导数极值与最值专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

导数极值与最值专项训练 题型一 函数图象与极值(点)的关系 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ） A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 题型二 求函数极值（不含参） 5．（25-26高三上·四川成都·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，则函数的极值情况是（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为3 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 8．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 9．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 10．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求； (2)求的单调区间和极值． 题型三 求函数最值（不含参） 11．（2026·新疆·模拟预测）函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 12．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）函数的最小值不可能是（    ） A． B． C． D．不存在 13．（2025高三上·江苏·专题练习）函数值域是____________． 14．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________． 15．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 16．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）已知函数． (1)若，求的最大值； 题型四 已知极值(点)求参数 17．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 18．（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)过点作曲线的切线，求此切线方程. 19．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； 20．（25-26高三下·海南·月考）已知函数. (1)若是的导函数，且0为的极值点，求； 题型五 已知最值求参数 21．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 22．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 23．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 24．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 题型六 讨论函数的极值（含参） 25．（25-26高二下·全国·课堂例题）若函数，求函数的极值． 26．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数 (1)若，，求出曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 27．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； 28．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 29．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 题型七 讨论函数的最值（含参） 30．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 31．（2025高三·全国·专题练习）设为大于1的正整数，函数. (1)当，求的最大值； 32．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 33．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 34．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； 35．（2026·江西赣州·一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数极值与最值专项训练 题型一 函数图象与极值(点)的关系 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】D 【解题思路】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可. 【解析】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 【答案】AC 【解题思路】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【解析】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【解题思路】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【解析】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ） A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 【答案】BC 【解题思路】根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ. 【解析】由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误. 当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确. 由图可知，在的附近，当时，；当时，. 即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确. 在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误. 故选：BC. 题型二 求函数极值（不含参） 5．（25-26高三上·四川成都·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【解析】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，则函数的极值情况是（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 【答案】D 【解析】，函数单调递增，无极值． 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为3 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解题思路】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，A错误； B，，的零点个数为3，B正确； C，当时，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的性质得在时，取得极大值， 因此的极值点个数为2，C错误； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 8．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值. 【解析】（1）由题意知， 则 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 易知的极大值为，极小值为． 9．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为. 【解题思路】（1）求导函数，从而可得，计算，利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）求导函数的零点，确定函数的单调性与极值即可. 【解析】（1），， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， 令得， 则的变化入下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故函数的单增区间为，，单减区间为； 函数的极大值为，极小值为. 10．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值 【解题思路】（1）由于函数在点处的切线与轴平行，则求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性求解极值即可. 【解析】（1）因为，所以， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知，所以， 的定义域为：， 令，解得（舍去）或 若时，，单调递减； 若时，，单调递增. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，有极小值为，无极大值. 题型三 求函数最值（不含参） 11．（2026·新疆·模拟预测）函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数，所以， 在区间上，因为，所以， 所以在上单调递增， 所以最大值在处取得，. 12．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）函数的最小值不可能是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】ABD 【解题思路】利用导数工具研究函数单调性即可求出函数的最小值. 【解析】函数定义域为R，，令，则. 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数取得最小值为． 13．（2025高三上·江苏·专题练习）函数值域是____________． 【答案】 【解题思路】求导，根据导函数的正负分析单调性，最后根据最值得到值域. 【解析】由题意得，， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为：. 14．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________． 【答案】1 【解题思路】先根据导数的几何意义结合切线方程求得，可得，再利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【解析】由，得， 由于曲线在点处的切线方程为，即切线斜率为1， 则，所以，则， 当时，，，则，即， 当时，，，则，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则. 15．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【解析】（1）因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）已知函数． (1)若，求的最大值； 【答案】(1)0 【解题思路】（1）因式分解，通过讨论函数的最值即可； 【解析】（1）若，则， 设，     则，当时，，当，， 所以在单调递增，在单调递减，所以，     因为，所以，当且仅当时等号成立，即最大值为0． 题型四 已知极值(点)求参数 17．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【答案】 【解题思路】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 18．（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)过点作曲线的切线，求此切线方程. 【答案】(1)；和 (2) 【解题思路】（1）由在处取得极值得到，求出，由得到的方程组，计算出的值，从而得到；解出的的范围是单调递增函数； （2）设切点为，求出，利用点斜式求出切线方程，将点代入切线方程得到的方程，计算出的值，将代入切点和斜率，利用点斜式得到切线方程. 【解析】（1）在处取得极值，， ，， ，； ， ，即，即或， 在和上是单调递增函数； （2）设切点为，， 则切线方程为， 切线过点， ， ，， 切点为，， 切线方程为，即. 19．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【解题思路】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 【解析】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 20．（25-26高三下·海南·月考）已知函数. (1)若是的导函数，且0为的极值点，求； 【答案】(1) 【解题思路】（1）借助极值点定义可得的导数在处为，可求出，再借助导数研究单调性检验0是否为极值点即可得； 【解析】（1），令，则， 由0为的极值点，则，即； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故0为的极值点，故符合题意； 题型五 已知最值求参数 21．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 22．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【解析】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 23．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 24．（25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【解题思路】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【解析】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 题型六 讨论函数的极值（含参） 25．（25-26高二下·全国·课堂例题）若函数，求函数的极值． 【答案】答案见解析 【解题思路】对函数求导并对的取值进行分类讨论，得出函数单调性即可求得其极值. 【解析】函数的定义域为． （1）当时，，函数在上单调递增，函数无极值． （2）当时，令，解得． 当时，；当时，． 所以可知函数在上单调递减，在上单调递增； 在处取得极小值，且，无极大值． 综上可知，当时，函数无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值． 26．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数 (1)若，，求出曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，没有极大值 【解题思路】（1）通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解； （2）通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解. 【解析】（1），时，， 所以，，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为为增函数，令，解得， 在上符号为负，在上符号为正增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值为,没有极大值. 27．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. 【解题思路】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； 【解析】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. 28．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【解题思路】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【解析】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. 29．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【解题思路】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【解析】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 题型七 讨论函数的最值（含参） 30．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【解题思路】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【解析】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 31．（2025高三·全国·专题练习）设为大于1的正整数，函数. (1)当，求的最大值； 【答案】(1) 【解题思路】（1）求导函数，从而确定函数的单调性，于是可得的最大值； 【解析】（1）为大于1的正整数，当时， ， 则在区间上单调递增， 所以； 32．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【解题思路】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值； 【解析】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. 33．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 【答案】(1)答案见解析； 【解题思路】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； 【解析】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． 34．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； 【答案】(1)答案见解析； (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出函数的单调性. （2）由（1）中单调性，按分段求出. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得． 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，由，得， 当时，，函数在上单调递增，； 当时，，函数在上单调递减，； 当时，函数在上递减，在上递增，， 所以； 35．（2026·江西赣州·一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或． 【解题思路】（1）求导后对的取值范围分类讨论即可； （2）法一：，根据（1）中结果可求得的最小值，构造函数，问题可转化为函数的零点个数问题；法二：同法一求出的最小值，转化为存在唯一实数使，再设新函数，求导后对分类讨论即可. 【解析】（1）由得. ①当时，，单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增； ③当时，，所以，单调递减. 综上，当时，单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，单调递减. （2）解法一：由 得，由（1）可知 ， 即关于的方程只有1个根， 当时，方程（）恒成立，即当且时，方程（）无解 所以， 由，所以，即，即且， 对（）式同时取对数， 即，令，则， 即关于的方程在无解. 又令，则， 令，则， 由，则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 当时，，当时，， 要使式成立，只需或，即或 综述，实数的取值范围或． 解法二：令， 由（1）可知，时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 依题，存在唯一实数使函数的最小值为0， 所以存在唯一实数使，即存在唯一实数使， 令，则， （i）当时，恒成立，故函数在单调递增， 又因为，所以存在唯一实数使得，符合题意； （ii）当时，令，得， 令，得， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是或． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $