精品解析：江西吉安市井冈山市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025年下半年期末质量监测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，共3×6=18分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图（俯视图），解题的关键是明确俯视图是从物体上方观察得到的视图，需关注可见轮廓线为实线，不可见轮廓线为虚线． 从该几何体的正上方观察，整体呈现为横向的矩形，内部有两条不可见的竖直轮廓线，需用虚线表示，且左右两侧为完整的矩形块． 【详解】解：根据题意，该图的俯视图为： 故选：C． 2. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、水滴石穿，是必然事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、水中捞月，是不可能事件； D、守株待兔，是随机事件； 故选C． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可进行解答． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握：左加右减，上加下减． 4. 如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ) A. (2，-1) B. (3，-2) C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点A的横纵坐标乘以即可得到答案． 【详解】∵△OAB与OCD关于原点O位似，位似比为， 设点C坐标为， 点A坐标为，点A与点C是对应点， ，， ∴C点坐标为：（3，-2） 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 6. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据函数图像开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可判断结论①；根据图像与x轴交点的个数可判断结论②；根据函数图像与x轴的交点和对称轴，可判断结论③；根据时的函数值与对称轴，可判断结论④；根据函数图像在x轴下方的部分可判断结论⑤；根据函数在时，有最大值可判断结论⑥． 【详解】解：函数图像开口向上，， 对称轴为直线，， 函数图像与y轴交于正半轴，即当，， ，故结论①正确， 函数图像与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根， ，即，故结论②正确， 函数图像与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 函数图像与x轴的另一个交点为， 方程的两个根是，，故结论③正确， 函数对称轴为直线，， 当，，故结论④错误， 当时，即取抛物线在x轴下方的部分，由图象结合③可知此时x的取值范围是或，故结论⑤错误， 由图像可知当时，函数有最大值， 当m为任意实数时，， ，故结论⑥正确． 综上所述，结论①②③⑥正确，故正确的结论有4个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共3×6=18分） 7. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（2，） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 8. 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________________． 【答案】##0.625 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，根据概率的定义，摸到红球的概率等于红球数量与总球数量的比值． 【详解】口袋中总球数为5个红球加3个白球，即8个球；摸到红球的可能结果为5个， 因此概率为． 故答案为：． 9. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：方程的判别式为， 令，得，解得． 故答案为：． 10. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______ 【答案】8 【解析】 【分析】设A的坐标为（a，），则B的坐标为（3a，），然后求解面积即可. 【详解】解：设A的坐标为（a，） ∴ ∵四边形为矩形 ∴ ∴B的纵坐标为 ∴B的横坐标为 ∴ ∴矩形ABCD的面积= 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与矩形的面积公式，反比例函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11. 如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米远处的地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长米，则小树的高度是______． 【答案】4米 【解析】 【分析】先证明证明，推出，求得OP=6，再证明得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵AB=1.5，BC=3，OC=OB+BC=9+3=12， ∴， ∴OP= 6米， ∵， ∴， ∴， ∵OP=6，EF=3，OF=1.5+3=4.5， ∴DE = 4米， 故答案为:4米. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上，③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，分别根据图形计算即可． 【详解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点， ∴AO=1，BO=， ①若∠ACP=90°时， ∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB， ∴△OCP≌△OAB， ∴OP=BO， ∴BP=OP+BO=2； ②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP=OP+BO=； ③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP= BO-OP=； 综上，线段BP的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，分类讨论是解题的关键． 三、解答题：写出必要的证明过程或演算步骤．（共5小题，共5×6=30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）3 ；（2） 【解析】 【分析】本题考查含特殊三角函数的混合运算，零指数幂，二次根式，绝对值，一元二次方程，掌握含特殊三角函数的混合运算，零指数幂，负指数幂，绝对值，因式分解法解方程是解题关键． （1）先计算二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值，然后二次根式的乘法，合并同类项即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 即， 或， 解得或． 14. 如图，已知矩形，过点C作交的延长线于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 15. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形进行计算，熟知：若是一元二次方程的两个实数根，则，是解本题的关键． （1）由根与系数的关系得，再代入计算即可； （2）由完全平方公式的变形可得，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：是一元二次方程的两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：． 16. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【小问1详解】 如图1，即为所作 【小问2详解】 如图2，四边形即为所作 【点睛】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，三角形中线等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． 17. 如图，在中，点分别在边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由，得到，，即可求证； （）由得到，再证明，得到，进而得到，代入计算即可求解； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：在与 中， ∵，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 四、（本大题共3小题，共3×8=24分） 18. 2025年成都世界园艺博览会以“绿色未来，共享生态”为主题，吸引了大量游客，组委会对某日参观的游客进行了出行方式抽样调查，数据如下：共享单车120人，地铁200人，新能源公交车80人，步行50人． （1）若随机选取一名游客，求其选择地铁或步行的概率； （2）现有这四种不同的出行方式各一人，组委会计划从这四名游客中随机选取两人进行环保知识访谈，求两人中恰好一人选择共享单车、另一人选择新能源公交车的概率，（用画树状图或列表的方法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的应用，掌握画树状图或列表的方法求概率是解题的关键． （1）根据题意计算出总人数及选择地铁或步行的人数，再计算概率即可； （2）根据题意，用画树状图或列表的方法得到从这四名游客中随机选取两人1号和2号的所有可能情况，再找出符合题意的情况数并计算概率即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）； 选择地铁或步行的人数为：（人）； ， 答：随机选取一名游客，其选择地铁或步行的概率为； 【小问2详解】 解：设共享单车为，地铁为，新能源公交车为，步行为．从这四名游客中随机选取两人1号和2号的所有可能情况列表如下： 2号 1号 \ \ \ \ 所以从这四名游客中随机选取两人的所有可能情况有12种， 其中恰好一人选择共享单车、另一人选择新能源公交车的情况有2种， ， 随机选取两人，两人中恰好一人选择共享单车、另一人选择新能源公交车的概率为． 19. 如图1是某校园内的路灯，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点均在同一直线上，测得，米．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，）． （1）求点到的距离； （2）连接，若米，米，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，再解直角三角形即可求解； （2）根据题意，先证，得到，进而得到，再解直角三角形即可． 【小问1详解】 解： 如图（1）过点作于点， 在中， ， 答：点到的距离为； 【小问2详解】 解： 如图（2）过点作于点， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 即， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 20. 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】（1）先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值，即可得反比例函数的解析式． （2）根据求解即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 【小问1详解】 解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图像与反比例函数的图像的交点， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ． 五、（本大题共2小题，共2×9=18分） 21. 如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． （1）求菱形的面积； （2）如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等面积法等知识，掌握等面积法求高是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，再由菱形的面积直接计算即可； （2）连接交于点，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，再利用等面积法求的长即可． 【小问1详解】 解：∵菱形对角线互相垂直且平分， ∴， ∴对角线， ∴面积； 【小问2详解】 解：如图2，连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形边长为8，且点为边中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业，该店某种菜品每千克的生产成本（单位：元），每日生产量（单位：千克），若该菜品每日生产量30千克，每千克的生产成本为55元；若每日生产60千克，每千克的生产成本为50元．该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． （1）请分别求出与每日生产量之间的函数关系式； （2）请问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】（1）， （2）当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）设该菜品日销售利润为元．．，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将代入， 得，解得， ∴与之间的函数关系式为， 由图可知与之间的函数关系式为， 将代入，得，解得， ∴与之间的函数关系式为； 答：解析式为，； 【小问2详解】 设该菜品日销售利润为元． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可； （3）过点作轴于点，根据得到，可推出，进入即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 令， 则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 【小问3详解】 解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点， ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下半年期末质量监测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，共3×6=18分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ) A. (2，-1) B. (3，-2) C. D. 6. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共6小题，共3×6=18分） 7. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 8. 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________________． 9. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 10. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______ 11. 如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米远处的地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长米，则小树的高度是______． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______． 三、解答题：写出必要的证明过程或演算步骤．（共5小题，共5×6=30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 14. 如图，已知矩形，过点C作交的延长线于点E．求证：． 15. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 17. 如图，在中，点分别在边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 四、（本大题共3小题，共3×8=24分） 18. 2025年成都世界园艺博览会以“绿色未来，共享生态”为主题，吸引了大量游客，组委会对某日参观的游客进行了出行方式抽样调查，数据如下：共享单车120人，地铁200人，新能源公交车80人，步行50人． （1）若随机选取一名游客，求其选择地铁或步行的概率； （2）现有这四种不同的出行方式各一人，组委会计划从这四名游客中随机选取两人进行环保知识访谈，求两人中恰好一人选择共享单车、另一人选择新能源公交车的概率，（用画树状图或列表的方法）． 19. 如图1是某校园内的路灯，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点均在同一直线上，测得，米．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，）． （1）求点到的距离； （2）连接，若米，米，求的长． 20. 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 五、（本大题共2小题，共2×9=18分） 21. 如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． （1）求菱形的面积； （2）如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 22. 某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业，该店某种菜品每千克的生产成本（单位：元），每日生产量（单位：千克），若该菜品每日生产量30千克，每千克的生产成本为55元；若每日生产60千克，每千克的生产成本为50元．该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． （1）请分别求出与每日生产量之间的函数关系式； （2）请问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $