精品解析：天津和平区2025-2026学年上学期高二数学期末试卷

数学 第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，时间100分钟. 第I卷（选择题共27分） 监测注意事项： 1.答第I卷前，务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差为，且满足，则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 3. 长方体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C的实轴长是虚轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 8. 已知数列的首项为2，且满足，则（ ） A B. C. D. 9. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共73分） 监测注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 11. 直线过点，且直线在轴上的截距与在轴上的截距之和为零，则直线的斜率为_______. 12. 圆与圆交于A、B两点，则线段的垂直平分线方程为_______. 13. 一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，至少在第______次着地后，它经过的总路程能达到. 14. 正方体中，P为中点，Q在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______. 15. 已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，C上有一点，满足垂直于x轴，过点M作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为P，Q，若平行四边形的面积为.则双曲线C的方程为___. 三、解答题（本大题共5小题；共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 已知圆：，直线：. （1）若直线与圆相切，求值. （2）若，直线与圆相交于A，B两点，求的值. 17. 已知等差数列的首项为1，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 18. 如图，四棱锥中，侧棱平面，四边形是矩形，，M，N分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 20. 已知，正项数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若，数列的前项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，时间100分钟. 第I卷（选择题共27分） 监测注意事项： 1.答第I卷前，务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知等差数列的公差为，且满足，则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算，再根据等差数列通项计算求解. 【详解】是等差数列，所以，所以， 又因为公差为，则. 故选：D. 3. 长方体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法运算化简. 【详解】. 故选：C 4. 已知双曲线C的实轴长是虚轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据实轴长与虚轴长的关系得出，再应用计算求解. 【详解】因为双曲线C的实轴长是虚轴长的倍， 所以，所以，则C的离心率为. 故选：B. 5. 已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【详解】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 6. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据点到平面距离公式计算求解. 【详解】点在平面内，点在平面外，则， 则点P到平面距离为. 故选：D. 7. 过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法结合中点坐标公式计算得到答案； 【详解】设直线与椭圆相交于两点， 因为为线段的中点，故， 由在椭圆上，得， 两式相减并因式分解， 代入中点坐标化简得： 直线斜率，代入上式得 故选：B. 8. 已知数列的首项为2，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，通过累加法，结合等差数列，等比数列求和公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以，，，，， 累加可得， 即， 又，所以， 当时，，满足上式， 所以 故选：A 9. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合圆的几何性质求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则. 若圆上到直线距离为的点有且仅有4个，需满足， 即，即，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题共73分） 监测注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程知，，， 所以焦点到准线的距离为2. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题. 11. 直线过点，且直线在轴上的截距与在轴上的截距之和为零，则直线的斜率为_______. 【答案】或1 【解析】 【分析】根据题意先设直线的斜率，进而可得直线在轴上的截距与在轴上的截距，进而根据截距之和为零可得. 【详解】由题意显然直线的斜率存在且，设斜率为， 则直线的方程为：， 令得直线在y轴上的截距为， 令得直线在轴上的截距为， 由题意得， 故答案为：或1 12. 圆与圆交于A、B两点，则线段的垂直平分线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算两圆的圆心，结合两圆相交于A、B两点，线段的垂直平分线就是两圆的连心线，利用直线的两点式方程计算得到结果； 【详解】圆的圆心，圆的圆心， 因为两圆相交于A、B两点，所以线段的垂直平分线就是两圆的连心线， 即经过两圆圆心和的直线， 根据直线的两点式方程为，化简得 则线段的垂直平分线方程为. 故答案为：. 13. 一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，至少在第______次着地后，它经过的总路程能达到. 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式列出不等式，然后进行化简，根据指数函数的单调性计算即可. 详解】由题意得，. 所以. 所以，所以，即. 故答案为：6. 14. 正方体中，P为的中点，Q在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过建立空间直角坐标系，利用向量法来求解直线 与平面 所成角的正弦值，再求出平面 的法向量以及直线 的方向向量，最后根据线面角与向量夹角的关系进行计算即可. 【详解】 设正方体的棱长为3，以 为原点，分别以 ，， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面 的法向量为 ， 所以且， 即，解得 ，则， 令 ，则平面 的一个法向量为， 所以， 设直线 与平面 所成角为 ， 因为， ，， 所以. 故直线 与平面 所成角的正弦值为. 故答案为：. 15. 已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，C上有一点，满足垂直于x轴，过点M作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为P，Q，若平行四边形的面积为.则双曲线C的方程为___. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据得出，再利用两点间距离公式求出，再根据求出，最后利用面积公式化简求出. 【详解】由题意可得，，即，且， 渐近线方程为，设， 因为， 所以，得，则， 则，， 则， 因为， 所以， 则， 得， 因为，所以，所以双曲线C的方程为. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题；共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆：，直线：. （1）若直线与圆相切，求的值. （2）若，直线与圆相交于A，B两点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及勾股定理求解即可. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为1， 因为直线与圆相切，圆心到直线的距离为， 解得. 【小问2详解】 若，则直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以. 17. 已知等差数列首项为1，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，可解得数列的公差，即可得解； （2）运用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，由已知， 即，解得， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 故. 18. 如图，四棱锥中，侧棱平面，四边形是矩形，，M，N分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由与平面的法向量垂直可证； （2）在（1）的坐标系下，根据两平面夹角的向量求法可求. 【小问1详解】 因为侧棱平面，， 所以以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由M，N是中点，故，. 设平面的法向量为，易知，， 则，令，则， 因为，则，所以， 又因为平面，故平面得证. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 易知，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值等于. 19. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先求出，进而求出，从而得到椭圆的方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c， 由已知可得解得，， 由有， 所以椭圆C的方程为. 小问2详解】 设直线的方程为，，，的中点，如下图： 由联立得， 由题意有，即，整理得①， 由韦达定理可得，故，， 所以， 因为线段的垂直平分线与y轴交于点，所以， 整理得②， 因为，由②式有，所以， 将②式代入①式得， 解得，所以. 易知， 综上可得. 20. 已知，正项数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据化简求解即可. （2）分别求出，，，作差比较大小即可. （3）分析的正负区间，再用错位相减法求的前项和，最后分段计算绝对值和. 【小问1详解】 已知，当时，，解得或（舍去）， 当时，，所以， 整理得， 又因为正项数列，所以， 所以当时，，所以，满足通项公式， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）可知， 所以，，， 故， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，时，，时，，时，，时，， 设数列的前n项和为， ① ② ①-②得 所以，. 所以，时，， 时，，时，， 时，，符合上述公式， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $