8.2 单项式乘多项式 教学设计 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该初中数学教学设计聚焦“单项式乘多项式”核心知识点，以校园草坪面积问题情境导入，通过两种方法表示总面积引出法则雏形。衔接旧知单项式乘单项式，类比有理数乘法分配律，结合几何图形验证，构建“旧知—类比—验证—法则”的学习支架。 此设计以核心素养为导向，几何图形推导法则发展直观想象，类比迁移培养逻辑推理，分层练习与变式题（如“不含x²项”题型）提升运算能力。助力学生夯实运算基础、发展推理思维，为教师提供分层教学与易错点突破的实用策略。

《8.2 单项式乘多项式》教学设计 姓名： 学科：数学 年级：七年级下册 课时： 1课时 授课教师： 一、四维核心素养 本节课紧扣数学四维核心素养，引导学生通过类比迁移掌握单项式乘多项式法则，培养数学运算素养；借助几何图形推导法则，建立数与形的联系，发展直观想象素养；在探究法则、解决问题中，提升逻辑推理与抽象概括能力；通过应用法则解决实际问题，让学生感受数学与生活的关联，增强数学应用意识，体会转化思想的价值，逐步形成严谨的数学思维习惯。 二、重难点 重点：单项式乘多项式的法则推导及其正确应用，掌握“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的运算步骤，能准确进行整式乘法运算。难点：理解单项式乘多项式法则的几何意义和代数本质，突破“漏乘多项式的某一项”“符号出错”“同类项未合并”等易错点，能灵活运用法则解决与实际相关的整式乘法问题，体会转化思想（将多项式乘法转化为单项式乘单项式）的应用。 三、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 展示实际问题：校园要铺设一块长方形草坪，草坪由三个小长方形组成，第一个小长方形的长为a，宽为m；第二个小长方形的长为b，宽为m；第三个小长方形的长为c，宽为m。请同学们用两种不同的方法表示这块草坪的总面积，并尝试化简所得的表达式。 引导学生思考：方法一，分别计算三个小长方形的面积，再求和，可得总面积为am + bm + cm；方法二，将三个小长方形拼成一个大长方形，大长方形的长为(a + b + c)，宽为m，总面积为m(a + b + c)。由此提出问题：这两个表达式表示的是同一个图形的面积，它们之间有什么关系？即m(a + b + c)与am + bm + cm有什么联系？ 设计意图：结合学生熟悉的校园场景，创设生活化情境，让学生感受到数学源于生活、用于生活，激发学生的学习兴趣和探究欲望。通过两种方法表示草坪总面积，自然引出单项式乘多项式的雏形，为法则推导奠定基础，同时培养学生的几何直观能力，渗透数形结合思想，让学生初步感知“整体与部分”的关系。 （二）探究新知，推导法则 1. 类比迁移，初步感知 回顾旧知：提问学生“单项式乘单项式的法则是什么？”，引导学生回忆“单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”。随后追问：“我们已经掌握了单项式乘单项式，那如何计算m(a + b + c)呢？” 引导学生类比乘法分配律：我们知道有理数的乘法分配律是a(b + c) = ab + ac，这里的a、b、c是有理数，那如果将a换成单项式m，b、c换成单项式a、b、c，这个分配律是否仍然成立？学生分组讨论后，得出结论：m(a + b + c) = ma + mb + mc，因为这里的m、a、b、c都是整式，乘法分配律同样适用。 设计意图：通过回顾旧知，为新知探究做好铺垫，体现“温故而知新”的教学理念。类比有理数乘法分配律，引导学生迁移到整式乘法中，培养学生的类比推理能力，让学生初步理解单项式乘多项式的运算本质，渗透转化思想——将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式。 2. 几何验证，深化理解 结合导入环节的长方形草坪图形，进一步验证法则：大长方形的面积m(a + b + c)，等于三个小长方形面积am、bm、cm之和，即m(a + b + c) = am + bm + mc。随后展示另一个几何图形：一个长为(x + 2y)，宽为3x的长方形，让学生用两种方法表示面积，再次验证法则的正确性，即3x(x + 2y) = 3x·x + 3x·2y = 3x² + 6xy。 提问学生：“通过几何图形和乘法分配律，我们得出了单项式乘多项式的运算方法，谁能尝试总结一下单项式乘多项式的法则？” 引导学生自主总结，教师补充完善，最终得出：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 设计意图：通过几何图形验证法则，让学生从“数”和“形”两个角度理解法则的本质，避免学生机械记忆法则，培养学生的直观想象素养。让学生自主总结法则，既能提升学生的抽象概括能力，又能让学生加深对法则的理解和记忆，体现学生的主体地位。 3. 符号强调，突破易错 出示易错示例：计算(-2x)(3x² - 2x + 1)，提问学生：“这个算式中，单项式是负数，计算时需要注意什么？” 引导学生发现：用负数去乘多项式的每一项时，要注意符号的变化，正数乘负数得负数，负数乘负数得正数。随后带领学生分步计算：(-2x)·3x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·1 = -6x³ + 4x² - 2x，强调不能漏乘多项式的任何一项，尤其是常数项1。 补充说明：单项式乘多项式的结果仍是一个多项式，且项数与原多项式的项数相同，若有同类项，需要合并同类项，使结果最简。 设计意图：针对本节课的难点——符号问题和漏乘问题，提前预设易错点，通过具体示例引导学生关注符号变化和不漏乘项，帮助学生突破难点，培养学生严谨的运算习惯，提升数学运算素养。 （三）例题讲解，巩固应用 1. 基础例题，规范步骤 出示例1：计算（1）2a(3a - 2)；（2）-3x²(2x - 4y + 1)。 讲解例1（1）时，教师板书规范步骤：解：2a(3a - 2) = 2a·3a + 2a·(-2) = 6a² - 4a，每一步都标注依据（单项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则），引导学生明确运算步骤，强调符号的处理和系数、同底数幂的运算规则。 讲解例1（2）时，让学生先尝试独立计算，教师巡视指导，重点关注学困生的易错点（漏乘常数项1、符号出错），随后请学生上台展示解题过程，师生共同点评，纠正错误，完善步骤，强调“-3x²乘1”的结果是“-3x²”，不能遗漏。 设计意图：基础例题的设计旨在让学生初步应用法则，规范运算步骤，掌握基本的运算方法。教师板书规范步骤，为学生提供示范，同时标注运算依据，培养学生的逻辑推理素养；让学生尝试独立计算，体现学生的主体地位，教师巡视指导，关注分层教学，及时发现并纠正学生的错误。 2. 变式例题，灵活应用 出示变式题：（1）3x²(2x³ - 4x² + x - 1)；（2）-2ab(ab² - 3a²b + 2a)；（3）已知单项式-2x与多项式(3x² - mx + 4)的积中不含x²项，求m的值。 对于变式题（1）（2），让学生分组计算，每组推选一名代表展示解题过程，师生共同点评，重点强调同类项的合并和符号的准确性，引导学生对比基础例题，发现变式题的特点（多项式项数增多、字母次数升高），提升学生灵活运用法则的能力。 对于变式题（3），教师引导学生分析题意：“不含x²项”意味着什么？学生思考后得出：积中x²项的系数为0。随后带领学生分步计算：-2x(3x² - mx + 4) = -6x³ + 2mx² - 8x，找到x²项的系数为2m，令2m = 0，解得m = 0。讲解过程中，重点引导学生理解“不含某一项”的含义，培养学生的逆向思维能力和代数推理能力。 设计意图：变式例题的设计旨在拓展学生的思维，让学生在不同的情境中灵活应用法则，突破本节课的难点。变式题（3）结合了“不含某一项”的常见题型，既考查学生的运算能力，又考查学生的推理能力，让学生感受到数学知识的综合性，为后续学习奠定基础。 （四）课堂练习，分层落实 根据学生的认知水平，设计分层练习，分为基础题、提高题和拓展题，让不同层次的学生都能得到锻炼和提升。 1. 基础题（全员必做）：计算下列各式（1）5x(2x - 3)；（2）-4a²(3a - 1)；（3）2m(3m² + 4m - 2)。目的：巩固单项式乘多项式的基本法则，规范运算步骤，纠正易错点，确保全员掌握基础运算。 2. 提高题（选做）：计算（1）-3xy(2x²y - 4xy² + xy)；（2）(2a² - 3a + 1)·(-2a)。目的：提升学生的运算难度，培养学生灵活处理符号和合并同类项的能力，满足中等层次学生的学习需求。 3. 拓展题（选做）：已知多项式x² + ax - 1与单项式2x的积是一个三次二项式，求a的值。目的：拓展学生的思维，考查学生对多项式次数、项数的理解和单项式乘多项式法则的综合应用，满足优等生的学习需求。 学生做题过程中，教师巡视指导，对学困生进行个别辅导，帮助他们解决运算中的困难；对优等生进行点拨，引导他们思考拓展题的解题思路。练习结束后，抽取部分学生的解题过程进行展示点评，重点点评易错点和解题技巧，同时表扬表现优秀的学生和小组，激发学生的学习积极性。 设计意图：分层练习的设计体现了“因材施教”的教学理念，兼顾不同层次学生的学习需求，让学困生巩固基础，中等生提升能力，优等生拓展思维。教师巡视指导和点评，能及时发现学生的问题，帮助学生纠正错误，同时增强学生的学习自信心和成就感。 （五）课堂小结，梳理知识 提问学生：“本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获？” 引导学生从以下几个方面进行小结：1. 单项式乘多项式的法则是什么？2. 法则的推导依据是什么（乘法分配律、几何图形）？3. 计算时需要注意什么（符号、不漏乘项、合并同类项）？4. 我们运用了什么数学思想（转化思想、数形结合思想）？ 学生自主发言后，教师进行补充完善，梳理本节课的知识脉络：本节课通过情境导入，类比乘法分配律和几何图形推导，得出单项式乘多项式的法则，重点掌握法则的应用，突破符号和漏乘的易错点，体会转化思想和数形结合思想的价值。 设计意图：课堂小结让学生自主梳理本节课的知识，既能帮助学生巩固所学知识，形成完整的知识体系，又能提升学生的归纳总结能力。引导学生关注数学思想的应用，培养学生的数学思维品质，让学生学会反思和总结，养成良好的学习习惯。 （六）布置作业，延伸巩固 布置分层作业，与课堂练习相呼应，确保学生课后能进一步巩固所学知识，同时兼顾不同层次学生的学习需求。 1. 基础作业：教材对应习题，计算单项式乘多项式的基础题型，确保学生掌握法则的基本应用，规范运算步骤。 2. 提高作业：补充2-3道变式题，包括符号复杂、项数较多的单项式乘多项式运算，以及“不含某一项”的基础题型，提升学生的运算能力和推理能力。 3. 拓展作业：让学生结合本节课的知识，尝试编写一道单项式乘多项式的应用题，并写出解题过程，培养学生的应用意识和创新能力。 同时要求学生课后整理本节课的易错点，记录在错题本上，定期回顾，避免重复犯错。 设计意图：分层作业的设计，让不同层次的学生都能得到针对性的练习，延伸课堂学习效果。基础作业巩固基础，提高作业提升能力，拓展作业培养创新意识，同时让学生整理易错点，帮助学生查漏补缺，养成良好的学习习惯，为后续学习整式的混合运算奠定基础。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $