精品解析：陕西西安中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：江海燕 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系. 【详解】由，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度是0 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误； C：根据零向量的定义可判断C正确； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 4. 若点在角终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义进行求解. 【详解】由三角函数定义可知： 故选：B 5. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断，，的零点所在的区间即可比较大小. 【详解】由函数，，的零点分别为，，， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为，，， 在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示： 由图知，，，所以， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将函数的零点分别转化为函数，，与图象交点的横坐标分别为，，，在同一直角坐标系中作出四个函数的图象即可比较，，的大小. 6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 故选A. 点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型. 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数； 其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”. 7. 已知，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较a,b,c的大小. 【详解】因为, , 又, 所以. 故选：C. 8. 已知（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角恒等变换得，进而得到求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，，所以，则， 即，解得或（舍去）. 故选：C 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，4有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 10. 若向量，满足，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：， 因此本选项不正确； B：由上可知， 因为，所以，因此本选项正确； C：因为， 所以，因此本选项正确； D：在上的投影向量为， 因此本选项正确， 故选：BCD 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 定义域为 C. 值域为 D. 递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 令可得函数定义域，在定义域内求出的值域，可得函数的值域，根据复合函数的单调性可得函数单调性． 【详解】解：令，得， 即函数的定义域为，A正确，B错误； ， ，C正确； 令，则其在上单调递增，上单调递减， 又在上单调递减，由复合函数的单调性得的递增区间为，D正确； 故选：ACD． 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像的一个对称中心是 C. 在区间上单调递减 D. 若的最大值为，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可得到结果. 【详解】因为， 对于选项A，由，得到，当时，，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到，所以的对称中心为， 当时，对称中心，所以选项B错误， 对于选项C，由，得到， 当时，，又，所以选项C正确， 对于选项D，因为， 当时，由题有，得到， 此时的最小值为， 当时，由题有，得到 此时的最小值为， 所以选项D错误， 故选：AC. 三、填空题（本题共4小题，每小题3.5分，共14分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】运用指数、对数运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为： 14. 玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》 一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设弧对应的圆半径为R，圆心角为，易得，求得R，再利用扇形面积公式求解. 【详解】设弧对应的圆半径为R，圆心角为， 由题意得：， 解得， 所以玉璜的面积为， 故答案为：. 15. 如图，在边长为的菱形中，，为中点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】选取为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】因为, , ， 又， . 【点睛】本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题. 16. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共41分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先把集合和它的补集的范围确定下来，再代入的值得到，利用并集，交集的定义就行. （2）是全在左边或全在右边，据此列不等式求. 小问1详解】 解不等式，等价于，解得， 补集. 当时，. ，， 或，， 所以 【小问2详解】 ，， 若，得，或. 当时，解得；当时， 因此，实数的取值范围为：或 18. 已知角的终边经过点. （1）若，求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义得，再求；（2）根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式化简，并转化为求值. 【详解】（1）点P到坐标原点的距离. 根据三角函数的定义，可得，所以， 从而，所以. （2）根据三角函数的定义，可得， 所以 . 19. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可； （2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 函数是指数函数，所以解得或2， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 其定义域为R，关于原点对称， 又因为，所以奇函数； 【小问3详解】 由（1）知：， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 20. 设函数. （1）求函数的最大值及取最大值时的取值集合； （2）若，且，求. 【答案】（1）最大值为，的取值集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及辅助角公式对函数进行化简，结合三角函数的最值及对应的取值求解即可. （2）根据得到，与联立求解即可. 【小问1详解】 . 当时，取得最大值，， 此时应满足，，解得，. 所以函数的最大值为，取最大值时的取值集合为. 【小问2详解】 已知，所以. 又，联立整理得， 解得. 因为，所以，所以， 因此. 21. 已知对数函数(且)和指数函数(且)互为反函数，记函数的反函数为. （1）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由在R上恒成立，结合二次函数性质可得范围； （2）求出，不等式可变形为，求出的范围后可得的范围． 【详解】解：（1）定义域为R， 在R上恒成立， 所以得：且，解之得， 故实数m的取值范围为. （2）由题意得：， 化简不等式， ， ， ， 时，， ，． ∴实数b的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查对数函数和指数函数的性质．对数型函数定义域为，即为真数大于0在上恒成立，这样问题转化为二次函数的问题，易求解．同样不等式恒成立问题可利用恒成立，把不等式转化，和分离参数法变形，然后求得的取值范围（或最小值）即可得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025-2026学年度第一学期期末考试高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：江海燕 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度是0 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 4. 若点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有 A B. C. D. 7 已知，，，则（） A. B. C. D. 8. 已知（，），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，4有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若向量，满足，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 定义域为 C. 值域为 D. 递增区间为 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像的一个对称中心是 C. 在区间上单调递减 D. 若的最大值为，则的最小值为 三、填空题（本题共4小题，每小题3.5分，共14分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 13. ______． 14. 玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》 一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为______. 15. 如图，在边长为的菱形中，，为中点，则______. 16. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共41分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知角的终边经过点. （1）若，求的值； （2）求的值. 19. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 20. 设函数. （1）求函数的最大值及取最大值时的取值集合； （2）若，且，求 21. 已知对数函数(且)和指数函数(且)互为反函数，记函数的反函数为. （1）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $