第二十六章 反比例函数 单元练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章反比例函数2025-2026学年人教版数学九年级下册 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．若反比例函数 （k为常数）的图象在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 且 3．若反比例函数 的图像上有两个点A(-1， )，B( )那么 大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段．若反比例函数（为常数）的图象经过点，则的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝－mx－m与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．反比例函数 的图象经过点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 7．如图，矩形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、 、 ，将矩形 向右平移t个单位，若平移后的矩形 与函数 （ ）的图象有公共点，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（　　） A．60 B．80 C．30 D．40 9．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 　 　． 11．已知如图，点M为双曲线上一点MP⊥x轴于点B，且，则k值为 　 　 12．如图，已知直线 与反比例函数 （x>0）图像交于点A，将直线向右平移4个单位，交反比例函数图象 （x>0）于点B，交y轴于点C，连结AB、AC，则△ABC的面积为　 　. 13．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　． 14．如图，在矩形中，，平分交于点，连接，将矩形沿翻折，翻折后点与点对应、点C的对应点为，再将所得绕着点旋转，线段与线段交于点．当时，则的长为　 　． 15．如图，已知点A是一次函数的图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B，C，若的面积为14，则的面积是　 　． 三、解答题 16．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求的取值范围． 17．金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 18．如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第二象限内的交点为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； 19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接、．若四边形是平行四边形，求的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 22．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分． （1）求点A对应的指标值 （2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得2-k＜0， 解得k＞2． 故答案为：C． 【分析】先求出2-k＜0，再解不等式即可。 3．【答案】A 【解析】【解答】把A(-1， )、B( )分别代入 得，m=2，n=-3， ∴ . 故答案为：A. 【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，分别将A，B两点的坐标代入 即可算出m，n的值，再比大小即可。 4．【答案】B 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A.由一次函数图象知， ，由反比例函数图象知， ，不可能成立，故A错误； B.由一次函数图象知， ，由反比例函数图象知， ，可能成立，故B正确； C.由一次函数图象知， ，由反比例函数图象知， ，不可能成立，故C错误； D.由一次函数图象知， ，由反比例函数图象知， ，不可能成立，故D错误. 故答案为：B. 【分析】y=-mx-m，当m>0时，y随x的增大而减小；当m<0时，y随x的增大而增大； y=，当m>0时，图象位于一、三象限；当m<0时，图象位于二、四象限. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵k＝−10＜0， ∴反比例函数 图象的两个分支在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵5＞0， ∴点C（5，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∵−4＜−3＜0， ∵点A（−3，y1），B（−4，y2）在第二象限， ∴y1＞y2＞0， ∴y1＞y2＞y3． 故答案为：A． 【分析】根据反比例函数的解析式可得：反比例函数 图象的两个分支在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，利用此性质求解即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，A（0，5），B（0，2），C（1，2）， ∴D（1，5）， ∴平移后的矩形ABCD的顶点D的坐标为（1+t，5），A的坐标为（t，2）， 当函数y=经过点D时， ∴5（1+t）=10， 解得t=1， 当函数y=经过点A时， ∴2t=10， 解得t=5， ∵平移后的矩形 与函数 （ ）的图象有公共点， ∴t的取值范围是1≤t≤5. 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质和平移的性质求出平移后的矩形ABCD的顶点D，A的坐标，再把坐标代入函数y=，得出关于t的方程，解方程求出t的值，即可得出t的取值范围. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示． 设OA=a，BF=b， 在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ，∴AM=OA•sin∠AOB= a，OM= = a，∴点A的坐标为（ a， a）．∵点A在反比例函数y= 的图象上，∴ a× a= =48， 解得：a=10，或a=﹣10（舍去）． ∴AM=8，OM=6． ∵四边形OACB是菱形， ∴OA=OB=10，BC∥OA， ∴∠FBN=∠AOB． 在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN= ，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN= b，BN= = b，∴点F的坐标为（10+ b， b）．∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴（10+ b）× b=48，解得：b= ，或b= （舍去）．∴FN= ，BN= ﹣5，MN=OB+BN﹣OM= ﹣1．S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF= （AM+FN）•MN= （8+ ）×（ ﹣1）= ×（ +1）×（ ﹣1）=40． 故选D． 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、解直角三角形、梯形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出S梯形AMNF．本题属于中档题，难度不大，但数据较繁琐，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法找出所求三角形的面积与梯形面积相等是关键． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点， ∵直线与反比例函数相交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，反比例函数， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点和点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴ ， 故答案为：。 【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，将A点坐标分别代入一次函数和 反比例函数，求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式，然后令x=0，求出B点坐标，然后再根据旋转的角度，易得是等腰直角三角形，再根据 ，易证，设，由点和点，则，，代入数据，即可求出a的值，可得F点的坐标， 设直线的解析式为 ，因F点在AC直线上，将A点坐标和F点坐标代入 ，求得直线的解析式，然后建立方程组，求出C点坐标，最后再通过，代入数据即可求解。 10．【答案】 【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得． 故答案为：. 【分析】反比例函数中，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限，据此结合题意列出不等式，求解即可. 11．【答案】3 12．【答案】 【解析】【解答】解：联立，解得， ∵点A在第一象限，∴A（4，2）， 由题意得平移后的解析式y=x-2，∴C（0，-2）， 联立，解得， ∵点B在第一象限，∴B（，）， 连接OB，∵OA∥BC， ∴△ABC的面积 = △OBC的面积=×2×（）=. 故答案为：. 【分析】联立解出方程组的解，可得A（4，2），利用直线平移的性质求出平移后的解析式y=x-2，可求出C（0，-2）.联立解出方程组的解，可得B（，），连接OB，由OA∥BC，可得△ABC的面积 = △OBC的面积，利用三角形的面积公式求出△OBC的面积即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【分析】根据反比例函数的图象与其系数的关系可得k-3＜0，再求出k的取值范围即可。 14．【答案】 15．【答案】7 16．【答案】 17．【答案】（1） （2）天 18．【答案】（1）； （2） 19．【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数的解析式为 （2）点M的坐标为 20．【答案】（1）反比例函数表达式为：，一次函数表达式为 （2） （3）点坐标为或． 21．【答案】（1） （2） 22．【答案】（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y= " ，将C(20，45)代入， 得45=，解得k= 900， ∴反比例函数的表达式为y= 当x=45时，y= = 20， ∴D(45 ，20)，∴A(0，20) ，即点A对应的指标值为20． （2）解：设当0≤x<10时，AB的表达式为y=mx+n，将A(0，20) ，B(10，45)代入，得，解得∴AB的表达式为y= x+20． 当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，∴≤x<10． 当10≤x<20时，y显然大于36． 当20≤x≤45时，由(1)得反比例函数的表达式为y= ， 当y≥36时，≥36 ，解得x≤25，∴20≤x≤25． 综上，当≤x≤25时，注意力指标都不低于36， 而25- = >17， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出当20≤x≤45时，反比例函数的表达式，再求出x=45时y值，即得D的坐标，从而求出A对应的指标值； （2）利用待定系数法求出当0≤x<10时，直线AB的表达式， 然后求出当y≥36时x的范围， 由(1)知y= ， 据此求出y≥36时x的范围，综上可知当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25- = >17，继而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $