导数的计算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项训练 函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项训练 考点目录 导数的计算 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 考点一 导数的计算 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）下列式子求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B 例2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 例3．（25-26高二上·浙江宁波·期中·多选）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：AD. 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试·多选）下列求导结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 例5．（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为 . 【答案】 【详解】由， 则. 故答案为：. 例6．（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为： 例7．（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 例8．（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）， （3），. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 变式2．（25-26高三上·安徽·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·月考·多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 变式4．（25-26高二上·安徽·月考·多选）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 变式5．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数，则 【答案】 【详解】由可得导函数， 令可得，解得. 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则 ． 【答案】/0.6 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：. 变式7．（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 所以. （3）由题意可知：. （4）由题意可知：. 变式8．（24-25高二下·吉林·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）令，则. 考点二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 例1．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 例2．（25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以方程至多一个实根，所以， 解得，即实数的取值范围是， 故选：A. 例3．（25-26高三上·河北衡水·期中·多选）若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 【答案】ACD 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 例4．（25-26高三上·安徽·月考·多选）已知函数，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．的极大值为 C．存在， D．有最小值，无最大值 【答案】ABD 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，因为， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为、， 所以函数的极大值为，B对； 对于C选项，当时，， 因为在上是减函数，所以，C错； 对于D选项，令，则， 设，其中，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上只有最小值，无最大值， 故函数有最小值，无最大值，D对. 故选：ABD. 例5．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 例6．（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 例7．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 例8．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（是自然对数的底数） (1)求函数在上的单调增区间； (2)若为的导函数，函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，， 令，即，因为，所以， 即，所以， 又，则，所以，即. 所以函数的单调递增区间是. （2）由题，，则， 由，， ， 因为，所以，，所以，仅在和时，， 所以函数在上单调递增， 故， 所以函数在上的最大值为. 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 变式2．（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得，设，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，当时，，当时，， 当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点， 且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点， 当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点， 当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A． 变式3．（25-26高二上·广东·期末·多选）函数的性质包括（    ） A．定义域为 B．单调递增区间为 C．极小值为1 D．有最大值 【答案】ABC 【详解】函数的定义域为，A选项正确； ，令，所以，所以的单调递增区间为，B选项正确； 令，所以，所以的单调递减区间为， ，所以极小值点为0，极小值为，C选项正确； ，所以函数没有最大值，D选项错误； 故选：ABC. 变式4．（25-26高三上·山东烟台·期末·多选）已知函数为的导函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数的极大值为 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【详解】因为，所以. 由或；由. 所以的增区间为，，减区间为.故B错误； 所以函数的极大值为，故C正确； 又，故A正确； 又为奇函数，故D正确. 故选：ACD 变式5．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】函数定义域为，恒成立， 所以是增函数， 又， 所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为 .（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值） 【答案】（答案不唯一，满足的一个整数即可） 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以解得， 所以整数的取值集合为. 故答案为：（答案不唯一，满足的一个整数即可）. 变式7．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【详解】（1），则， 令，可得，解得或， 则的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得的单调增区间是和，单调减区间是； 函数的极大值为，极小值为； （2）因为 当，即时，，单调递增，故无极值点； 当，即或时，有两个根， ，， 由题意可得，①，或②， ①式无解，②式的解为， 故的取值范围是； （3）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，故，所以， 即的取值范围为. 变式8．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)1 【详解】（1）在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项训练 函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值专项训练 考点目录 导数的计算 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 考点一 导数的计算 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）下列式子求导正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·浙江宁波·期中·多选）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试·多选）下列求导结果正确的有（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为 . 例6．（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数 ． 例7．（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 例8．（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 变式1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·安徽·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·月考·多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·安徽·月考·多选）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式5．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数，则 变式6．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则 ． 变式7．（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 变式8．（24-25高二下·吉林·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 考点二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 例1．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 例2．（25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北衡水·期中·多选）若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 例4．（25-26高三上·安徽·月考·多选）已知函数，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．的极大值为 C．存在， D．有最小值，无最大值 例5．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 例6．（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ． 例7．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 例8．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（是自然对数的底数） (1)求函数在上的单调增区间； (2)若为的导函数，函数，求在上的最大值. 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东·期末·多选）函数的性质包括（    ） A．定义域为 B．单调递增区间为 C．极小值为1 D．有最大值 变式4．（25-26高三上·山东烟台·期末·多选）已知函数为的导函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数的极大值为 D．函数为奇函数 变式5．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 变式6．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为 .（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值） 变式7．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 变式8．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $