微专题 01 分式方程的实际应用（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

微专题 01 分式方程的实际应用 题型一 行程问题 1.核心公式：，变形为、； 2.找等量关系：重点分析“时间差”“速度差”或“路程相等”（如往返路程相同、相遇时路程和为总路程）；3.设未知数：优先设速度或时间，避免分母复杂； 4.验根：除排除增根外，需验证速度、时间为正数（实际意义约束）。 1．（25-26八年级上·北京·月考）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程 ． 2．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 题型二 工程问题 1.核心思路：将工作总量设为1（或具体总量），工作效率； 2.等量关系：合作效率=各主体效率之和，或“部分工作量+部分工作量=总工作量”； 3.注意事项：若涉及“中途退出”“提前完工”，需分段计算工作量； 4.验根：确保工作时间、效率为正数，符合实际场景。 1．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天． (1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）． (2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？ 3．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 4．（25-26八年级上·全国·期末）根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 题型三 购物问题 1.核心公式：，变形为、； 2.常见等量关系：“总价相同，单价不同求数量”“数量不同，单价成倍数关系求总价”； 3.设元技巧：优先设单价或数量，根据“多买优惠”“批量采购”等条件列方程； 4.验根：排除单价、数量为负数或非整数（如商品件数）的情况。 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是14000元和7000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.4倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多300本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 2．（2025九年级上·重庆·专题练习）近日，某高校为支援落后地区发展，推出了一批文创定制羽绒服（有长款和短款两种款式）进行销售，受到校友抢购，其中一位校友购买2件长款羽绒服和3件短款羽绒服花费了元，另一位校友购买1件长款羽绒服和2件短款羽绒服花费了元． (1)1件长款羽绒服和1件短款羽绒服的售价分别为多少元？ (2)该高校文创中心工作人员称，由于销售反响强烈，学校又购进第二批文创定制羽绒服共件，且1件长款羽绒服的成本是1件短款羽绒服的成本的2倍，第二批羽绒服销售价格不变，经统计，全部售出后第二批长款羽绒服获利元，第二批短款羽绒服获利元，那么1件短款羽绒服的成本是多少元？（每件羽绒服的利润每件羽绒服的售价每件羽绒服的成本） 3．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． (1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ (2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元/件，同时乙种商品单价下调了元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值___________． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 题型四 增长率/下降率问题 1.核心公式：，变形为； 2.等量关系：基于“现量与原量的比例关系”或“两次增减后的量相等”列分式方程； 3.注意：避免列二次方程，聚焦单次增减或与其他量（如单价、效率）的结合； 4.验根：增长率绝对值小于1（实际意义），现量、原量为正数。 1．（2024·云南昭通·二模）2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长，其中餐饮收入增长．现有两家餐饮店，餐饮店的人均消费金额比餐饮店多元，在餐饮店总消费金额为元的人数与在餐饮店总消费金额为元的人数相同，分别求两家餐饮店的人均消费金额． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）分析认为，多年来中学生的体质情况有喜有忧，喜的是伴随社会经济的发展，中国青少年的身高有所增加，多发病和常见病发病率逐年下降，忧的是身体素质的部分指标连续下降，突出表现在耐力素质和柔韧素质下降．为此，全国各级学校高度重视，纷纷增加学生课外体育锻炼的时间．小明为增强身体耐力，长期坚持长跑训练．如果小明在操场上跑第一圈的速度为，跑第二圈的速度为，那么小明跑这两圈的平均速度是（    ） A． B． C． D． 3．（25-25七年级下·广西贺州·期末）端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 题型五 浓度问题 1.核心关系：，稀释/浓缩时溶质质量不变； 2.等量关系：基于“溶质质量守恒”（如稀释前溶质=稀释后溶质）； 3.设未知数：设加入溶剂（稀释）或溶质（浓缩）的质量，避免分母含多个参数； 4.验根：确保溶液质量、浓度为正数，浓度范围在0~100%之间。 1．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 2．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）（1）化简：． （2）现有盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为；第二次又加入同样多的水后，盐水浓度变为．则第三次再加入同样多的水之后盐水的浓度是多少？ 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度 ） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 4．（24-25九年级下·福建泉州·月考）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 题型六 方案选择问题 1.分方案列方程：针对每种方案，根据实际场景（如行程、购物、工程）建立分式方程； 2.求解关键量：计算各方案的核心指标（如总费用、总时间、总工作量）； 3.对比决策：通过计算结果对比优劣（如费用最低、时间最短）； 4.验根：每个方案的解需符合实际意义，排除无效方案。 1．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 3．（2025·河南周口·二模）综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： (1)求这种草莓的单价； (2)甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； (3)生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 4．（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料．同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 01 分式方程的实际应用 题型一 行程问题 1.核心公式：，变形为、； 2.找等量关系：重点分析“时间差”“速度差”或“路程相等”（如往返路程相同、相遇时路程和为总路程）；3.设未知数：优先设速度或时间，避免分母复杂； 4.验根：除排除增根外，需验证速度、时间为正数（实际意义约束）。 1．（25-26八年级上·北京·月考）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 甲先出发30分钟，乙后出发同时到达，即甲所用时间比乙多0.5小时，根据速度和时间关系列方程 【详解】解：∵甲的速度为 ，乙的速度比甲的速度快， ∴乙的速度为 ， ∴甲行驶所用时间为 小时，乙行驶所用时间为 小时， ∵由于甲先出发30分钟（即0.5小时），且两人同时到达， ∴甲所用时间比乙多0.5小时， 根据题意可列方程： ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键． 由题意可得，快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：快马所需的时间为天，则快马速度为里/天，慢马所需的时间为天， 则慢马速度为里/天，根据快马的速度是慢马的2倍可得方程： ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【分析】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【详解】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 题型二 工程问题 1.核心思路：将工作总量设为1（或具体总量），工作效率； 2.等量关系：合作效率=各主体效率之和，或“部分工作量+部分工作量=总工作量”； 3.注意事项：若涉及“中途退出”“提前完工”，需分段计算工作量； 4.验根：确保工作时间、效率为正数，符合实际场景。 1．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解． 【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 因此，人工每小时分拣400件包裹． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天． (1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）． (2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？ 【答案】(1)， (2)甲单独完成需5天，乙单独完成需10天 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； （1）根据工作效率工作总量工作时间列代数式即可； （2）根据甲、乙两人合作天后，剩下的工作由乙单独来做，用天即可完成．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：甲单独完成这项工作需要天，工作效率为， 乙单独完成这项工作所需天数为天，工作效率为， 故答案为：，； （2）解：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴乙单独完成这项工作需要天， 答：甲、乙单独完成这项工作各需天和天． 3．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)x， (2)天 (3)选择方案三，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天， 根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要天； （2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量+乙队工期时间完成的工作量，列方程求解即可； （3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工， ∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期， ∵设这项工程的规定工期为x天， ∴甲队单独完成这项工程需要x天， ∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天， ∴乙队单独完成这项工程需要天； 故答案为：x，； （2）解：由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定工期为天； （3）解：∵这项工程的规定工期为天， ∴甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， ∵这项工程能如期完工， ∴只能选由甲单独完成或甲乙合作完成，即方案一或方案三， （方案一）甲队单独完成这项工程的费用：（万元）， （方案三） 若由甲乙两队合作做6天 ，剩下的工程由乙队单独做费用为：（万元）， ∵， ∴选方案三， 答：为了节省工程款，同时又能如期完成，应选择方案三． 4．（25-26八年级上·全国·期末）根据背景素材，探索解决问题：     如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河(如图)，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170 天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3 450万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.5 万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米；任务2：最多可安排乙工程队工作100天 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用．任务1：设甲工程队每天能改造x米，根据题意可得出乙工程队每天能改造米，通过“甲改造所需天数−乙改造所需天数=170”列出方程并求解即可； 任务2：设安排乙工程队工作a天，通过素材3的信息即可列出一元一次不等式进行求解即可得出a的值． 【详解】解：任务1：设甲工程队每天能改造x米，则乙工程队每天能改造米， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为，且符合题意， ∴， 即甲工程队每天改造河道的长度是100米，乙工程队每天改造河道的长度是125米； 任务2：设安排乙工程队工作a天， 根据题意，得， 解得， ∴a的最大值为100， 即最多可安排乙工程队工作100天． 题型三 购物问题 1.核心公式：，变形为、； 2.常见等量关系：“总价相同，单价不同求数量”“数量不同，单价成倍数关系求总价”； 3.设元技巧：优先设单价或数量，根据“多买优惠”“批量采购”等条件列方程； 4.验根：排除单价、数量为负数或非整数（如商品件数）的情况。 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是14000元和7000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.4倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多300本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 【答案】“红色教育”的订购单价是14元，“传统文化”经典读本的单价是10元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元． 由题意得：， 化简得：， ， 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． “红色教育”的订购单价是元． 答：“红色教育”的订购单价是14元，“传统文化”经典读本的单价是10元． 2．（2025九年级上·重庆·专题练习）近日，某高校为支援落后地区发展，推出了一批文创定制羽绒服（有长款和短款两种款式）进行销售，受到校友抢购，其中一位校友购买2件长款羽绒服和3件短款羽绒服花费了元，另一位校友购买1件长款羽绒服和2件短款羽绒服花费了元． (1)1件长款羽绒服和1件短款羽绒服的售价分别为多少元？ (2)该高校文创中心工作人员称，由于销售反响强烈，学校又购进第二批文创定制羽绒服共件，且1件长款羽绒服的成本是1件短款羽绒服的成本的2倍，第二批羽绒服销售价格不变，经统计，全部售出后第二批长款羽绒服获利元，第二批短款羽绒服获利元，那么1件短款羽绒服的成本是多少元？（每件羽绒服的利润每件羽绒服的售价每件羽绒服的成本） 【答案】(1)长款羽绒服售价元，短款羽绒服售价元 (2)短款羽绒服成本元 【分析】本题考查用二元一次方程组和分式方程解决实际问题，熟练掌握二元一次方程组和分式方程的解法是解题的关键． （1）设1件长款羽绒服的售价为元，1件短款羽绒服的售价为元，由题意得，，解此方程组即可； （2）设1件短款羽绒服的成本是元，则1件长款羽绒服的成本是元， 由题意得，，解得，经检验，是所列方程的解，据此即可解答． 【详解】（1）解：设1件长款羽绒服的售价为元，1件短款羽绒服的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：1件长款羽绒服的售价为元，1件短款羽绒服的售价为元； （2）设1件短款羽绒服的成本是元，则1件长款羽绒服的成本是元， 由题意得，， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：1件短款羽绒服的成本是元． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． (1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ (2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元/件，同时乙种商品单价下调了元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值___________． 【答案】(1)商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元 (2)①3；②4480元 【分析】此题考查分式方程的应用，整式乘法的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键． （1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可； （2）①两种商品共花费5460 元，据此列方程并解方程即可； ②设购入件甲种商品，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元， 由题意可得，， 解得：， 经检验是分式方程的解且符合题意； 当时，， 答：商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元； （2）解：①根据题意可得，， 解得：， 答：的值为3； ②设购入件甲种商品， 根据题意可得，总费用， ∵总费用与无关， ， 解得：， ∴总费用， 故答案为：4480元． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 题型四 增长率/下降率问题 1.核心公式：，变形为； 2.等量关系：基于“现量与原量的比例关系”或“两次增减后的量相等”列分式方程； 3.注意：避免列二次方程，聚焦单次增减或与其他量（如单价、效率）的结合； 4.验根：增长率绝对值小于1（实际意义），现量、原量为正数。 1．（2024·云南昭通·二模）2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长，其中餐饮收入增长．现有两家餐饮店，餐饮店的人均消费金额比餐饮店多元，在餐饮店总消费金额为元的人数与在餐饮店总消费金额为元的人数相同，分别求两家餐饮店的人均消费金额． 【答案】餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，设餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：设餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元， 由题意得：， 解得： 检验：当是原方程的解 ∴ 故： 餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）分析认为，多年来中学生的体质情况有喜有忧，喜的是伴随社会经济的发展，中国青少年的身高有所增加，多发病和常见病发病率逐年下降，忧的是身体素质的部分指标连续下降，突出表现在耐力素质和柔韧素质下降．为此，全国各级学校高度重视，纷纷增加学生课外体育锻炼的时间．小明为增强身体耐力，长期坚持长跑训练．如果小明在操场上跑第一圈的速度为，跑第二圈的速度为，那么小明跑这两圈的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小明跑两圈的平均速度，可利用总的路程总的时间求解． 【详解】解：令环形操场的长度为S，小明跑两圈的平均速度为： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，明确平均速度应该是总的路程总的时间． 3．（25-25七年级下·广西贺州·期末）端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 【答案】(1)每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元，利用数量总价单价，结合用600元所购肉粽数量是用600元所购蛋黄粽数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出每个蛋黄粽的进价，再将其代入中即可求出每个肉粽的进价； （2）利用数量总价单价，可求出购进肉粽和蛋黄粽的数量，利用少赚的总利润每个少赚的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元． （2）解：购进蛋黄粽的数量为(个)， 购进肉粽的数量为(个)． 依题意得：， 解得：． 答：的值为． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 题型五 浓度问题 1.核心关系：，稀释/浓缩时溶质质量不变； 2.等量关系：基于“溶质质量守恒”（如稀释前溶质=稀释后溶质）； 3.设未知数：设加入溶剂（稀释）或溶质（浓缩）的质量，避免分母含多个参数； 4.验根：确保溶液质量、浓度为正数，浓度范围在0~100%之间。 1．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 2．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）（1）化简：． （2）现有盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为；第二次又加入同样多的水后，盐水浓度变为．则第三次再加入同样多的水之后盐水的浓度是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算及应用，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）先设第一次加入一定量的水后，盐水为千克，从而求出盐的重量，然后再求出第二次加入的水的重量，从而根据浓度=盐的重量÷盐水的重量进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）设第一次加入一定量的水后，盐水为千克， 盐的重量（千克）， 第二次加入的水的重量（千克）， 第三次加入同样多的水后盐水的浓度， 第三次加入同样多的水后盐水的浓度为． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度 ） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）8 【分析】本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据浓度与溶质、溶剂之间的关系即可求解； （2）用替换的分子，即可证明； （3）设，可得，进而可得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）①同学甲配制的溶液浓度， 故答案为：； ②同学乙、丙要配制相同浓度的溶液， ， 解得， 检验：当时，，当时， 所以原分式方程的解是； （2）证明：， ， 当三瓶氯化钠溶液混合时 ， 任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变 （3）解：设， 则， ， ， ， ， ． 4．（24-25九年级下·福建泉州·月考）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 题型六 方案选择问题 1.分方案列方程：针对每种方案，根据实际场景（如行程、购物、工程）建立分式方程； 2.求解关键量：计算各方案的核心指标（如总费用、总时间、总工作量）； 3.对比决策：通过计算结果对比优劣（如费用最低、时间最短） ；4.验根：每个方案的解需符合实际意义，排除无效方案。 1．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可． 【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，； 实验结论：， ∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少， ∴方案二的漂洗效果最好． 故答案为：二； 推广证明：方案A结果： 方案B结果： 方案更好 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 3．（2025·河南周口·二模）综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： (1)求这种草莓的单价； (2)甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； (3)生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 【答案】(1)20元 (2)甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元 (3)金额 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，有理数的大小比较的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设这种草莓的单价为x元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可； （3）比较得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：设这种草莓的单价为x元． 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． 答：这种草莓的单价为20元； （2）解：第二次购买该草莓时的单价为（元）， 甲第二次购买该草莓的数量为， 乙第二次购买该草莓的总价为（元）， ∴甲两次购买这种草莓的平均单价为（元）， 乙两次购买这种草莓的平均单价为元）． 答：甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元； （3）解： ∴按相同金额购买更合算． 4．（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料．同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $