精品解析：甘肃定西市2025-2026学年高一上学期1月期末数学

高一数学期末 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第一、二、三章占，第四、五章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果. 【详解】因为， 所以． 故选：B 2. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值可得. 【详解】. 故选：A. 3. 函数的相邻两个零点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切函数的图像与性质即可求解. 【详解】函数的相邻两个零点之间的距离等于它的最小正周期． 故选:C 4. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的平移伸缩可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度后， 得到函数的图象， 再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的3倍， 得到函数的图象， 则． 故选：D 5. 函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最值可得，根据周期性可得，代入点求，即可得函数解析式. 【详解】设函数的最小正周期为， 由图可得：，且，即， 且，可得，解得，则， 代入点可得，即 则，即， 所以． 故选：B. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，并根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由不等式，得或. 而或，或. 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】巧用“1”结合基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性，列出不等式，求出结果即可. 【详解】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 与是终边相同的两个角 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 函数的定义域为 D. 函数图象的对称轴方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用终边相同角的定义判断A，根据象限角的范围推导判断B，结合正切函数的定义域规则判断C，再通过余弦函数的对称轴公式求解判断D. 【详解】因为，所以与是终边相同的两个角，A正确． 由，得，则为第一、三象限角，B错误． 由，得，所以C错误． 由，得，D正确． 故选：AD 10. 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，（单位：m）表示在时间（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点距离地平面60m，最低点距离地平面10m，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则（ ） A. B. C. 入口处距离地平面 D. 一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图象中的五点法可判断A，利用代入最高点可求判断B，利用赋值可判断C，利用解三角不等式可判断D． 【详解】对于A，设的最小正周期为，则，解得， 由题意得，得，则，A正确． 对于B，由上面解答过程知，令， 可得，又， 解得，B错误． 对于C，因为，所以，C正确． 对于D，由，得，所以， 解得，D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 有2个零点 B. 的单调递减区间为 C. 若，则有6个零点 D. 若有7个零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】易知当时，；当时，令，可得，所以只有一个零点，所以可判断A错误；由，得，所以.由此可求得的单调递减区间，判断B；若，分析的零点，并根据零点的取值，判断的零点个数，判断C；分析不同取值情况下，的零点个数，得出当有7个零点时，的取值范围，判断D. 【详解】当时，单调递增，所以，所以无零点； 当时，由，得，所以有一个零点. 所以函数有且只有一个零点，所以A错误． 由，得，所以. 所以的单调递减区间为，所以B正确． 的图象如图所示．若，由，得， 由图可知有3个零点； 若等价于. 令，则. 因为时，，或或， 所以结合图可知有两根，且. 所以有3个根，有3个根，所以有6个零点；所以C正确； 若，由图可知有3个根或或. 因为有1个根，有3个根，有3个根，所以有7个零点； 若，由图可知有3个根， 且， 而有2个根，有2个根，有3个根，所以有7个零点； 若，由图可知有2个根或， 而有2个根，有2个根，所以有4个零点． 综上可知，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 13. 已知某扇形的半径为3，周长为12，则该扇形的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用周长和半径圆心角弧度值的关系求圆心角弧度值，再根据扇形面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角的弧度数为，扇形的半径为，面积为， 由，得12，解得， 所以， 故答案为：9. 14. 当时，二次函数的最大值为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论对称轴与定义域的关系可得答案. 【详解】的图象的对称轴方程为， 当，即时， ， 解得，符合题意； 当，即时， ，解得， 与不符，舍去． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义，得的值，即可求得； （2）利用诱导公式进行化简，结合（1）的结论可得. 【小问1详解】 由三角函数的定义知， ， ． 【小问2详解】 因为，， ， ，， 所以，. 所以． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数定义域联立不等式求解即可； （2）根据对数运算得，结合复合函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为． 【小问2详解】 ． 因为函数是开口朝下的二次函数，对称轴在区间， 故的最大值为， 所以的最大值为． 17. 已知函数的最小值为-5． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求方程在上的所有根的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求得的值，根据求最小正周期的公式，求得的最小正周期； （2）由复合函数的单调性判断方法，及正弦函数的单调性，求得的单调递增区间； （3）解方程，求得其所有根，相加可得方程在上的所有根的和． 【小问1详解】 由题意得，解得， 则，它的最小正周期． 【小问2详解】 令，，则. 因为和均是增函数， 所以当，即时，单调递增，也单调递增. 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 由，得， 所以，解得． 因为，所以，即， 所以或或. 所以方程在上有3个根，分别为. 因为，所以方程在上的所有根的和为． 18. 已知函数，且为偶函数． （1）求的值． （2）证明：在上单调递增． （3）若对于任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 任取，且，则， 因为，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）代特殊值，再根据偶函数的定义检验； （2）根据单调性的定义求证； （3）先求证时，，结合的单调性可解不等式，再利用参变分离以及基本不等式求范围. 【小问1详解】 因为为偶函数，所以，解得． 当时，， 所以，则为偶函数，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，则， 则， 因为为增函数，所以此时为增函数， 因为为偶函数，所以等价于． 当时，不等式显然成立； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立，所以． 故的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求的值； （2）用表示m，n中的最大值，设函数，讨论零点的个数． 【答案】（1） （2）当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点． 【解析】 【分析】（1）化简后直接代入求值即可； （2）由是定义在上的增函数，且有唯一零点，因为，所以是函数的一个零点；易知当时，无零点；当时，，所以通过分析的零点个数，可得的零点个数.综上，可得零点的个数． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 ①因为是定义在上的增函数，且，故是的唯一零点． 因为，因为，所以，即. ，即是的一个零点． ②当时，，则， 故在上无零点． ③当时，，所以在上无零点． 若在上有零点，则在零点处，. 所以在上的零点个数就是在上的零点个数． . 当，即时，无零点，即在上无零点； 当，即时，，所以的零点为，即在上有零点，零点为； 当，即时，图象的对称轴方程为，且， 所以在上有两个零点，即在上有两个零点. 综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第一、二、三章占，第四、五章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. 1 D. 3. 函数的相邻两个零点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 50 8. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 与是终边相同的两个角 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 函数的定义域为 D. 函数图象的对称轴方程为 10. 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，（单位：m）表示在时间（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点距离地平面60m，最低点距离地平面10m，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则（ ） A. B. C. 入口处距离地平面 D. 一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 有2个零点 B. 的单调递减区间为 C. 若，则有6个零点 D. 若有7个零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数是奇函数，则___________. 13. 已知某扇形的半径为3，周长为12，则该扇形的面积为___________． 14. 当时，二次函数的最大值为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求的最大值． 17. 已知函数的最小值为-5． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求方程在上的所有根的和． 18. 已知函数，且为偶函数． （1）求的值． （2）证明：在上单调递增． （3）若对于任意恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的值； （2）用表示m，n中的最大值，设函数，讨论零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $