湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学考后针对性训练（五）

《长沙市周南中学2025—2026学年高二上学期数学期末考试考后针对性训练（五）》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A A B D D CD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用两点斜率公式和倾斜角正切值表示斜率求解即可. 【详解】因为斜率，所以， 故选：D. 2．B 【分析】写出展开式通项公式，得到第9项. 【详解】，所以第9项是. 故选：B 3．D 【分析】由等差数列前项和公式以及等差中项性质求即可求解. 【详解】等差数列中，，所以． 故选：D． 4．A 【分析】根据抛物线的概念，等于点到抛物线准线的距离求解. 【详解】因为抛物线：，所以. 所以抛物线的焦点，准线：. 如图：    过作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义，. 故选：A 5．A 【分析】由题知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，根据条件可求得，再利用导数确定单调性及极值即可. 【详解】根据题意可知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题， ，又， 所以，， 则，又乙为真命题，， 即，， 令或， 所以或时，，单调递增， 时，，单调递减， 故甲为假命题，乙、丙、丁为真命题. 故选：A. 6．B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 7．D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 8．D 【分析】由题意可得在上恒成立，令，则只需即可，利用导数求解即可. 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数的取值范围是. 故选：D. 9．CD 【分析】根据焦点及实轴于虚轴长度关系求得，判断A选项；求出双曲线中的值，即可得到顶点坐标，判断B选项；即可求得离心率，判断C选项；即可写出双曲线的渐近线方程，判断D选项. 【详解】由题意可知，，，，即 ∴，即，∴，A选项错误； ∴， ∴顶点坐标为，B选项错误； ∴，C选项正确； ∵，且双曲线的焦点在轴上，∴渐近线方程为，D选项正确. 故选：CD. 10．ACD 【分析】对A根据公式计算；对B根据计算；对C根据方向向量的定义判断；对D由空间向量基本定理的结论可判断. 【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为，故A正确； 可化为， 令，则，则直线恒过定点，故B错误； 由方向向量的定义可知，直线的方向向量可以是，C正确； 由空间向量基本定理的结论可知，，故，则D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】直接求导得，分析其导函数正负和单调性即可判断ABC，对D，通过代入计算和单调性即可判断. 【详解】对于A、C，函数的定义域为，函数求导得 令，解得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因此是极大值点，是极小值点， 函数有两个极值点，AC正确； 对于B，由上分析可知函数的单调递减区间为，而不是，所以B错误； 对于D，由上分析函数的单调性求解函数的值域，因为， 当时，；当时，； 则当时，，且函数递增， 故一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递减，结合， 则其一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递增，则， 此时不存在实数根使得， 综上所述，方程 有两个实数根，D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由得 设，则，解得， 又，所以点的坐标为， 故答案为：. 13．（且） 【分析】利用斜率乘积为定值来求动点的轨迹，即可求解. 【详解】由题意知，，，三点共线，，，三点共线， 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，关于轴对称，所以， 所以， 设、坐标分别为、， 则，则，又，故， 由已知，， 所以， 所以，化简得：， 的轨迹为以为顶点的椭圆（去掉，两点）， 所以的轨迹方程为：（且）. 故答案为： 14． 【分析】当直线斜率不存在时，可验证知其不合题意；可设，由在直线上可得；将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出，将代入化简可整理得到，根据满足题意的直线有两条可知，结合点在椭圆内即可求得的范围. 【详解】当直线斜率不存在时，其方程为，则，， ，不合题意； 直线斜率存在，可设其方程为：， 在直线上，，即； 由得：， ，即； 设，，，， ， 又原点到直线距离， ，则， 将代入上式得：， ，即， 整理可得：， 使得三角形面积为的弦存在两条，，； 在椭圆内部，，则，， 或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2)或. 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得. 【详解】（1）由题意得，圆心在直线上， 即, 解得. （2）圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. 16．(1)，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量的运算，根据等比数列的定义即得； （2）利用分组求和法即得. 【详解】（1）由数列是等差数列且， 所以公差， 所以， 因为，， 所以，， 所以数列的公比， 所以， 所以； （2）由，可得 ． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法1，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解证明； 方法2，连接，与相交于点，取的中点，证明四边形是平行四边形，得，利用线面平行的判定定理证明； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）方法一：以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 因为，故， 又平面，所以平面. 方法二：如图，连接与相交于点，取的中点，连接，. 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以，且. 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为为的中点，所以，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 所以. 故二面角的正弦值为. 18．(1)最大值为，最小值为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导分析函数的单调性，进而求出最值； （2）根据单调性得到在区间[1，2]上恒成立，分离参数得到，设，利用导数求出该函数在区间上的最小值，进而求出的取值范围； （3）令，对其求导，令，再对求导，判断函数的单调性，再根据零点存在定理得到存在唯一的，使得，进而判断函数的单调性，再结合得证. 【详解】（1）若，则， 令， 则， 所以在区间上单调递增， 又， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增． 由， 所以在区间上的最大值为，最小值为． （2）若在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 即． 设， 则 因为，所以，所以，所以在区间上单调递增， 所以，所以的取值范围为． （3）若，则， 令，得，整理为． 令， 令，则， 所以在区间上单调递增， 又， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得． 因此，当时，单调递减；当时，单调递增． 又因为， 所以结合单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点； 在区间上单调递增，可知存在1个零点； 当时，单调递增且，故无零点． 综上，有且仅有2个零点，则， 所以． 19．(1) (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据题意列出的方程组，解方程组即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点的坐标，最后根据 的坐标写出直线的方程即可得证， （3）首先联立直线和圆，利用弦长公式求出，然后根据点线距公式求出点到直线的距离，进而得到的表达式，最后利用基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意可知，解得 ，所以椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为， 由消去得， 所以，，即， 因为，所以同理可得，， 即，直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线恒过定点. （3） 以原点为圆心且过点的圆的方程为， 联立消去得，所以， 则， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当即时取等号，所以面积的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2025—2026学年高二上学期数学期末考试考后针对性训练（五） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过点的直线的倾斜角为，则等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．在的展开式中，第9项为（   ） A． B． C． D． 3．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．32 B．16 C．72 D．36 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点;                乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减;            丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 7．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 8．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．下列说法正确的是（   ） A．已知向量，，则在方向上的投影向量为 B．直线恒过定点 C．直线的方向向量可以是 D．，其中P为平面上的一点，是平面外一点，则有 11．已知函数 ，则（    ） A．函数 有两个极值点 B．函数 的单调递减区间为 C． 是函数 的极大值点 D．方程 有两个实数根 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是 ． 13．已知双曲线：，，分别为它的左右顶点，为上异于，的任意一点，且关于轴对称的点为，直线与交于点，则动点的轨迹方程是 . 14．已知椭圆，为椭圆内一定点，过点的弦与椭圆交于两点，若使得三角形面积为的弦存在两条，则取值范围为 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 16．已知等差数列满足，，数列满足，，数列为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．已知函数． (1)若，求在区间上的最值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若，函数，证明：有且仅有2个零点，且2个零点之和小于． 19．已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线过定点； (3)以原点为圆心且过点的圆与直线交于点（异于点），求面积的最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $