浙江杭州第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 5. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（ ） A. 函数的增区间是， B. 函数的减区间是， C. 是的极大值点 D. 是的极大值点 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，则（ ） A. B. C. 与是异面直线 D. 与所成角的余弦值为 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为：，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 11. 数列满足，，，记，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是等比数列 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和，则________. 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：______. 14. 已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点作的切线，求切线的方程． 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若是递减数列，求实数的取值范围. 18. 已知双曲线：过点，且离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知动点，且.过双曲线的右焦点的直线交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，且. （i）取、分别为，的中点，为坐标原点.证明：、、、四点共线； （ii）记的面积为，求的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，讨论在上的零点个数； （2）若，，记函数的零点为，数列的前项和为.证明： （i）数列为递减数列； （ii）. 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）极大值，极小值 （2）或 【16题答案】 【答案】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i），设方程：，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 由于，则设方程，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 则三点共线， 由于，交于， 则与相似， 则，， 由于、分别为，的中点， 则， 则与相似， 则， 由于三点共线，则三点共线， 则四点共线. （ii）. 【19题答案】 【答案】（1） 当时无零点， 当时，恰有1个零点， 当时，恰有2个零点. （2） （i）当，时，，在，均单调递增， 当时，恒成立，无零点， 由知, ， 设函数，则， 又 ，且在上单调递增， 则，， 则数列为递减数列. （ii）当时，由（1）得 ， 则， 则， 则， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $