精品解析：四川省资阳市2025-2026学年高一第一学期期末数学试题

高中一年级第一学期期末试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数值的定义运算求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：B. 3. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定， 由题意得，为. 故选：D. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的关系即可求出答案. 【详解】解不等式得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案. 【详解】由解析式知，函数在上单调递增， 又， 故函数的零点所在区间为. 故选：B 6. 已知，则化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分数指数幂的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：C. 7. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数定义域和单调性分析判断即可. 【详解】令，则，解得或， 所以函数的定义域为，故CD错误； 又因为在内单调递增，则在内单调递增， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递增，故B错误； 故选：A. 8. 已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A；举反例可判断B；利用作差法结合不等式的性质可判断CD. 【详解】不等式两边同时加上可得，故A正确； 当，时，满足，而此时，即，故B错误； ， 因为，则，， 所以，即， 故C错误； ， 因为，则，， 故，即， 故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 点是的图象的一个对称中心 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由最小正周期为可求出，由图象关于直线对称，可求出，从而可判断A；由A的推导得，结合原正弦函数的单调性、对称性、值域可逐一判断B、C、D. 【详解】选项A：由函数（，）的最小正周期为， 得,又图象关于直线对称， 故， 故,即，又， 故，故A错误； 选项B：由A的推导得，又， 得，故，结合原正弦函数的单调性得在区间上单调递增，故B正确； 选项C：由A的推导得， 故点是的图象的一个对称中心，故C正确； 选项D：由，得，故， 故，故，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，对，，都有．当时，，且，则（ ） A B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用赋值法，令，得，令，得，故为奇函数，即可判断A、B；设，，且，得，即可判断C；比较的大小关系，结合单调性即可判断D． 【详解】选项B：由于对，，都有． 令，得，故， 令，得，故， 故为奇函数，故B错误； 选项A：为奇函数，故， 故，故A正确； 选项C：设，，且，则，故， 又， 故，即， 故为上的减函数，故C正确； 选项D：由C的推导知为上的减函数， 且， 故，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_________. 【答案】3 【解析】 【分析】应用指对数运算性质化简求值即可. 【详解】 =1+2=3. 故答案为：3 13. 若一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】由扇形的面积公式得，，解得， 所以扇形的弧长. 故答案为：. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是对定义域内的任意恒成立，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是对定义域内的任意恒成立.已知函数的图象关于点成中心对称图形，若，，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据中心对称的定义推导出为奇函数，从而求出的值，运用基本不等式即可求解的最小值. 【详解】由于函数的图象关于点对称， 故，即， 故， 令，则上述式子为，即， 故为奇函数， 又， 故，解得，此时显然是奇函数， 故即为， 故， 当且仅当，即时，结合，得，不等式取等号， 即的最小值为8. 故答案为：8 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合和； （2）求. 【答案】（1），或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的求解方法求出集合，根据二次不等式的求解方法求出集合； （2）先根据补集的运算求得，再求并集即可得解. 【小问1详解】 由题得， 对于集合，由，得，解得或， 故集合或; 【小问2详解】 由（1）可得或， 又或， 所以或或或. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两边同时平方，根据同角三角函数关系即可求出，进而求出，根据角的范围判断符号即可求出答案； （2）联立，解得，利用诱导公式对所求式子进行化简，可以直接代入，也可以化为正切，将代入，即可得解. 【小问1详解】 由， 得， 因，所以， 所以， 由，可知，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，解得， ， 方法1：所以. 方法2：因为，则， 所以. 17. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度为℃（），则分钟后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正数．已知空气温度为10℃，把一杯奶茶放在空气中冷却，奶茶从90℃冷却到30℃需要20分钟． （1）求的值； （2）如果奶茶冷却至40℃时口感最佳，那么一杯70℃奶茶放置在10℃的空气中，需要等待多少分钟口感最佳？ 【答案】（1） （2）10分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意代入数据即可得到关于的方程，从而求出的值； （2）设需要等待分钟，奶茶口感最佳，根据题意代入数据即可得到，结合（1）的推导可求出． 【小问1详解】 由已知，得，所以． 即有，解得； 【小问2详解】 设需要等待分钟，奶茶口感最佳． 此时奶茶温度，代入公式，得，解得． 由（1）可得，即，所以． 因为在上单调递增，所以，解得． 所以需要等待10分钟，奶茶口感最佳． 18. 已知幂函数的图象经过点. （1）求的值； （2）记，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）设，，是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在实数，使得的最小值为4 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可求出答案； （2）根据复合函数的单调性及对数函数的定义域列不等式组，即可求出答案； （3）分为，和三种情况，分别求的最小值，列式求解即可证明. 【小问1详解】 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得 【小问2详解】 由，及， 得. 因为在区间上单调递增，函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在上恒成立， 函数的图象开口向上，对称轴为 所以，解得， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 存在实数，使得的最小值为4. 由已知，得，. 理由如下： 函数的图象开口向上，对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 最小值， 由，解得； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则最小值， 由，此时无解. ③当，即时，在上单调递减， 则最小值， 由，此时无解. 综上所述：存在实数，使得的最小值为4. 19. 已知为奇函数. （1）求的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）解关于的不等式：； （3）设，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），在上为增函数. （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性、单调性判断即可. （2）根据函数的奇偶性、单调性求解不等式即可. （3）将转化为集合包含关系，求出在上的解集，在的解集，根据包含关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，所以，即，解得. 当时，，且， 则为奇函数，满足题意. 由可知，在上为增函数. （为增函数，为减函数，为增函数） 【小问2详解】 原不等式可变形为， 因为为上的奇函数，所以， 即， 因为为上的增函数， 所以，整理得，即. 所以当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 记在上的值域为，在上的值域为， 因为对，，使得成立，所以. 由（1）可知在上单调递增， 所以，当时，，即. 当时，，此时不满足，舍去； 当时，在上单调递增， 所以当时，，即； 因为，所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中一年级第一学期期末试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则化为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则（ ） A. B. 区间上单调递增 C. 点是的图象的一个对称中心 D. 在区间上的值域为 11. 已知函数的定义域为，对，，都有．当时，，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_________. 13. 若一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为________. 14. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是对定义域内的任意恒成立，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是对定义域内的任意恒成立.已知函数的图象关于点成中心对称图形，若，，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合和； （2）求. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度为℃（），则分钟后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正数．已知空气温度为10℃，把一杯奶茶放在空气中冷却，奶茶从90℃冷却到30℃需要20分钟． （1）求的值； （2）如果奶茶冷却至40℃时口感最佳，那么一杯70℃的奶茶放置在10℃的空气中，需要等待多少分钟口感最佳？ 18. 已知幂函数图象经过点. （1）求值； （2）记，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）设，，是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知为奇函数. （1）求的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）解关于的不等式：； （3）设，若，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $