微专题 02 分式与分式方程中的含参数问题（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

微专题02 分式与分式方程中的含参数问题 题型一 分式有意义、无意义及值为0时的参数求解 1.分式有意义：分母≠0，即求解不等式； 2.分式无意义：分母=0，即求解方程； 3.分式值为0：分子=0且分母≠0，先解得参数候选值，再代入分母验证排除使分母为0的情况。 1．式子有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 2．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则 ． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 4．当 时，分式的值等于零． 题型二 分式化简中含参数的整体代入求值 先将分式化为最简形式，若已知条件无法直接求出参数值，通过变形构造与化简结果匹配的整体代数式（如，构造），再整体代入计算。 1．已知，求代数式的值． 2．若，则的值为 ． 3．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 4．已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型三 分式值为整数的含参问题（分离常数法） 1.用分离常数法将分式化为的形式（如）； 2.由分式值为整数，得分母是分子常数项的因数； 3.列出分母的所有整数因数，求解参数并排除使原分式无意义的情况。 1．我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 3．已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 题型四 分式方程有增根时的参数求解 1.确定增根：令原分式方程最简公分母=0，求解得到增根； 2.去分母将分式方程化为整式方程； 3.将增根代入整式方程，求解参数值； 4.验证参数值是否使原方程产生增根（避免漏解或多解）。 1．在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 2．已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 3．【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 4．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 题型五 分式方程无解时的参数求解 1.分式方程无解分两类情况： ①整式方程无解（如一元一次方程中且）； ②整式方程的解全是增根； 2.先去分母化为整式方程，分别讨论两类情况； 3.结合增根求解方法，综合得到所有符合条件的参数值。 1．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 3．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 4．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 题型六 分式方程与一元一次不等式（组）结合的含参问题 1.解分式方程，用参数表示解并明确解的限制条件（如非负、整数、不为增根）； 2.解不等式（组），得到不等式（组）的解集（含参数）； 3.根据题目条件（如方程的解满足不等式、不等式组有/无解、有特定整数解）建立关联，列不等式（组）求解参数； 4.综合所有限制条件，确定参数的最终取值（或取值范围）。 1．若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 3．关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是 ． 4．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 题型七 新定义型分式含参问题 1.紧扣新定义规则，将定义转化为数学等式（如“和整分式”则，k为正整数）； 2.代入分式表达式，化简得到含参数的等式； 3.根据定义中的限制条件（如k为正整数、x为正整数）列方程或不等式； 4.求解参数并验证是否符合定义及分式有意义的条件。 1．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 2．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 3．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 4．定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 分式与分式方程中的含参数问题 题型一 分式有意义、无意义及值为0时的参数求解 1.分式有意义：分母≠0，即求解不等式； 2.分式无意义：分母=0，即求解方程； 3.分式值为0：分子=0且分母≠0，先解得参数候选值，再代入分母验证排除使分母为0的情况。 1．式子有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决本题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴， ∴， 故选C． 2．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式无意义的条件，分式的值为0时分子为0且分母不为0，分式无意义时分母为0，据此求出的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：2． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 4．当 时，分式的值等于零． 【答案】9 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：由分式的值为零，得 ： 且 ， ∴． 故答案为：9． 题型二 分式化简中含参数的整体代入求值 先将分式化为最简形式，若已知条件无法直接求出参数值，通过变形构造与化简结果匹配的整体代数式（如，构造），再整体代入计算。 1．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 2．若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 3．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，求一个数的平方根，根据已知等式可推出，根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∴当时，， ∴两边除以得， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 4．已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，先根据，得到，，再利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴ ∴ ； 故选C． 题型三 分式值为整数的含参问题（分离常数法） 1.用分离常数法将分式化为的形式（如）； 2.由分式值为整数，得分母是分子常数项的因数； 3.列出分母的所有整数因数，求解参数并排除使原分式无意义的情况。 1．我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3)1，2，4或5 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据“真分式”的定义可知分式是真分式， 故答案为：真 （2） （3）， 为整数， 为整数， 当的值为整数时，分式的值为整数， 或， 的值为1，2，4或5． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式方程的知识，先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式组并求解，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∵a是正整数， ∴a的可能取值为2, 3, 4, 5， 又∵是整数， ∴必为偶数， ∴a为奇数，即a只能取3或5， ∴满足条件的所有正整数a的和为：． 3．已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解及一元一次不等式组的解法，熟知相关运算法则是正确解答此题的关键． 根据解分式方程的解法，可得分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得不等式，解不等式，可得答案． 【详解】解： 去分母，得：， 移项、合并，得：， 分式方程的解为正数， ，， 解得：，且， 非负整数解的有共3个， 故答案为：A． 4．（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 【答案】1. 2. 3.或 4. 【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程及应用，正确计算是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （3）化简为，根据取整数值确定x的值； （4）化简为，根据取整数值确定的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：， 当，即或时，是整数， 当或时，代数式的值为整数； （4）解： ， 当，即时，为整数， 当时，为整数， 故答案为：． 题型四 分式方程有增根时的参数求解 1.确定增根：令原分式方程最简公分母=0，求解得到增根； 2.去分母将分式方程化为整式方程； 3.将增根代入整式方程，求解参数值； 4.验证参数值是否使原方程产生增根（避免漏解或多解）。 1．在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 2．已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 【答案】 0 0或2 【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键． （1）根据分式方程有增根的情况求解即可； （2）根据分式方程无解的情况求解即可． 【详解】解：（1）去分母得，， 方程有增根， 或， 当时，；当时，整式方程无解， 方程的增根为，的值为0， 故答案为：0；； （2）关于的方程无解， 整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解． ，， 当整式方程的解是分式方程的增根时，或， 当时，，当时，整式方程无解， 当整式方程无解时，， ，故分式方程无解时的值为0或2， 故答案为：0或2． 3．【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 4．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 题型五 分式方程无解时的参数求解 1.分式方程无解分两类情况： ①整式方程无解（如一元一次方程中且）； ②整式方程的解全是增根； 2.先去分母化为整式方程，分别讨论两类情况； 3.结合增根求解方法，综合得到所有符合条件的参数值。 1．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 2．关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：方程两边同乘 ，得， 整理得： ． ∵分式方程无解， ∴其增根为或． 当 时， ； 当 时， ． 故当 或 时，方程无解． 故选：A． 3．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)或6或1 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 4．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 题型六 分式方程与一元一次不等式（组）结合的含参问题 1.解分式方程，用参数表示解并明确解的限制条件（如非负、整数、不为增根）； 2.解不等式（组），得到不等式（组）的解集（含参数）； 3.根据题目条件（如方程的解满足不等式、不等式组有/无解、有特定整数解）建立关联，列不等式（组）求解参数； 4.综合所有限制条件，确定参数的最终取值（或取值范围）。 1．若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程和不等式组的含参数问题，解题的关键是正确解分式方程与不等式组． 先解分式方程得到，根据有正数解且得到且；再解不等式组，根据无解条件得到；结合整数，确定满足条件的值个数． 【详解】解：∵分式方程， 解得， ∵方程有正数解， ∴，且， ∴，， ∵为整数， ∴且； 解得，， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 综上，为整数且，且， ∴，，，共3个． 故选：C． 2．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】12 【分析】本题综合考查不等式组的整数解分析与分式方程解的存在性与限制条件，关键在于准确处理边界情况及排除使分母为零的情况，同时注意整数解的个数限制与代数解之间的关系，逻辑严密才能正确求解．先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴, ∴或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为非负整数， 即为非负偶数， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴． 3．关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故答案为：． 4．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于y的分式方程有整数解，得出a的取值，再求和即可得解． 【详解】解：解不等式组得，即不等式组的解集为， ∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数是3、2、1， ∴， 解得：， 解关于y的分式方程得， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴， ∴，即，解得， ∴符合条件的整数a为，4，7，10， ∴所有整数a的和为． 题型七 新定义型分式含参问题 1.紧扣新定义规则，将定义转化为数学等式（如“和整分式”则，k为正整数）； 2.代入分式表达式，化简得到含参数的等式； 3.根据定义中的限制条件（如k为正整数、x为正整数）列方程或不等式； 4.求解参数并验证是否符合定义及分式有意义的条件。 1．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 2．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； （2）解： 关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 3．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 4．定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)，， (3) 【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键． （1）根据定义求解判断即可； （2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解； （3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意得：， ∴C是D的“美好分式”； （2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”， ∴， ∴， ∵关于x的方程对于任意的x值恒成立， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上，，，； （3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∵为正整数， ∴为3的正约数， ∴或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴综上，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $