精品解析：重庆巴南区2025一2026学年上期阶段性检测 九年级数学试题

2025—2026学年上期阶段性检测九年级数学试题 （全卷共三个大题，共6页，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3、作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列语句所描述的事情属于必然事件的是（ ） A. 上九天揽月 B. 下五洋捉鳖 C. 旭日东方升 D. 白发三千丈 4. 如图，是的弦，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有6个菱形，第③个图形中一共有10个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 8. 如图，在中，，，以为直径的交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，，，，…，，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 在一个不透明的袋子中，有红色，黑色，白色的玻璃球共60个，除颜色外，形状，大小，质地等完全相同．小南通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数大约为______个． 13. 若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 15. 如图，四边形是⊙的内接四边形，过点作的切线，交的延长线于点，连接并延长交于点．若，半径为，时，则______，______． 16. 我们规定：一个四位自然数，若满足各数位上的数字互不相等，，则称这个四位数为“加减数”．例如：四位数2493，，2493是“加减数”．按照这个规定，最小的“加减数”是______；若是一个“加减数”，记，．若与均为整数，则满足条件的的最大值是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，第19-25小题各10分，共76分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ． 在和中，， ． ③ ． ，，， ． ． ． 19. 某校为了解九年级学生对航天航空知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲，乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集，整理，描述和分析，下面给出了部分信息： 甲组10名学生测试成绩是：7，8，8，8，8，8，8，9，9，10． 甲、乙两组所抽取学生测试成绩统计表 组别 平均分/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）该校九年级共有300名学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）准备从甲、乙两组成绩10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或者树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某商家购买甲、乙两种文创产品．甲种文创产品的成本比乙种文创产品的成本高10元，甲种文创产品采购12个，乙种文创产品采购10个，共花费384元． （1）求乙种文创产品的成本是多少元？ （2）随着文创产品的不断推广，乙种文创产品成本不断提升．在经过两次成本上涨后，乙种文创产品的成本为27元，求乙种文创产品每次成本的平均增长率． 22. 如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 为了加强学生的身体素质，落实五育并举，某校设计了两条锻炼路线．如图，点，，，，在同一平面内，点，分别在点，的正东方向．线路①，线路②．经勘测，位于的西南方向且点到的距离为，位于北偏西方向，且在的正北方向，，，点在点的北偏东方向．（参考数据：，，，结果保留整数） （1）求的长度； （2）由于时间原因，学校决定选一条较短路线进行锻炼，请计算说明学校应该选择线路①还是线路②？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； （3）将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 25. 在中，，点D，E分别为边和边上任意一点，连接．将线段绕点D顺时针旋转α得到线段． （1）如图1，，点E与点A重合，交于点G．若，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图2，，D是的中点，连接交于点M，点M是的中点，连接、．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，点D是的三等分点．点E为边上一动点，将绕点E逆时针旋转，点D的对应点为点H，连接．当最小时，点N是直线上一动点，连接，把沿翻折，得，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上期阶段性检测九年级数学试题 （全卷共三个大题，共6页，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3、作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解： 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程． A：含两个未知数和，不符合①； B：含分式项，不是整式方程，不符合③； C：未知数的最高次数为1，不符合②； D：只含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义； 故选：D． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，选项错误； B、不是中心对称图形，选项错误； C、不是中心对称图形，选项错误； D、是中心对称图形，选项正确； 故选：D． 3. 下列语句所描述的事情属于必然事件的是（ ） A. 上九天揽月 B. 下五洋捉鳖 C. 旭日东方升 D. 白发三千丈 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．根据自然规律，太阳从东方升起是必然发生的，即可得到答案． 【详解】解：A、上九天揽月不可能发生，是不可能事件，不符合题意； B、下五洋捉鳖不一定发生，是随机事件，不符合题意； C、旭日东方升是自然规律，必然发生，是必然事件，符合题意； D、白发三千丈是夸张修辞，不可能发生，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，是的弦，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故选：B 5. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 6. 已知，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式是解题关键． 直接计算点A和点B的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有6个菱形，第③个图形中一共有10个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键．由图形可知，第个图形中一共有个菱形，即可求出第⑦个图形中菱形的个数． 【详解】解：由图形可知，第①个图形中一共有3个菱形， 第②个图形中一共有6个菱形， 第③个图形中一共有10个菱形，， …， 观察发现，第个图形中一共有个菱形， 则第⑦个图形中菱形的个数为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，以为直径的交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键． 根据等边对等角的性质可得，进而得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作，设，则，利用正方形的性质，易证，从而得出，由是的中位线，得到，证明四边形是矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作， 设， ， ， ， 点为线段的中点， ， 正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， 点为线段的中点，点为线段的中点， 是的中位线，， ，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 10. 已知整式：，，，，…，，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的定义和性质，掌握知识点是解题的关键． 根据系数严格递减的条件，逐项分析各说法的正确性，即可解答． 【详解】解：∵当，时，系数为严格递减的自然数， ∴，则，故①正确； ∵当时，整式包括， ∴ ，故②正确； ∵当时，对应的整式个数分别为1，2，4，8，16，总和为，故③错误． ∴正确个数为2． 故选B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 在一个不透明的袋子中，有红色，黑色，白色的玻璃球共60个，除颜色外，形状，大小，质地等完全相同．小南通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数大约为______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 根据频率估计概率，摸到红色球和黑色球的频率稳定值分别对应其概率，白色球的概率为1减去两者概率之和，再乘以总球数即可得白色球个数，即可解答． 【详解】解：摸到红色球的概率约为，摸到黑色球的概率约为，则摸到白色球的概率为， ∴白色球的个数为个． 故答案为：12． 13. 若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由抛物线（是常数）与轴只有一个交点可得，方程的判别式为零，即可求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴只有一个交点， 方程的判别式为零， ， 解得：， 故答案为：11． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：∵， ∴顶点的横坐标为， 把代入得， ∴当小球到达最高点时，距离地面的高度是， 故答案为：20． 15. 如图，四边形是⊙的内接四边形，过点作的切线，交的延长线于点，连接并延长交于点．若，半径为，时，则______，______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，由切线的性质可得，即得，再根据圆内接四边形的性质可求出，连接，延长交于点，过点作于，可证，即得，再利用垂径定理及直角三角形的性质、勾股定理可得，即得到，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 连接，延长交于点，过点作于，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或， 故答案为：，或． 16. 我们规定：一个四位自然数，若满足各数位上的数字互不相等，，则称这个四位数为“加减数”．例如：四位数2493，，2493是“加减数”．按照这个规定，最小的“加减数”是______；若是一个“加减数”，记，．若与均为整数，则满足条件的的最大值是______． 【答案】 ①. 1032 ②. 5490 【解析】 【分析】首先，根据“加减数”的定义，数字互不相等且满足 。寻找最小的“加减数”时，从 开始尝试，满足条件的最小数为 1032． 对于第二部分，需要找到最大的 使得 和 均为整数，通过分析条件 和 为整数，并结合 （其中 ），最大 为 5，对应 ，得到 ． 本题考查了整式加减运算的应用，理解“加减数”的定义是解题关键． 【详解】解：最小“加减数”：由定义，数字互不相等且 ； 尝试 ，，则 ， 若 ，则 ， 得 ， 满足条件且无更小值， 故最小为 1032． 最大 ：由条件 ， 设 ， 则 ，且 ， ， 为整数， 且 为整数 若 时 ，则，但数字不唯一； 若 时 ，代入 非整数，则不满足条件； 若，，代入 非整数，则不满足条件； 若，，代入 非整数，则不满足条件； 时 ，当 时 ， 为整数．且 为整数 则满足最大 ， ，数字互不相等，满足 ，，且 ， 均为整数，故最大 为 5490． 故答案为 1032 ， 5490． 三、解答题（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，第19-25小题各10分，共76分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ． 在和中，， ． ③ ． ，，， ． ． ． 【答案】（1）详见解析 （2）；； 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线和线段，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，根据题意正确作图是解题关键． （1）根据角平分线和线段的作法作图即可； （2）证明，得到，再结合三角形外角的性质，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 如图即为所求作； 【小问2详解】 解：平分， ①． 在和中， ． ③． ，，， ． ． ， 故答案为：；；． 19. 某校为了解九年级学生对航天航空知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲，乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集，整理，描述和分析，下面给出了部分信息： 甲组10名学生测试成绩是：7，8，8，8，8，8，8，9，9，10． 甲、乙两组所抽取学生测试成绩统计表 组别 平均分/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）该校九年级共有300名学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）准备从甲、乙两组成绩10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或者树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3；8.5；7； （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数为人； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的定义，利用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义分别求解即可； （2）用学生人数乘以测试成绩达到9分及以上的人数占比求解即可； （3）由题意可知，甲组成绩10分的学生有1名，乙组成绩10分的学生有2名，记作乙1、乙2，再列表求概率即可． 【小问1详解】 解：甲组的平均分， 乙组的中位数为第5、6名学生成绩的平均数， 由统计图可知，乙组的第5、6名学生成绩分别为8分和9分， 则中位数， 乙组成绩中，7分的学生人数最多，有4人， 则众数， 故答案为：8.3；8.5；7； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数为人； 【小问3详解】 解：由题意可知，甲组成绩10分的学生有1名，乙组成绩10分的学生有2名，记作乙1、乙2， 列表如下： 甲 乙1 乙2 甲 （甲，乙1） （甲，乙2） 乙1 （乙1，甲） （乙1，乙2） 乙2 （乙2，甲） （乙2，乙1） 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的情况有4种， 则两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 列方程解下列问题： 某商家购买甲、乙两种文创产品．甲种文创产品的成本比乙种文创产品的成本高10元，甲种文创产品采购12个，乙种文创产品采购10个，共花费384元． （1）求乙种文创产品的成本是多少元？ （2）随着文创产品的不断推广，乙种文创产品成本不断提升．在经过两次成本上涨后，乙种文创产品的成本为27元，求乙种文创产品每次成本的平均增长率． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设甲种文创产品的成本是x元，乙种文创产品的成本是y元，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值即可； （2）设乙种文创产品每次成本的平均增长率为a，根据题意列出一元二次方程，求出a的值即可． 【小问1详解】 解：设甲种文创产品的成本是x元，乙种文创产品的成本是y元，依题意，得 ， 解得． 答：乙种文创产品的成本是12元． 【小问2详解】 解：设乙种文创产品每次成本的平均增长率为a，依题意，得 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：乙种文创产品每次成本的平均增长率为． 22. 如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 解：函数，图象如下： 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（）分和求出关于的函数表达式，再根据题意求出关于的函数表达式即可； （）利用两点法画出函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，画一次函数的图象，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 23. 为了加强学生的身体素质，落实五育并举，某校设计了两条锻炼路线．如图，点，，，，在同一平面内，点，分别在点，的正东方向．线路①，线路②．经勘测，位于的西南方向且点到的距离为，位于北偏西方向，且在的正北方向，，，点在点的北偏东方向．（参考数据：，，，结果保留整数） （1）求的长度； （2）由于时间原因，学校决定选一条较短路线进行锻炼，请计算说明学校应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1） （2）选择线路② 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）过点作于点，可得四边形是矩形，得到，再解直角三角形求出即可求解； （）解直角三角形分别求出路线①和路线②的长度，比较即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意可得，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：的长度为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴线路②的长度为， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作于，由题意知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴线路①的长度为， ∵， ∴学校应该选择线路②． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； （3）将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的最小值为， （3）点M的横坐标为或， 解：由题意知，平移后新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为，此时点B与点E重合， ①如图，过点B作，交新抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与得：， 解得：（舍去，在第二象限，），； ②如图，作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C代入得：，解得， ∴直线， ∵点K为中点， ∴，即， 设与y轴交点为Q，过点K作轴交y轴于点P， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点K，Q分别代入得：，解得， ∴直线， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，I分别代入得：，解得， ∴直线， 联立与得：， 解得：，（舍去，在第一象限，）， 综上所述，点M的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出b，再利用待定系数法求出c，即可得解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，则抛物线对称轴为直线，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而得出，利用二次函数的性质可得当时，面积取得最大值，此时，在y轴正半轴取点，使得，连接，，则四边形是平行四边形，从而得到，即当点P、G、三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可求出最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点Q的坐标； （3）根据题意先求出平移后的新抛物线解析式及对称轴，此时点B与点E重合，分情况讨论：①过点B作，交新抛物线于点，此时；②作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点，此时，根据不同的情况作出对应的辅助线，利用相关知识求解直线解析式并最终联立新抛物线解析式即可求得点M的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ， ， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 令，则，解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，面积取得最大值，此时， 在y轴正半轴取点，使得，连接，， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴当点P、G、三点共线时，有最小值， ，， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， ， ， ∴当取最小值时点的坐标为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题及二次函数关于角度综合问题． 25. 在中，，点D，E分别为边和边上任意一点，连接．将线段绕点D顺时针旋转α得到线段． （1）如图1，，点E与点A重合，交于点G．若，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图2，，D是的中点，连接交于点M，点M是的中点，连接、．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，点D是的三等分点．点E为边上一动点，将绕点E逆时针旋转，点D的对应点为点H，连接．当最小时，点N是直线上一动点，连接，把沿翻折，得，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：， 证明：∵D是的中点， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，由等边对等角的性质可得，进而得到，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质，易证，得到，即可得解； （3）先确定点H的轨迹是与直线夹角为的直线l，当时，即与直线l的交点，有最小值，此时点E为的中点，再确定出点Q的轨迹是以点D为圆心，为半径的圆上，先求出的半径，再求出的最大值，延长交于点P，过点N作，利用等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质得出相关线段的长度，并最终求得的面积． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵D为的三等分点，， ∴， 又∵绕点E逆时针旋转，点D对应点H， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点E与点C重合时，将绕点逆时针旋转得到， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即与的夹角始终为， ∵点E的轨迹在直线上，直线过定点， ∴点H的轨迹为定直线l， 如图，当时，由与夹角为，即直线， ∴为与直线l的交点时，有最小值，此时点E为， 连接， 由， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿翻折得， ∴， 又∵N为直线上一动点， ∴点Q的轨迹是以点D为圆心，为半径的圆上， ∴的最大值为共线时，即点Q为与的交点， 设交于，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴直线，分别与相切，切点分别为，Q， 如图，延长交于点P，过点N作， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质及勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $