精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，全集，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合补集，再与集合求并集，即可得到元素个数. 【详解】由题可得，于是，共4个元素. 故选：B. 2. 若复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义、复数运算以及复数相等可得出的值. 【详解】因为复数，则， 故. 故选：B. 3. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，极差的定义求解. 【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为. 故选：A. 4. 直线被圆截得的弦的长是（ ）. A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，然后由可得. 【详解】将圆化为标准方程，得圆心，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以. 故选：C 5. 设首项为1的数列．足，则的个位数字为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，，则，结合， 可得：，取，，同理可得：， 所以，解得：， 因此，，，…，， 累加得， 故，所以的个位数为5． 故选：D． 6. 某圆台形容器有上底，无下底，若该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm，则该容器的容积为（该容器壁与底的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台表面积公式，结合圆台体积公式和圆台的几何性质进行求解即可. 【详解】设容器的下底面的半径为， 因为该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm， 所以有， 设容器的高为，如图所示： ， 所以该容器的容积为. 故选：A 7. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 已知为椭圆：上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（ ） A. 的周长为定值10 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】∵椭圆C方程为：， 的周长为，∴A正确； ∴面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 对C，由椭圆，所以，又，所以， 所以，当三点共线取最大值，故C正确； 对于D：直线与椭圆交于，两点， 设，且的中点为， 因为，所以， 则，，所以 ，则的斜率为，D选项错误. 故选：ABC 11. 对于函数和，则下列说法正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最小值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象有相同的对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正余弦函数的周期，最值，对称轴，对称中心逐一分析即可. 【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故A正确； 的最小值为的最小值为，故B正确； 令，解得，所以的图象的对称轴为直线，； 令，解得的图象的对称轴为直线，， 所以与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 令，解得，，所以的图象的对称中心为. 令，解得，，所以的图象的对称中心为， 故与的图象一定不存在相同的对称中心，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有6张卡片，分别标有数字．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为______． 【答案】##0.15 【解析】 【分析】利用古典概型求法，结合列举即可得到概率. 【详解】由， 因为抽出3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3， 所以抽出的3张卡片上的数字之和应该为， 由得， 抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为， 故答案为：. 13. 函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的零点，根据范围列不等式组即可． 【详解】令，则函数的零点为，， 所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，， 函数在上有且仅有个零点， 所以，解得． 故答案为：． 14. 一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，上方的小四棱锥的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则四边形的面积为，而三棱柱与平行六面体的高相同， 所以， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则， 易知，所以， 图甲中上方的小四棱锥高为,则， 又，所以上方的小四棱锥的高为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求得的值. （2）先利用余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后利用勾股定理的逆定理求出，再求解. 【小问1详解】 中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 16. 已知数列的前n项和，数列是等差数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列前n项和为，求证. 【答案】（1），. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，求的通项公式，再求等差数列的基本量得解； （2）利用错位相减法求和，进而证明. 【小问1详解】 因为数列的前n项和， 所以当，时，. 又时，，符合，所以. 因为数列是等差数列，且，， 则公差， 所以. 故，. 【小问2详解】 由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由得：， 则. 又因为，所以. 17. 某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． （1）求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； （2）若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 【答案】（1），， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式，以及事件的意义，即可求解； （2）首先确定的取值，再根据（1）的结果，列分布列，代入期望公式，即可求解. 【小问1详解】 生产出的甲产品为一等品的概率为； 生产出的甲产品为二等品的概率为； 生产出的甲产品为三等品的概率为． 【小问2详解】 由题意得X的取值可能为40，30，10． 由（1）得，，． X的分布列为 X 40 30 10 P 故． 18. 已知，，． （1）讨论函数单调性； （2）求证：当时，； （3）若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性； （2）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可； （3）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 【小问2详解】 当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. 【小问3详解】 分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时，且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 19. 已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. （1）求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； （2）（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）过定点，定点坐标为； （ii）. 【解析】 【分析】（1）设出点，坐标，利用点差法计算即可. （2）（i）利用斜率之积等于-1得到，进而得到以线段为直径的圆过定点. （ii）设出中点坐标并表示出，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式化简计算即可. 【小问1详解】 由题意设，，因为，两点在椭圆上， 所以，，将两式相减得， 即，整理得， 又，， 所以直线的斜率与直线斜率之积为定值. 【小问2详解】 （i）当直线过点时，可知直线方程为， 且由（1）可得直线的斜率，所以直线为. 可求得直线与直线交于点. 则，又，所以， 所以以线段为直径的圆过定点. 故以线段为直径的圆过定点，该定点坐标为. （ii）当直线斜率存在时，设点，则，. 由题意可得，且，故. ，消y并整理得， 令可得， 设，，则，， 所以 ， 又，得， 两边平方得. 又因为①，将①代入，得， 将①代入， 整理得 因为，所以， 即， 展开整理得， 当直线斜率不存在时，易得点或满足上式， 故若，点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，全集，则元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. B. C. D. 4. 直线被圆截得的弦的长是（ ）. A. B. 3 C. D. 4 5. 设首项为1的数列．足，则的个位数字为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 6. 某圆台形容器有上底，无下底，若该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm，则该容器的容积为（该容器壁与底的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 已知为椭圆：上一动点，左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（ ） A. 的周长为定值10 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 11. 对于函数和，则下列说法正确的有（ ） A. 与有相同最小正周期 B. 与有相同的最小值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象有相同的对称中心 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有6张卡片，分别标有数字．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为______． 13. 函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是______． 14. 一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，上方的小四棱锥的高为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求． 16. 已知数列的前n项和，数列是等差数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证. 17. 某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． （1）求生产出甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； （2）若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 18. 已知，，． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）若在时恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. （1）求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； （2）（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $