北京大兴区2025-2026学年八年级上学期学情况自测数学试题

北京市大兴区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 1．若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（　　） A．1 B．4 C．5 D．6 2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性 3．如图，在中，边上的高是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，B点在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在北偏东方向，则（　　） A． B． C． D． 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 9．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有　 　个直角三角形，有　 　个钝角三角形． 10．一个等腰三角形的两边长分别是5和7，则它的周长是　 　． 11．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　 　． 12．如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是　 　． 13．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为　 　． 14．如图，在中，若，，则的高与的比值是　 　． 15．如图，在中，是的中线，设的长为，延长到点，使，连接，由“”可证得，因此．在中，根据三角形三边的不等关系，可得长度的取值范围，从而得到的中线长度的取值范围即的取值范围是　 　． 16．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论： ①； ②； ③射线是的角平分线； ④． 所有正确结论的序号是　 　． 17．已知：如图，，点为中点，．求证：． 18．如图，，，，求证：． 19．如图，求的度数． 分析：连接并延长至点， 要求的度数，只需求即可， 证明：∵______ ______ ____________ ______． 20．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，求三边长各是多少？ （2）如果有一条边长为，求另两边的长． 21．如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 22．如图，在中，，与相交于． （1）求证：； （2）求证：． 23．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 24．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 25．如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当，则的长度为　　． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 26．如图，在中，，，，为的中点．点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． （1）填空（用含t，a的代数式表示）： ①　 　；②　 　． （2）当a，t为何值时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等？写出求解过程． 27．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明 ▲ ；再证明了 ▲ ，即可得出，，之间的数量关系为 ▲ ． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得， ∴第三边可能为4， 故答案为：B． 【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）求解即可. 2．【答案】D 【知识点】三角形的稳定性 【解析】【解答】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故答案为：D． 【分析】利用三角形的稳定性及生活常识分析求解即可. 3．【答案】D 【知识点】三角形的高 【解析】【解答】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故答案为：D． 【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可. 4．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-三角尺问题 【解析】【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1=45°， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α=∠1+30°=75°． 故答案为：D． 【分析】先利用平行线的性质求出∠1=45°，再利用三角形外角的性质求出∠α的度数即可. 5．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：如图，即为左图中边长为的边所对的角， 两个三角形全等， ， 又， ， 故选：． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等及性质等知识点进行考查，根据两个三角形全等找到对应角，再根据三角形内角和完成求解。 6．【答案】C 【知识点】角的运算；方位角；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：如图， ，是正南正北方向， ∴， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：C． 【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的运算求出∠BAC的度数，再结合，求出∠ABC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠ACB的度数即可. 7．【答案】C 【知识点】角的运算；三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：A、，则：， ∴， ∴是直角三角形；不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；不符合题意； C、，则：， ∴， ∴不是直角三角形；符合题意； D、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；不符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可. 8．【答案】A 【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的性质可得点H到、的距离相等，再利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再证出，从而可得凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，最后得解. 9．【答案】5；2 【知识点】三角形的分类 【解析】【解答】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：6；2． 【分析】利用直角三角形和钝角三角形的定义并结合图形分析求解即可. 10．【答案】17或19 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论 【解析】【解答】解：分两种情况：①腰长为5，底边长为7，三边为：5，5，7可构成三角形，周长=5+5+7=17； ②腰长为7，底边长为5，三边为：7，7，5可构成三角形，周长=7+7+5=19． 故答案为：17或19． 【分析】分类讨论：①腰长为5，底边长为7；②腰长为7，底边长为5，再利用三角形的三边关系及周长公式求解即可. 11．【答案】135 【知识点】角的运算；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出即可． 12．【答案】（答案不唯一） 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：由图可知，，， 当时，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 13．【答案】9 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质 【解析】【解答】解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 【分析】过点作于点，先利用角平分线的性质可得PE=PC，再利用三角形的面积公式求出即可． 14．【答案】 【知识点】三角形的面积；三角形的高；等积变换 【解析】【解答】解：∵在中，若，，与是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】利用三角形的面积公式可得，再求出即可. 15．【答案】 【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】解：设的长为，延长到点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴即． 故答案为：． 【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系可得，即，最后求出m的取值范围即可. 16．【答案】①③④ 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【解答】解：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点M作于点F，于点G，于点H， ∵为的平分线，为的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴，即射线是的角平分线，故③正确； 假设， ∴． ∵为的平分线，是的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴，即． ∵， ∴， ∴假设不成立，故②错误； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴④正确． 综上可知所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确． 17．【答案】证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，同位角相等 【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段中点的性质可得，再结合，利用“ASA”证出，最后利用全等三角形的性质可得. 18．【答案】解：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【分析】先证出，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质可得. 19．【答案】，，，， 【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；推理与论证；飞镖模型 【解析】【解答】解：∵， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，，． 【分析】利用三角形外角的性质，角的运算和等量代换以及推理的方法和步骤分析求解即可. 20．【答案】（1）解：设底边长为，则腰长为， 根据题意可得：， 解得，， ∴， ∴各边长为：，，. （2）解：①当为底时，腰长为， 满足三角形三边关系， 另两边为、； ②当为腰时，底边为， 满足三角形三边关系， 另两边为、， 答：另两边长为、或、． 【知识点】三角形三边关系；一元一次方程的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念；分类讨论 【解析】【分析】（1）设底边长为，则腰长为，利用细绳的总长度列出方程，再求解即可； （2）分类讨论：①当为底时，②当为腰时，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可. （1）解：设底边长为，则腰长为， 则， 解得，， ∴， ∴各边长为：，，； （2）解：①当为底时，腰长为， 满足三角形三边关系， 另两边为、； ②当为腰时，底边为， 满足三角形三边关系， 另两边为、， 答：另两边长为、或、． 21．【答案】解：∵AD是的高 ∴ ∵ ∴ ∵CE是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴在中，． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理 【解析】【分析】根据三角形性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，在中再根据三角形内角和定理即可求出答案. 22．【答案】（1）见解析 （2）见解析 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 23．【答案】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（）根据题意补全图形，即可求出答案. （2）过点作于点，连接，，根据全等三角形判定定理可得，则，则，再根据角平分线的性质即可求出答案. （1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 24．【答案】（1）6 （2）解：①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形 【解析】【解答】（1）解：如图1中，， 故答案为：6． 【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可； （2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可； ②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可. （1）解：如图1中，， 故答案为：6． （2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 25．【答案】（1）解：（1），理由如下： ∴ 在与中 ． （2）8 （3）解：，理由如下： 设与相交于点， ． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】（2）解： 故答案为：8； 【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出，从而利用“SAS”可证； （2）由全等三角形的对应边相等及线段构成得，从而代值计算即可； （3）设与相交于点，由全等三角形的对应角相等得，结合对顶角相等得，由三角形的内角和定理可推出，进而可说明． （1）解：（1），理由如下： ∴ 在与中 ． （2）解： 故答案为：8． （3），理由如下： 与相交于点，在与中 ． 26．【答案】（1）； （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ； ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为3、的值为2或的值为2、的值为1． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；等腰三角形的概念；分类讨论 【解析】【解答】（1）解：由题意得：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴； ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴， 故答案为：；. 【分析】（1）利用“路程=速度×时间”列出代数式求出BP和CQ的长即可； （2）分类讨论：①若，②若，再利用全等三角形的性质列出方程求解即可. （1）解：由题意得：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴； ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴， 故答案为：；； （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ； ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为3、的值为2或的值为2、的值为1． 27．【答案】（1）解：补全图形，如图： ，， （2）解：成立， 证明如下：延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴. （3） 【知识点】三角形全等的判定-SAS；半角模型 【解析】【解答】（1）解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】（1）先根据题意画出图形，再证出，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，则，先证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得； （3）在上取一点，使，先证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再证出，最后利用线段的和差及等量代换可得. （1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $