精品解析：浙江省杭州第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 3. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】， 直线， 直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为， ． 故选：D． 4. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解． 【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 解得 （舍去）或， 所以． 故选：A． 5. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得点C在以为直径的圆上，记为圆D，求出圆D的圆心和半径，分析可得直线l与圆D有公共点，根据直线与圆的位置关系，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D． 因为，，所以圆心，圆D的半径， 因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点， 所以圆心D到直线l的距离，即， 化简得，解得，即实数k的取值范围是． 故选：B 6. 定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（ ） A. 函数的增区间是， B. 函数的减区间是， C. 是的极大值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值． 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目的递推关系计算，进入循环后即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ， 从 开始，数列进入周期： 从开始计算周期位置：， 余， 说明对应周期中的第项，. 故选：C. 8. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性，结合得，利用零点存在性有，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设且，，则， 构造且，则， 所以在上单调递增，则， 而， 所以有唯一的正根，位于区间，则，故， 对于， 令且，所以， 故在上单调递增， 所以，A对， 对于，B对， 对于， 而， 且在上单调递增，则，即， 所以，而，则，C对， 对于在上单调递增， 所以，D错. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，则（ ） A. B. C. 与是异面直线 D. 与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A， 连接，在直角中不垂直于，所以；对于B，连接，结合线面垂直判断线线垂直；对于C，与无交点也不平行判断即可；对于D，因为，故与所成角等于与所成角，利用余弦定理计算即可. 【详解】对于A， 由正方体的性质可得， 因为正方体，所以面， 而面,所以， 所以在直角中不垂直于，所以错误； 对于B，连接， 因为正方体，，面， 而面，所以， 又，面，所以面， 又因为面，所以，所以B正确； 对于C，平面，平面，平面，， 故与是异面直线，故C正确； 对于D，因为，故与所成角等于与所成角或其补角， 设正方体棱长为，则，， 设与所成角为，因为为直角三角形， 则，故D正确. 故答案为：BCD. 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为：，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A错误； 对于B，由选项A可知抛物线：焦点为， 设，因为为线段的中点， 所以， 由，所以，所以， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，， 因为，故C错误； 对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 由的坐标可知， 所以的周长为， 当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立， 所以周长的最小值为，故D正确. 故选：BD. 11. 数列满足，，，记，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是等比数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得，同时除以，构造等比数列，可得，累加法求的通项公式，可以判断选项ABC，选项D，裂项相消法求和. 【详解】因为， ，所以， 等式两边同时除以，可得, 即，令， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. 则，， 所以 ， 所以，， ，故选项A错误； 递减，所以递增， 所以是递增数列，故选项B正确； ，所以是等比数列， 故选项C正确； 因为，所以， ， ，， 所以. 故选项D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为适合上式，所以. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解. 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为. 故a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的切线性质及椭圆的几何性质，结合三角形三边关系求离心率的范围. 【详解】若的内切圆与分别相切于，且位于第一象限， 所以，，，如下图示， 由， 且， 由三角形三边关系知，所以， 所以，而，故离心率范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点作的切线，求切线的方程． 【答案】（1）极大值，极小值 （2）或 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数讨论单调性及极值点，进而求出函数极值； （2）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用切线过定点求出切点坐标，进而求出切线方程． 【小问1详解】 函数求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 在取得极大值，极大值为； 在取得极小值，极小值为． 【小问2详解】 设切点为，切线斜率为， 切线方程为， 代入点得， 化简整理得，解得或， 当时，，斜率，切线方程为，即； 当时，，斜率，切线方程为，即． 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若是递减数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过累加法求出数列的通项公式； （2）先根据是递减数列得到，再结合数列的通项公式，通过分离参数法求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，，，， 将上述个式子相加，得：， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 当时，，上式也成立， 所以； 【小问2详解】 因为是递减数列，所以， 即， 由（1）可知，，所以， 设，则， ， 当时，，即； 当时，，即； 所以是数列的最大项，即， 所以，实数的取值范围是. 18. 已知双曲线：过点，且离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知动点，且.过双曲线的右焦点的直线交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，且. （i）取、分别为，的中点，为坐标原点.证明：、、、四点共线； （ii）记的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （i），设方程：，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 由于，则设方程，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 则三点共线， 由于，交于， 则与相似， 则，， 由于、分别为，的中点， 则， 则与相似， 则， 由于三点共线，则三点共线， 则四点共线. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线所过点，离心率，以及双曲线中的关系，列方程求解即可； （2）（i）设方程与双曲线联立，由韦达定理表示出中点的坐标，表示出，由同理得，得三点共线，再由相似三角形证明三点共线，从而可证四点共线； （ii）由（i）得出四点共线，得出，结合韦达定理表示出，换元后求导可得最小值. 【小问1详解】 由题意解得， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）四点共线，则，可得， 点到直线的距离， ， 则， 则， 设，则， 则， 则， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， 则，此时 则. 19. 已知函数. （1）当时，讨论在上的零点个数； （2）若，，记函数的零点为，数列的前项和为.证明： （i）数列为递减数列； （ii）. 【答案】（1） 当时无零点， 当时，恰有1个零点， 当时，恰有2个零点. （2） （i）当，时，，在，均单调递增， 当时，恒成立，无零点， 由知, ， 设函数，则， 又 ，且在上单调递增， 则，， 则数列为递减数列. （ii）当时，由（1）得 ， 则， 则， 则， 则 . 【解析】 【分析】（1）转化为与交点个数进行讨论，对求导分析即可； （2）（i）可构造函数，利用函数零点和单调性证明的单调性，进而得到的单调性； （ii）由（1）所得放缩式子，对进行裂项放缩求和即可证明. 【小问1详解】 当时，， 令，即，即， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值， 当趋于0时，趋于，当趋于时，趋于， 则当时，与无交点，无零点， 当时，与恰有1个交点，恰有1个零点， 当时，与恰有2个交点，恰有2个零点. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 5. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（ ） A. 函数的增区间是， B. 函数的减区间是， C. 是的极大值点 D. 是的极大值点 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，则（ ） A. B. C. 与是异面直线 D. 与所成角的余弦值为 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为：，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 11. 数列满足，，，记，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是等比数列 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和，则________. 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：______. 14. 已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点作的切线，求切线的方程． 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若是递减数列，求实数的取值范围. 18. 已知双曲线：过点，且离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知动点，且.过双曲线的右焦点的直线交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，且. （i）取、分别为，的中点，为坐标原点.证明：、、、四点共线； （ii）记的面积为，求的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，讨论在上的零点个数； （2）若，，记函数的零点为，数列的前项和为.证明： （i）数列为递减数列； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $