1.1.1 同底数幂的乘法 教学设计 2025-2026学年湘教版 七年级数学下册

第1章　整式的乘法 1.1　整式的乘法 1.1.1　同底数幂的乘法 课题 1.1.1　同底数幂的乘法 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版七年级下册整式运算的开篇内容，承接有理数乘方的意义，是幂的三种运算（乘方、积的乘方、同底数幂乘法）的基础。教材通过具体实例推导同底数幂乘法法则，侧重培养学生的运算能力和逻辑推理能力，为后续整式乘法、因式分解等知识的学习奠定核心基础，兼具基础性和实用性。 学情分析 七年级学生已掌握有理数乘方的定义和简单运算，具备初步的观察、猜想和归纳能力。但对“同底数幂”的概念辨析不清晰，易混淆底数、指数的运算规则，抽象思维较弱，需通过具象实例、分层引导，突破法则推导与易错点辨析的难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：理解同底数幂的概念，抽象出同底数幂乘法的法则本质，建立乘方与幂的乘法的关联。 2. 逻辑推理：通过具体实例猜想、验证，推导同底数幂乘法法则，提升归纳、推理及规范表达能力。 3. 数学运算：能熟练运用法则进行同底数幂的乘法运算，规范运算步骤，辨析易错点。 4. 数学应用：结合简单实例，体会同底数幂乘法在实际运算中的应用，培养严谨的运算习惯和数学应用意识。 教学重点 同底数幂乘法法则（aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，m、n为正整数）的推导与熟练运用，规范运算步骤。 教学难点 理解法则的推导本质（乘方意义的应用），辨析同底数幂与不同底数幂的乘法差异，避免出现指数相乘、底数相加的错误。 教法学法 教法：采用启发探究式、演示法，结合多媒体辅助，分层引导学生推导法则、辨析易错点。学法：自主探究、合作交流，通过观察、猜想、验证，主动掌握法则并规范运算。 教学准备 多媒体课件（法则推导、例题、易错点），学生自备草稿纸、铅笔、直尺，用于演算验证。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入:(课件展示) 1.复习提问: (1)an中a叫什么?n叫什么?其结果叫什么? (2)用乘方的意义计算: ①32×33与35;②a3×a4与a7. 2.通过上述计算,你发现了什么? 二、新知探究,合作交流:(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一:同底数幂的乘法法则] 1.阅读教材P2的内容,完成下列问题. 根据乘方的意义填空. (1)25×22=()×()==2(　7　) (2)　a8·a3 =()×()==a(　11　) (3)　5m·5n(m,n为正整数) =()×()==5(　m+n　) 2.引导学生观察上面的计算结果,思考: (1)等号左边是什么运算? (2)等号两边的底数有什么关系? (3)等号两边的指数有什么关系? (4)你能总结同底数幂的乘法法则吗? 你能发现计算前后底数和指数的变化规律吗?请用一句简洁的语言表示出来,并直接写出am·an(m,n为正整数)的结果. 学生回答并展示,教师归纳:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n为正整数). [探究二:同底数幂的乘法法则的运用]1.阅读教材P3例1~例3.思考当三个或三个以上的同底数幂相乘时,怎样用公式表示运算的结果? am·an·ap=am+n+p(m,n,p均为正整数) 2.应用:【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法. 【例1】计算:(1)23×24×2;(2)-a3·(-a)2·(-a)3;(3)mn+1·mn·m2·m. 解析:(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可;(2)先算乘方,再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可;(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可. 解:(1)原式=23+4+1=28; (2)原式=-a3·a2·(-a3)=a3·a2·a3=a8; (3)原式=mn+1+n+2+1=m2n+4. 方法归纳:同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数可以看成指数为1的幂,进行运算时,不能忽略了幂的指数1. 【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法. 【例2】计算:(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)n-4;(2)(x-y)2·(y-x)5. 解析:将底数看成一个整体进行计算. 解:(1)原式=(2a+b)(2n+1)+3+(n-4)=(2a+b)3n; (2)原式=-(x-y)2·(x-y)5=-(x-y)7. 方法归纳:底数互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算. (a-b)n= 【类型三】运用同底数幂的乘法,求未知数或代数式的值. 【例3】(1)已知an-3·a2n+1=a10,求n的值;(2)3×27×9=32x-4,求x的值. 解析:根据同底数幂的乘法法则,底数不变指数相加,可得左右两边均为同底的幂的形式,从而得关于n或x的方程. 解:(1)an-3·a2n+1=a3n-2=a10,所以3n-2=10,解得n=4. (2)3×27×9=3×33×32=36=32x-4,所以2x-4=6,解得x=5. 方法归纳:将等式两边化为同底数幂的形式,若底数相同,那么指数也相同. [探究三:逆用同底数幂的乘法法则] 【例4】已知2a=5,2b=3,求2a+b+3的值. 解析:根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开,再整体代入计算即可. 解:2a+b+3=2a·2b·23=5×3×8=120. 方法归纳:根据同底数幂的乘法法则:am·an=am+n,可得am+n=am·an.由此可整体代入求值. 【变式】已知am=3,am+n=9,求an的值. 解:因为am+n=am·an=9,am=3,所以3an=9,an=3. 练习:完成教材P4练习第1、2题. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果. 【课堂练习】 　同底数幂的乘法法则 1.计算b2·b3的结果是 (D) A.2b6 B.2b5 C.b6 D.b5 2.下列算式中,结果等于a6的是 (D) A.a4+a2 B.a2+a2+a2 C.a3·a2 D.a2·a2·a2 　同底数幂的乘法法则的逆应用 3.已知am=3,an=4,则am+n的值为 (A) A.12 B.7 C. D. 4.已知am=3,am+n=15,求an的值. 解:由题意,得am+n=am·an=3an=15,所以an=5. 三、评价与反思:(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上,教师点评并板书: (1)同底数幂的乘法法则. (2)同底数幂的乘法法则的运用和逆用. 【板书设计】 1.1.1 同底数幂的乘法 一、复习回顾 乘方的意义：aⁿ = a×a×…×a（n个a相乘），例：2³=2×2×2 二、同底数幂的概念 底数相同的幂（例：2³与2⁵，a⁴与a²；易错：2³与3²不是同底数幂） 三、法则推导与内容 推导：2³×2⁵ = (2×2×2)×(2×2×2×2×2) = 2⁸ = 2³⁺⁵ 法则：aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（m、n为正整数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加） 四、应用示例 例1：a²·a⁵ = a²⁺⁵ = a⁷ 例2：(-3)³·(-3)⁴ = (-3)³⁺⁴ = (-3)⁷ 五、小结：法则→运算步骤→易错点辨析 【布置作业】 (1)教材P13习题1.1第1题. (2)完成相应训练. （3）完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $