安徽合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三上学期第一次数学教学质量监测数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三第一次教学质量监测 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2.已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知向量且，求（    ） A． B． C． D． 4.在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 5. 已知，则（   ） A． B． C． D． 6.2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（  ） A． B． C． D． 7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.已知，函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上的最小值为 10．已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．为偶函数 B． C． D． 11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则数列也是等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若，则时取到最小值 D．若为等比数列，且，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法． 13. 过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数 的“公法线”方程为 ． 14.已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．（15分）在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． (1)求； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 17.（15分） 已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 18. （17分）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 19. （17分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. (1)求的方程; (2)过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 数学试卷 第 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三第一次教学质量监测 数学 评分细则+参考解析 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】A 【详解】，故.故选：A 2.【答案】A 【详解】设复数，则共轭复数，因为， 列出方程组为：求解该方程组得：.所以复数.在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标，所以该点在第一象限.故选：A. 3. 【答案】C 【详解】因为，所以，，由得，，则有，解得或，因为，所以，即.故选：C 4. 【答案】C 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为在的展开式中，的系数为60.故选：C. 5. 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，所以， 则.故选：A. 6. 【答案】C 【详解】 如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥，所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以，又底面，底面，所以，所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形，所以，则，所以，所以，所以六棱锥的体积为.故选：C 7. 【答案】B 【详解】如图，，解得，所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，则， ，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为 ，整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B. 8. 【答案】C 【详解】，， ，则， 又，，.故选：C. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9【答案】AC 【详解】对于A，，故A正确；对于B，当时，,此时,函数的最小正周期是，故B错误；对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确；对于D，当时，，所以，当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误；故选：AC 10. 【答案】ACD 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，则，即，故A正确；因为是奇函数，所以，即， 所以，则，令，所以，所以，即的图象关于直线对称，则，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD 11. 【答案】AC 【详解】因为为等差数列，所以前项和， 所以，所以， 所以数列是等差数列，故正确；因为，若，则所有项都为，所以数列不是等比数列，故错误；因为，所以，所以为等差数列，首项为，公差为， 所以，此二次函数开口向上，对称轴为，因为，所以当时，取到最小值，故正确；因为为等比数列，且，故公比不为1， 所以，所以，所以，故错误.故选：. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.【答案】1280 【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.所以，总共有种不同的安排方法.故答案为：1280. 13. 【答案】 【详解】由求得，，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由求导得，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由“公法线”得，，，解得，所以“公法线”方程为， 14. 【答案】24 【分析】按的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可. 【详解】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：初始数列，；初始数列，；初始数列，； 初始数列，； 初始数列，；初始数列，； 初始数列，；所以所求操作次数的和为.故答案为：24 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1)分布列见解析，；(2)答案见解析 【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，所以随机变量的所有取值为.则 ， ， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到，因为，假设成立，所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.如果把所有数据都扩大10倍后， ，，所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 16. （15分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点分别为，连接，过点作，垂足为， 设，则，为等边三角形，，在中，，在中，， ，又梯形的面积， 所以四棱锥的体积为， 解得（舍去），即； （2）由（1）可得．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．．设平面的法向量为，则，取，得．设平面的法向量为，则取，得．所以，，所以平面与平面所成角的正弦值为． 17. （15分）【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）时，，， 时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以. （2）， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，令，则，所以在区间上单调递增，由已知，所以，解得，综上，. 18. （17分）【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设，，由得，则直线的方程为，即，即， 同理，直线的方程为 ，又直线与直线都过，则，，从而均在直线上，故直线的方程为，又，故直线的方程为，故直线过定点； （2）联立，得，，则， 则， 于是，，又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号).则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且.设直线方程为， 由，得，，. 对求导，，所以， ，直线的方程为，又，直线的方程为，同理可得直线的方程为.由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，，又，， 所以.所以||·||=，综上：||·||=. 19. （17分）【答案】(1)；(2)①②证明过程见解析 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组即可求解； （2）①设的方程为，根据韦达定理以及中点坐标公式求得的坐标，同理可得的坐标，进一步可得点的坐标即可得解；②依次得出，，进而得到，从而通过放缩和裂项即可求解. 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为，则有，解得， 所以椭圆的方程为. （2） ①设的方程为．， 由，得， ， 同理可得：，三点共线，当轴时，则，当与轴不垂直时，由得： ， ②因为，所以，由得：，且，， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $