精品解析：河北省衡水市第十四中学2025-2026学年高二上学期四调考试数学试卷

河北省衡水市第十四中学2025-2026学年高二上学期四调考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，列方程解之即得. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 3. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算得解. 【详解】因为是的中点，，分别是，的中点， 所以 . 故选：A 4. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可. 【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切. 故选：C 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质求解 【详解】双曲线的渐近线为， 而双曲线的离心率为，所以，即，得， 故选：D 6. 若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组求和法计算即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知条件得到，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】由得：， 即， 所以 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法： 1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项； 2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 3.形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列， 4.形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式； 5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 8. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若（A，B为常数），则是等差数列 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则也成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据与之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断. 【详解】对于选项A: 因为，即，可知数列是等差数列， 当时，数列不是等比数列，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，； 当时，； 可知时，符合上式， 综上所述：， 可得，所以数列是等差数列，故B正确； 对于选项C: 因为， 当时，； 当时，； 可知时，符合上式， 综上所述：， 可得，所以数列是等比数列，故C正确； 对于选项D: 当数列是等比数列时，取，则， 此时显然，，不是等比数列，故D错误； 故选：BC. 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 11. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 数列是以4为公比的等比数列 D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得判断A；设等比数列的公比为，由等比数列通项公式基本量运算求得和，即可求解通项公式判断B；由B选项可求得，然后利用等比数列定义判断C；利用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】由等比数列的性质可知，又，， 所以，所以，A错误； 设等比数列的公比为，由，解得，则， 所以，B正确； 由上可知，，设，则， 所以数列是以4为公比的等比数列，C正确； 设数列的前项和为，则，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求解圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】设线段AB的中点为C，则所求圆的圆心为点C，半径为， 因为，，所以，， 所以圆C的标准方程为. 故答案为： 13. 设数列的前项和（），则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和与通项的关系进行求解. 【详解】当时，； 当时，， 所以， 代入得； 所以. 故答案为： 14. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 【详解】依题意，作图如下， 因为点关于原点对称，所以为的中点， 且为的中点，，所以四边形为矩形， 由，设 由椭圆的定义知，解得： 所以 整理得：，因为， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆过点，可得圆心在这两点连线中垂线上，结合圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径； （2）由结合垂径定理可得直线到圆心距离.注意到直线的斜率不存在时，满足题意；当直线的斜率存在时， 设过点的直线为：，后由点到直线距离公式可得k. 【小问1详解】 点中点坐标为：，两点连线斜率为. 则两点连线中垂线斜率为，故这两点中垂线方程为：. 将中垂线方程与联立，， 即圆心坐标为，则半径， 故圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设直线到圆心距离为d，由垂径定理，.则. 当直线斜率不存在时，方程为，到圆心距离为2，满足题意； 当直线斜率存在时，设，由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，可得. 则此时，直线方程为. 故直线方程为：或 16. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，． （1）证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，分别为，的中点，所以． 在正三棱柱中， 所以． 又平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则 易知是平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为6的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由得到，然后求出，即可得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，整理得到一元二次方程，由判别式求得参数的取值范围，由韦达定理及交点弦长公式表示出，建立方程解出参数，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为是周长为6的等边三角形，所以， 即，， ，， 所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由得， ，即， 由韦达定理，得，， 所以， ， 又，所以， 解得，所以直线的方程为， 即或. 18. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质和前项和的概念，逐一求出数列的前三项； （2）根据等差数列的性质，求出数列的通项公式，进而根据数列通项和前项和为的关系，求出数列通项公式； （3）根据已知条件，求出构造数列的通项公式，进而根据裂项相消求和方法，求出新的数列前项和. 【小问1详解】 由题意可得，即， 所以， 解得. 【小问2详解】 由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则. 当时，； 当时，， 因为满足上式， 所以的通项公式为. 【小问3详解】 因为，且， 所以当时， . 当时，也符合上式， 所以， 所以 . 19. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）分别代入和，即可得答案. （2）由题意，与原式相减，即可得答案. （3）利用错位相减法可求得表达式，结合的单调性，分析即可得答案， 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，得. 【小问2详解】 因为， 所以当时，，两式作差得，. 所以当时，.又当时，，得，符合上式. 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）知，. 所以， ， 两式相减得， 所以. 所以，所以单调递增. 当时，， 当时，， 所以使的最小的正整数的值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省衡水市第十四中学2025-2026学年高二上学期四调考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若（A，B为常数），则是等差数列 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则也成等比数列 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 11. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 数列是以4为公比的等比数列 D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为______. 13. 设数列的前项和（），则______. 14. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程. 16. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，． （1）证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为6的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 18. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 19. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $