以，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵恰为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，点D在边上，连接，将沿着所在直线翻折，点B落在点E处，连接，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，分两种情况：点E在直线左侧和点E在直线右侧，根据折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质可证明，则可得到． 【详解】解：如图1所示，当点E在直线左侧时， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，当点E在直线右侧时， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为， 故答案为：． 题型二 利用等腰三角形的性质求角度 1．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，设，根据得，然后根据三角形内角和定理得，根据等边三角形的性质得，则，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 即， 故选：C． 3．如图，，点C在线段上，，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据平角的定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 5．如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 6．如图，小睿和小智玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，与地面的夹角，则上下可转动的最大角度的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．根据，易得，根据三角形的外角的性质，即可得解． 【详解】解： 由题意，可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴上下可转动的最大角度的度数为， 故答案为：． 题型三 根据等腰三角形的性质求面积 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 2．如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 3．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 【答案】11 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．作于点H，先求出，由图可得出，化简代入数值即可． 【详解】解：作于点H， 在等边中，， ， ， ， 同理，， 在中，， ， ∵，，， ， 故答案为：11． 题型四 根据等腰三角形的性质求周长 1．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边等知识点，由已知条件推出，是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由等角对等边可得，，然后利用等量代换即可求出的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：A． 2．如图，在中，，平分，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，以及平行线的性质．先根据线段比例求出的长度，再结合角平分线和平行线的性质证明为等边三角形，最后计算其周长． 【详解】解：∵，， ∴，解得． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∴在中，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的周长为． 故选：D． 3．如图，过等边的顶点A，B，C依次作，，的垂线，，，三条垂线围成，若，则的周长为（   ） A．18 B．27 C．30 D．36 【答案】B 【详解】解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理：， 是等边三角形， 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 题型五 分类讨论求解 1．已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，分类讨论是关键；根据等腰三角形的三种情况分别计算的度数，得到可能值为或不在其中． 【详解】解：∵ 平分，， ∴． 当是等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图， ∵， ∴. ② 当时，如图， ∵， ∴； ③ 当时，如图， ∵， ∴． ∴ 可能为或不可能． 故选C． 2．已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形有两个角相等，需考虑是顶角或底角的情况，分别计算的可能值． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： 情况1：当是顶角时， 则底角相等，即， ∴； 情况2：当是底角时， 此时分两种情形：若也是底角，则； 若是顶角，则另一底角，故． 综上，可能为或或． 22．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（   ）    A．或 B．或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 由，得，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，即得，即得，；③当时，可得，． 【详解】解∶由折叠可得，， ，， ， 分三种情况讨论∶ 当时，如图：   ， ， ∴； ②当时，如图：   ， ， ∴； ③当时，如图：   ， ， ， 综上所述，为 ，或， 故选∶D． 3．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定．通过角平分线和平行线得到，，再根据点E和F在上的位置关系分类讨论，求出的长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴，，， ，， ，的平分线，分别交边于点E，F， ，， ，， ，， 如图所示，当点E靠近点D，点F靠近点C时，顺序为D、E、F、C， ∴； 当点F靠近点D，点E靠近点C时，顺序为D、F、E、C， ∴． 综上所述，的长为5或7． 故选：D． 题型六 根据等腰三角形性质与判定进行综合判断 1．如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：和都是等腰三角形；的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，三角形内角和定理，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； ∴的周长，故②正确； ∵和不一定相等， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：B． 2．如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 3．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 4．如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质得出，可得①②正确，无法证明，故可判断③，再根据证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵，故②正确， ∵点D的位置不确定， ∴无法证明，故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确，符合题意； 所以，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 题型七 最值问题 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 2．如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，当时，线段的和最小，最小值为． 【详解】解：∵在等腰中，，是的中线， ∴，故点B关于的对称点是点C， 连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度， 故的最小值是． 故选：B． 3．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值 ， ， ， 故选：A． 4．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，配方法处理二次函数最值问题，得到的表达式是解题的关键． 过作交于，可证，得到，再设，利用勾股定理得到，结合二次函数最值及二次根式开方即可求解． 【详解】过作交于， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据题意，易知在右侧时，取得最小值，设， 则，， ， ， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：B． 5．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，，在上截取，过点作于点F，连接，可证明，得到，则可推出当三点共线，且点E与点F重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点作于点F，连接， ∵的平分线交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E与点F重合时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 6．如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作，使，连接，证明，当点三点共线时，取最小值，可证是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，， 如图所示，过点作，使，连接， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 题型八 规律类问题 1．，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（    ）条 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，同样的方法可得，，再根据一个等腰三角形中不可能有两个角等于即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：，， 则这样的线段最多有8条， 故选：A． 2．如图， 已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：A． 题型九 等腰三角形的性质与判定在作图问题中的应用 1．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 2．如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握等腰直角三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据作图得到以及垂直平分，从而推出，，；再结合等腰直角的性质得到，进而判断为等腰直角三角形，求出的长度；最后设，利用等腰直角三角形的边长关系建立方程，求解得到的长． 【详解】解：∵作图可知，，垂直平分， ∴，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①；      ②；      ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，作线段，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，由作图可得，易证，推出，结合，易证，推出，结合已知求出，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由作图可得， ，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ， ， ， ∴平分， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵中，， ∴是等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上，也在的平分线上，故⑤正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于即不一定垂直，故①错误； 综上，正确的有②③④⑤，共4个． 故选：B． 4．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小用m可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，连接，由作图方法可知，平分，，则可证明是等边三角形，再证明得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，平分，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型十 折叠问题 1．如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，先用三角形的内角和求出，根据折叠的性质得到，，则由等边对等角求出，从而得解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴，即为等腰三角形． 在中，∵， ∴． ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求出，从而可利用三角形的内角和定理求得． 【详解】解：∵将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处， ∴，， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在等边中，是的中点，动点从点出发，沿线段向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点的对应点为．在点的运动过程中，当点与点之间的距离最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及翻折性质，距离最小问题，确定在上时，取得最小值是解题的关键． 由，得到在上时，取得最小值，进而得到，再根据三角形内角和确定的角度即可． 【详解】连接， 在等边中，是的中点， ，不妨设等边的边长为， ， 将沿进行折叠，点的对应点为， ， ， 在上时，取得最小值， 当在上时，如图， ， ． 故答案为：． 5．如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题关键． 根据折叠的性质可得是等边三角形，得到，即可求出周长． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：． 6．如图，有一张长方形纸片，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点A，B分别落在、上，当点恰好落在边上时，线段的长为 ；当点E运动到点C时，若边与边相交于点P，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，根据折叠可得：，，，，，根据等腰三角形的判定得出，从而证明，根据勾股定理求出； 先证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在长方形中，，，，， ∴， 根据折叠可得：，，，，， ∴， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴； 如图，当点E运动到点C处时， ∵， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 故答案为：；． 题型十一 几何模型------手拉手问题 1．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解： 和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 2．如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出 ，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 3．如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 4．如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，由此可依据“”判定， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明， 再证明是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 可证是等边三角形，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②， ， ， ， ， 故结论②正确； ③， ， ， ， 是等边三角形， 故结论③正确； ④假设， ， 是等边三角形， ， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 题型十 二等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，平分，平分，经过点O与分别相交于点M、N，且． (1)若，求的度数； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线性质，等边对等角，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得到再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义的，由平行线的性质得，即得，得到，进而得到的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， 的周长 ． 2．将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【详解】（1）证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 3．如图，在中，，，点D是边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接，，平分． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，再根据平分得到，进而利用平角性质求解即可； （2）要证线段和差，优先考虑截长补短，过点A作，证即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点A作， 根据解析（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 4．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．如图1，在和中，，，且，则可证明得到． 【初步探究】 （1）如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，作且，连接．则与的数量关系是___________． 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，求证：； 【拓展探究】 （3）如图4，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长． 【答案】（1）（2）见详解（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，由判定，由全等三角形的性质即可求解； （2）连接、，由（1）得同理可证，由等边三角形的性质得垂直平分，即可得证； （3）在上方作等腰直角，，连接，结合等腰三角形的性质及勾股定理得， ，由判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， 故答案为； （2）证明：连接、， 由（1）得同理可证， 且， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ； （3）解：如图，在上方作等腰直角，，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， （）， ， 故的长为． 1．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，过作，交的延长线于，可证，得到，即得是等腰直角三角形，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴四边形的面积与的面积相等 ∴， 故选：． 2．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】连接，根据等腰直角三角形性质，推出，，，进而证明，结合全等三角形性质即可判断①，利用全等三角形性质，结合勾股定理即可判断②，设，根据等腰直角三角形性质，勾股定理，以及垂线段最短，推出与的面积关系，即可解题． 【详解】解：连接， ，， ， D是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故①结论正确； ， ， ， ， ， ， 故②结论错误； 设， 则的面积为， ， ， 当时，最小， 此时，且的面积为， 当与重合时，最大， 此时，且的面积为， 不与点A，C重合， 的面积取不到， 即若，的面积分别为，， 则， 故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 3．如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②点G到直线的距离为 (2)，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ； ②解： ， ，， ， ，， ， ， ， 由翻折得，，， ， ， ， 点、点、点三点共线， ， 设点到直线的距离为， 则， 即； （2）解：，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折得，，， ， ，即， ， ． 4．综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 【答案】（1）；（2），；（3），，见解析；（4）5或14 【分析】（1）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （2）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得和，利用等腰直角三角形的性质得出，进而证得； （3）如图，延长至，使，连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明． （4）分两种情况讨论，一是顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，由是等边三角形，得，可证明，得，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接，可证明，得，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）解：，， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，． （4）解：如图1，顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ． 如图2，顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ， 综上所述，的长为5或14， 故答案为：5或14． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图，当为边的中点时，线段与的大小关系为 ；（填“”“”或“”） 【特例启发，解答题目】 （）如图，当为边上任意一点时，线段与的大小关系为 ；（填“”“”或“”） 理由：如图，过点作，交边于点． …（请将解答过程补充完整） 【拓展结论，设计新题】 （3）在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且．若的边长为，，请你画出相应的图形，并直接写出的长． 【答案】（）；（），见解析；（）见解析，． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键在于作出辅助线构造出全等. ()由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； () 过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； ()过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证，则，即可得出答案. 【详解】（）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （）解：过点作，交于点， ∵ ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 故答案为： （）解：过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 1.2 等腰三角形 （分层题型专练） 题型一 等边对等角 1．如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是 ． 3．在中，． (1)已知，则 ， ； (2)已知，则 ， ； (3)已知有一个角等于，则其余两个角分别是 ． 4．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 题型二 三线合一性质 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是 ． 4．如图，在中，，是的平分线，点在上． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 题型三 等边三角形的性质 1．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．边长为2的等边三角形的高为（    ） A．1 B． C． D．2 3．等边三角形的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．9条 D．无数条 4．如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ． 5． 如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长；(2)求的度数． 6．下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 题型四 等腰三角形的性质与判定 1．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 2．如图，在中，，，则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 4．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 5．如图，四边形中，， 且，满足关系，若，则的长为 ． 6．如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． (1)求的度数； (2)求证： ． 题型五 网格图中等腰三角形的个数 1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 3．在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 题型六 反证法 1．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 2．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 4．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 5．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设 ， （ ）． 这与 相矛盾，故 不成立． 与不平行． 题型七 等边三角形的性质与判定 1．在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 3．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 5．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 6．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 7．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 题型八 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半 1．如图，在中，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．在中，，则的长度是 ． 5．如图，在中，，，，则 ． 6．如图，在Rt中，，D为AB的中点，于点E．，，试求DE的长度． 7．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长． 题型九 求取图中等腰三角形的个数 1．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 2．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 3．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 4．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型一 根据等腰三角形的性质求线段的长 1．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．14 B．20 C．24 D．25 4．如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 7．如图，在中，，点D在边上，连接，将沿着所在直线翻折，点B落在点E处，连接，，则的长为 ． 题型二 利用等腰三角形的性质求角度 1．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，点C在线段上，，则的度数是 ． 4．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 5．如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 6．如图，小睿和小智玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，与地面的夹角，则上下可转动的最大角度的度数为 ． 题型三 根据等腰三角形的性质求面积 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 2．如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 题型四 根据等腰三角形的性质求周长 1．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，过等边的顶点A，B，C依次作，，的垂线，，，三条垂线围成，若，则的周长为（   ） A．18 B．27 C．30 D．36 题型五 分类讨论求解 1．已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 22．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（   ）    A．或 B．或 C．，或 D．，或 3．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 题型六 根据等腰三角形性质与判定进行综合判断 1．如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：和都是等腰三角形；的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 4．如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 题型七 最值问题 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2． 如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） 3． A． B． C．13 D．12 3．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 4．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（   ）． A． B． C．2 D． 5．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是 ． 6．如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当时，则的最小值为 ． 题型八 规律类问题 1．，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（    ）条 A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图， 已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A． B． C． D． 题型九 等腰三角形的性质与判定在作图问题中的应用 1．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（   ）      A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①；     ②；     ③；④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小用m可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型十 折叠问题 1．如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．如图，在等边中，是的中点，动点从点出发，沿线段向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点的对应点为．在点的运动过程中，当点与点之间的距离最小时，的度数为 ． 5．如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为 ． 6．如图，有一张长方形纸片，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点A，B分别落在、上，当点恰好落在边上时，线段的长为 ；当点E运动到点C时，若边与边相交于点P，则线段的长度为 ． 题型十一 几何模型------手拉手问题 1．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 题型十 二等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，平分，平分，经过点O与分别相交于点M、N，且． (1)若，求的度数； (2)已知，求的周长． 2．将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 3．如图，在中，，，点D是边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接，，平分． (1)求的值； (2)求证：． 4．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 5．如图1，在和中，，，且，则可证明得到． 【初步探究】 （1）如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，作且，连接．则与的数量关系是___________． 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，求证：； 【拓展探究】 （3）如图4，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长． 1．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是 （填所有正确结论的序号）． 3．如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 4．综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 5．在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图，当为边的中点时，线段与的大小关系为 ；（填“”“”或“”） 【特例启发，解答题目】 （）如图，当为边上任意一点时，线段与的大小关系为 ；（填“”“”或“”） 理由：如图，过点作，交边于点． …（请将解答过程补充完整） 【拓展结论，设计新题】 （3）在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且．若的边长为，，请你画出相应的图形，并直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $