1.1 三角形内角和定理（分层题型专练，5夯基题型+7进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.1 三角形内角和定理 （分层题型专练） 题型一 三角形内角和定理 1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 2．如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 3．三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 【答案】180° 【解析】略 4．若三个角的大小满足，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：设，，，由三角形内角和定理得 ，即， 解得， 所以． 故答案为． 5．求出下列各三角形中的值． 【答案】图（1）中；图（2）中 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的度数之和为180度建立方程求解即可． 【详解】解：图（1）中，， 解得，即； 图（2）中，， 解得，即． 题型二 三角形外角的定义与性质 1．在中，，，则的外角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟记定理即可快速求解． 根据三角形外角的性质，一个角的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵的外角等于与的和， ∴外角． 故选：B． 2．如图，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且， ∴， 故选：B． 3．如图，若≌，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和解题即可． 【详解】解：∵≌， ∴， 又∵，， ∴． 故选：D． 4．已知和的位置如图所示，点C、E、F、B在一条直线上，若，，，则的度数是 °． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵是的外角，且， ∴， 故答案为． 5．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．（1）根据全等三角形对应边相等解答即可．（2）根据全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴． 题型三 三角形的内角与外角综合 1．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 2．如图，和是的两个外角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理得到，再根据外角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选B． 3．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC= ． 【答案】75° 【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数． 【详解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°， ∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°， ∵∠FBC=90°， ∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，注意数形结合思想的应用． 4．如图，，，，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四 角平分线与三角形内角和定理综合 1．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，中，，，平分，则度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据平分，得到． 【详解】解： ，， ， 平分， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，根据三角形内角和定理正确计算是解题的关键． 3．如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是的一条角平分线， ， 又， ． 故答案为：． 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 【答案】85° 【分析】根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】解：平分，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解题的关键是注意：三角形的内角和等于． 题型五 三角板与三角形的内角和定理 1．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，，， ∴ ∴， ∴ 故选：． 2．将一副三角板按如图所示摆放，使，则的度数为（   ） A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 【答案】100 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 4．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【详解】解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型一 折叠问题中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，长方形纸片中，为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握． 根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是和的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：， ， 将纸片沿，折叠，使点落在点处，点落在点处， 平分，平分 故选：A． 3．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 题型二 平行线的性质与三角形内角和定理综合 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，三角形内角和定理．根据，得出，根据三角形内角和定理，得出，再利用，可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， 故选：C． 4．如图，，，垂足为点，如果，那么    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 5．如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握平行线的判定与性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，已知，． (1)完成下面证明的过程（在横线上填上适当的内容）； 证明：（已知）， （________________）， ________（________________）． （已知）， ________（等量代换）， （________________）． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、外角性质等知识，熟记相关几何性质与判定是解决问题的关键． （1）由平行线的判定与性质求证即可得到答案； （2）先由对顶角相等得到，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行； （2）解：， ， 又， ． 题型三 三角形外角性质的实际应用 1．随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 2．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 3．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 题型四 三角形内角和定理中的综合判断 1．在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可． 【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形； ②由、可得，即，，是直角三角形； ③由、可得，即，，不是直角三角形； ④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形； 能确定为直角三角形的有3个． 故选：C． 2．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，逐项进行判断如下： ①， ， 即， 故①正确； ② ， ， ． ， ， 与不平行， 故②错误； ③ ， ． ， ， ， 故③正确； ④ ，， ． ， ． ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①③④， 即正确的有3个． 故选：C． 3．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得到，即可判断①；推出，根据证明即可判断③；证明，得，根据外角的性质可判断②；根据等量代换与直角三角形两锐角互余证明，即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴．故①正确． ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴，故结论③正确． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故④错误． 综上所述，正确结论是①③，共2个． 故选：B． 4．如图，，平分，，，，给出下列四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，垂线的定义，熟练运用以上知识点进行推理是解题关键． 由，可得，由平分，则，故，根据，可判断①；由，所以，可判断④；由，，可得，，故，可判断②；由，可得，结合②可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴，， ∴， ∴平分； 故②正确； ∵， ∴， 即， ∵， ∴，故③正确． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 5．如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．利用全等三角形的判定和性质进行分析解答． 【详解】解：在与中， ∵，，， ∴， ∴，，故②正确； ∴， 即：，故①正确； ∴，即：， ∴， ∴与不一定相等，故③错误； 故答案为：①②． 6．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②；③；④．则以上说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②当是的中线时，，进而可以进行判断；③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④过由③知，，进而根据等高的三角形的面积关系可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ，， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④∵，， ∴，， ∴ ∵，， ∴，故④正确． 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 题型五 三角形内角和定理与跨学科融合 1．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线性质得，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．由平行线的性质可得，再由外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为，在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，入射光线与反射光线形成的夹角为，如图所示，根据光的反射原理可知，，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． 根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可． 【详解】解：，， ∴， 同理：， ∴， ，， ， 即， ， 故选：D． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数． 由三角形外角的性质，可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）求得，计算求得，利用平行线的判定定理即可得到； （2）求得，推出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 题型六 角度中的规律类问题 1．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 2．如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵的内角与外角的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得，… 以此类推，得到， 故选：C． 3．如图，在中，，为内的一点，且，其中平分平分、平分，平分，平分平分、、…、以此类推， 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 平分平分， ， ， 同理可得： ， 归纳类推得：，其中为正整数， ， 故答案为：． 4．如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线定义，利用角平分线的定义以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系即可，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图， 是的外角，的平分线与的平分线交于点 ，∠A1BC 的平分线与的平分线交于点 ，的平分线与的平分线交于点 ，…，设，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案． 【详解】解：∵是的外角，是的外角， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ， 同理： =， …… ∴ ， 当时， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 题型七 探究角度之间的关系 1．如图，在中，点E和点F分别是，上一点，，的平分线交于点D，是的外角．若，，，则x，y，z三者间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线、平行线的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 故选：D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则和的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，三角形外角的基本性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而可得，再利用三角形的外角进行计算即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．点为内或边上一点（与三角形各顶点不重合），连接，，若的三个角与的三个角分别相等，那么就称点为中边所对的一个“奇点”． （1）在中，，，，点在边上，若点是边所对的一个“奇点”，则与的位置关系是 ； （2）在锐角中，，点是边所对的一个“奇点”，且在内，若，那么，，之间的数量关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题主要考查了新定义下的图形规律，推理能力，解题的关键是理解题意，读懂题目要求． （1）点P在边上，且是边所对的“奇点”，即与的三个角分别相等，通过分析角的关系，得出，从而垂直于； （2）点P是边所对的“奇点”，即与的三个角分别相等，结合已知，通过角对应关系推导出和之间的数量关系． 【详解】（1）如图所示， 在中，，点P在边上， 由于点P是边所对的“奇点”，则与的三个角分别相等， 因为P在上，所以， 的剩余两个角和必须为和， 若，则，但点P在上，，这与点P不与顶点重合矛盾，故不可能； 因此， 意味着，而在上，故； 故答案为：垂直； （2）如图所示， 在锐角中，，点P是边所对的“奇点”，且在内，， 因为点P是边所对的“奇点”，所以与的三个角分别相等， 设的角为， 的角为， 已知，则剩余角对应关系为（另一种对应会导致点P在上，与点P在内部矛盾）， 在点B处，射线在内部，故，即， 又，所以， 故答案为：． 4．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 5．如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． (1)，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 1．在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由角平分线的定义易得，根据外角的性质，即可求出，代入，即可求解； （2）根据折叠及外角的性质，可得，求出，由上即可求出的度数． 【详解】（1）∵，的角平分线，交于点F， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴根据三角形外角的性质可得，； ∵， ∴， 则∠BFD的度数为； （2）∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴； 则的度数为． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．已知：，点E、F分别在、上，N为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数： (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）过M向左作，利用平行线的性质得到，，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线、交于点G，由（1）得，，，过F作，则有，然后根据解题即可； （3）设，则有，过点T向右作，可得，由（1）得，可以求出，进而计算，即可求比值． 【详解】（1）证明：过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设直线、交于点G， ∵平分，， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴，即 过F作，则，， ∴， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③或 (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 答：的大小为； ②，理由如下： 平分， ， ， ， ； 当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ， ， ； Ⅱ、如图，直线于，交于点， ，． ，， ， ， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： 当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， 三角形外角定理， ， ∵， ， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，如图， 延长交于点S，延长交于点， 由题意得：，， ， ∵， ， ∵， ， ， 即， 解得：， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 1.1 三角形内角和定理 （分层题型专练） 题型一 三角形内角和定理 1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 4．若三个角的大小满足，则的度数为 ． 5．求出下列各三角形中的值． 题型二 三角形外角的定义与性质 1．在中，，，则的外角是（　　） A． B． C． D． 2．如图，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若≌，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知和的位置如图所示，点C、E、F、B在一条直线上，若，，，则的度数是 °． 5．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 题型三 三角形的内角与外角综合 1．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 2．如图，和是的两个外角，若，则（    ） A． B． C． D． 3．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC= ． 4．如图，，，，则 ． 题型四 角平分线与三角形内角和定理综合 1．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，平分，则度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 题型五 三角板与三角形的内角和定理 1．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示摆放，使，则的度数为（   ） A．105° B．110° C．115° D．120° 3．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 4．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 题型一 折叠问题中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片中，为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 4．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 题型二 平行线的性质与三角形内角和定理综合 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，，，垂足为点，如果，那么    5．如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．如图，已知，． (1)完成下面证明的过程（在横线上填上适当的内容）； 证明：（已知）， （________________）， ________（________________）． （已知）， ________（等量代换）， （________________）． (2)若，，求的度数． 题型三 三角形外角性质的实际应用 1．随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ． 题型四 三角形内角和定理中的综合判断 1．在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，，平分，，，，给出下列四个结论： ①；②平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 5．如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 6．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②；③；④．则以上说法正确的是 ． 题型五 三角形内角和定理与跨学科融合 1．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为，在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，入射光线与反射光线形成的夹角为，如图所示，根据光的反射原理可知，，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为 ． 5．如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型六 角度中的规律类问题 1．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，为内的一点，且，其中平分平分、平分，平分，平分平分、、…、以此类推， 4．如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则 ． 5．如图， 是的外角，的平分线与的平分线交于点 ，∠A1BC 的平分线与的平分线交于点 ，的平分线与的平分线交于点 ，…，设，则 ． 题型七 探究角度之间的关系 1．如图，在中，点E和点F分别是，上一点，，的平分线交于点D，是的外角．若，，，则x，y，z三者间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则和的数量关系是 ． 3．点为内或边上一点（与三角形各顶点不重合），连接，，若的三个角与的三个角分别相等，那么就称点为中边所对的一个“奇点”． （1）在中，，，，点在边上，若点是边所对的一个“奇点”，则与的位置关系是 ； （2）在锐角中，，点是边所对的一个“奇点”，且在内，若，那么，，之间的数量关系是 ． 4．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 5．如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． (1)，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 1．在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 3．已知：，点E、F分别在、上，N为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数： (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为________． 4．如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $