专题07三角形寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题07三角形寒假预习讲义（2） · 熟记三角形三边判定规则，秒辨线段能否拼三角形 · 快速求第三边取值范围，基础计算零失误 · 牢记内角和、外角和定值，核心结论张口就来 · 掌握外角两大性质，灵活推导各类未知角度 · 能结合实际问题运用三边、角度知识解题，学以致用 · 养成数形结合、几何逻辑思维，规范书写解题步骤 · 综合运用三角形核心知识解简单综合题，提升推理能力 预习必备 知识点梳理 1.三角形的三边关系 2.三角形的内角与外角 3.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.三角形内角和定理证明 2平行线与内角和问题. 3.角平分线与内角和问题 4.三角形折叠中的角度问题 5.三角形内角和定理应用 6.直角三角形两锐角互余 7.锐角互余判定直角三角形 8.三角形外角的定义与性质 9.三角形的构成条件 10.三角形第三边取值范围 11.三角形三边关系的应用 12.三角形的稳定性及应用 13.四边形的不稳定性 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.三角形的三边关系】 1. 三边关系核心定理 三角形任意两边的和大于第三边； 三角形任意两边的差小于第三边。 ▶ 几何表示：若三角形三边为a、b、c，则a+b>c、a+c>b、b+c>a； 同时∣a−b∣<c、∣a−c∣<b、∣b−c∣<a。 2. 定理本质与应用 (1)判定三条线段能否组成三角形：只需验证最短两边的和大于最长边（简化判定，无需全验）。 (2)已知两边求第三边范围：设已知两边为m、n（m>n），则第三边x的取值为m−n<x<m+n。 实际应用：判断线段能否构成三角形、求边长的取值范围、解决周长相关最值问题。 3. 重要注意点 (1)三边关系是三角形存在的必要条件，不满足则无法围成三角形； (2)若线段长度为定值，需注意 “整数边长” 等限定条件，需列举所有符合范围的整数。 【知识点02.三角形的内角与外角】 一、三角形的内角 1. 内角和定理 三角形的内角和等于 180°； ▶ 几何表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘。 2. 定理证明核心思路 通过作平行线将三角形的三个内角转化为一个平角（平角为 180°），是几何中 “转化思想” 的典型应用。 3. 内角和定理的推论（基础） 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 任意三角形中，最多有 1 个直角或 1 个钝角，最少有 2 个锐角。 二、三角形的外角 1. 外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； ▶ 关键特征： 1 与三角形的一个内角互补（和为 180°）； ② 一个三角形有 6 个外角，两两相等。 2. 外角的核心性质 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（最常用，求外角、内角的核心依据）； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（用于比较角的大小）；▶ 几何表示：在△ABC中，∠ACD是外角（D在BC延长线上），则∠ACD=∠A+∠B，且∠ACD>∠A、∠ACD>∠B。 3. 外角和定理 三角形的外角和等于 360°（与内角和不同，任意三角形外角和均为定值）； ▶ 推导：6 个外角两两相等，3 个不同外角的和为 360°。 .【知识点03.易错点汇总】 一.三角形的三边关系 1.判定三条线段能否构成三角形，未验证最短两边和＞最长边，错误全验三边和； 2.已知两边求第三边范围，遗漏 “大于两边差、小于两边和” 双向限制，或忽略绝对值； 3.涉及整数边长时，漏掉边界值（不取等号），误将 “＜”“＞” 写成 “≤”“≥”； 4.周长计算中，未先判定三边能否构成三角形，直接求和导致结果无效。 二、三角形的内角与外角 1.内角和应用中，忽略直角三角形两锐角互余，仍用 180° 繁琐计算，或误判三角形形状（漏看 “最多 1 个直角 / 钝角”）； 2.外角定义混淆，误将三角形内角的邻补角外的角当作外角，或忽略 “一个三角形 6 个外角（两两相等）”； 3.外角性质核心错用，将外角等于 “相邻内角和”，忘记限定 “不相邻”； 4.外角和与内角和混淆，误记三角形外角和为 180°，或认为不同三角形外角和不同； 5..角的计算中，未结合 “内角 + 相邻外角 = 180°”，盲目套用外角性质导致错误。 【题型1.三角形内角和定理证明】 【典例】三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 【答案】180° 【解析】略 【跟踪专练1】已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 【跟踪专练2】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC= ． 【答案】110°/110度 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得进而． 可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： 又∵BP平分CP平分 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解． 【跟踪专练3】在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 【题型2.平行线与内角和问题】 【典例】在中，，，则为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：100° 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【跟踪专练2】如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 【题型3.角平分线与内角和问题】 【典例】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义先求得和的大小，然后利用三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． 由三角形的内角和定理可知： ． 故选；B． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和运算，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合，得出，又因为平分，得出，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平本题考查了角平分线的有关计算和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的有关计算． 根据角平分线的有关计算和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，理解折叠性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理和外角性质求得，由折叠性质和平角定义求得，然后利用三角形的内角和定理求得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵分别是、平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠使点A落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 【答案】B 【分析】根据领补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °． 【答案】50 【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°， ∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°， ∴∠B=180°-90°-40°=50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【详解】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 【题型5.三角形内角和定理应用】 【典例】在中，若，，则 ° 【答案】70 【分析】本题考查三角形内角和定理，比较基础，熟知三角形内角和是是解题关键． 根据三角形内角和定理，已知两个角，可求第三个角． 【详解】解：在中，． ∵，， ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】在中，已知，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为是解决问题的关键． 根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 故选B． 【跟踪专练2】如图，是的外角，则的值为 ． 【答案】360 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，光线a照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即，，．若已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，在镜面反射中，入射角等于反射角．由光线的入射角等于反射角，结合三角形内角和定理易求． 【详解】根据题意：光线的入射角等于反射角，即，， 则． 即． 故． 故选：D． 【题型6.直角三角形两锐角互余】 【典例】在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟记直角三角形两个锐角互余是解决问题的关键． 在中，由直角三角形两个锐角互余直接求解即可得到答案． 【详解】解：在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，，再根据等量代换即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在中，，为边上的高，且，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形内角和定理，根据题意分类讨论：当在的内部时，得，由直角三角形的性质求得，再根据三角形内角和定理求解，当在的外部时，由直角三角形的性质求得，再由进行求解即可． 【详解】解：当在的内部时， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在的外部时， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、高的定义，三角形面积公式以及三角形外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何概念和性质，逐一分析每个结论的正确性． 根据三角形中线、高的定义，三角形面积公式，以及三角形角度关系，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确； ②因为于，所以是中边上的高，故正确； ③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确； ④因为，可知，根据等角对等边得，故正确， ⑤因为于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确． 所以正确的个数是5个． 故选：A． 【题型7.锐角互余判定直角三角形】 【典例】.满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有4个， 如图： ②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个， 如图： 综上，满足上述条件的点C有8个． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 【题型8.三角形外角的定义与性质】 【典例】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∵，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】将一副三角板按如图方式叠放，那么等于 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，是它的一个外角，E为上的一点，延长到点D，连接．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 由三角形的外角的性质，三角形内角和定理，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故B选项正确，不符合题意； 由条件得不到， 故C选项错误，符合题意； 由三角形内角和定理得到， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【题型9.三角形的构成条件】 【典例】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，故A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：． 【跟踪专练1】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【跟踪专练2】以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【题型10.三角形第三边取值范围】 【典例】一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键．首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后从中取整数即可． 【详解】解：∵两条边长分别是和， ∴第三边的取值范围是第三边， ∵三边均为整数， ∴第三边的长为3， 故答案为：3． 【跟踪专练1】设的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，则第三边c的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查绝对值的非负数的性质和三角形三边关系，注意绝对值和平方的非负性． 根据非负数的性质求出和的值，再利用三角形三边关系求解c的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 根据三角形三边关系：， ∴， 故选：C 【跟踪专练2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 【题型11.三角形三边关系的应用】 【典例】某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系可得，从而可得答案. 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 故选：D 【跟踪专练1】若a，b，c是的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的理解及运用，化简绝对值，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：a，b，c是的三边， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】三角形三边长分别为6、、10，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系并据此列出不等式组是解题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于的不等式组求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ， 解不等式得， 解不等式得， 所以． 故选：C． 【题型12.三角形的稳定性及应用】 【典例】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 【跟踪专练1】小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 【跟踪专练2】下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 【答案】D 【详解】本题考查三角形的基本性质，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】三角形三边确定后形状唯一，具有稳定性，故A正确． 钝角三角形的高线可能位于外部，直角三角形的高线在边上，因此高线不一定在内部，故B正确． 三角形每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°，故C正确． 三角形的一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和，而非任意两个内角之和，若未强调“不相邻”，故D错误． 故选D． 【题型13.四边形的不稳定性】 【典例】妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 【跟踪专练1】下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：A、伸缩门，利用了四边形的不稳定性，没有利用三角形的稳定性，此选项符合题意； B、衣架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； C、折叠伞的骨架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； D、塔吊，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）   . A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性 【答案】D 【分析】根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的是四边形的不稳定性， 故选D． 【点睛】本题考查四边形的性质，熟练掌握四边形的相关知识的解本题的关键． 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，则是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若，，且为奇数，求的值． 【答案】(1)直角 (2)5 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形三边关系，解题的关键是熟练运用定理进行计算和判断． （1）利用三角形内角和定理求出各角的度数，判断三角形的形状； （2）根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合为奇数求出的值． 【详解】（1）解：设，因为，则． ，即， 解得． 所以． 有一个角是的三角形是直角三角形， 所以是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 已知，则，即． 又因为为奇数，所以． 2．如图，已知是边延长线上一点，于点，交于点，，，求 (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两锐角互余． （1）由垂直的定义得，根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． （2）根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． （2）∵， ∴， ∴． 3．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明； （2）由三角形三边关系定理得，因此，得到． 【详解】（1）证明：延长交于， 由三角形三边关系定理得：，， ∴， ∴； （2）由三角形三边关系定理得：， 由（1）知， ∴， ，，， ∴． 5．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07三角形寒假预习讲义（2） · 熟记三角形三边判定规则，秒辨线段能否拼三角形 · 快速求第三边取值范围，基础计算零失误 · 牢记内角和、外角和定值，核心结论张口就来 · 掌握外角两大性质，灵活推导各类未知角度 · 能结合实际问题运用三边、角度知识解题，学以致用 · 养成数形结合、几何逻辑思维，规范书写解题步骤 · 综合运用三角形核心知识解简单综合题，提升推理能力 预习必备 知识点梳理 1.三角形的三边关系 2.三角形的内角与外角 3.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.三角形内角和定理证明 2平行线与内角和问题. 3.角平分线与内角和问题 4.三角形折叠中的角度问题 5.三角形内角和定理应用 6.直角三角形两锐角互余 7.锐角互余判定直角三角形 8.三角形外角的定义与性质 9.三角形的构成条件 10.三角形第三边取值范围 11.三角形三边关系的应用 12.三角形的稳定性及应用 13.四边形的不稳定性 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.三角形的三边关系】 1. 三边关系核心定理 ▶ 几何表示：若三角形三边为a、b、c，则a+b>c、a+c>b、b+c>a； 同时∣a−b∣<c、∣a−c∣<b、∣b−c∣<a。 2. 定理本质与应用 (1)判定三条线段能否组成三角形：只需验证最短两边的和大于最长边（简化判定，无需全验）。 (2)已知两边求第三边范围：设已知两边为m、n（m>n），则第三边x的取值为m−n<x<m+n。 实际应用：判断线段能否构成三角形、求边长的取值范围、解决周长相关最值问题。 3. 重要注意点 (1)三边关系是三角形存在的必要条件，不满足则无法围成三角形； (2)若线段长度为定值，需注意 “整数边长” 等限定条件，需列举所有符合范围的整数。 【知识点02.三角形的内角与外角】 一、三角形的内角 1. 内角和定理 ▶ 几何表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘。 2. 定理证明核心思路 通过作平行线将三角形的三个内角转化为一个平角（平角为 180°），是几何中 “转化思想” 的典型应用。 3. 内角和定理的推论（基础） 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 任意三角形中，最多有 1 个直角或 1 个钝角，最少有 2 个锐角。 二、三角形的外角 1. 外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； ▶ 关键特征： 1 与三角形的一个内角互补（和为 180°）； ② 一个三角形有 6 个外角，两两相等。 2. 外角的核心性质 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（最常用，求外角、内角的核心依据）； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（用于比较角的大小）；▶ 几何表示：在△ABC中，∠ACD是外角（D在BC延长线上），则∠ACD=∠A+∠B，且∠ACD>∠A、∠ACD>∠B。 3. 外角和定理 三角形的外角和等于 360°（与内角和不同，任意三角形外角和均为定值）； ▶ 推导：6 个外角两两相等，3 个不同外角的和为 360°。 .【知识点03.易错点汇总】 一.三角形的三边关系 1.判定三条线段能否构成三角形，未验证最短两边和＞最长边，错误全验三边和； 2.已知两边求第三边范围，遗漏 “大于两边差、小于两边和” 双向限制，或忽略绝对值； 3.涉及整数边长时，漏掉边界值（不取等号），误将 “＜”“＞” 写成 “≤”“≥”； 4.周长计算中，未先判定三边能否构成三角形，直接求和导致结果无效。 二、三角形的内角与外角 1.内角和应用中，忽略直角三角形两锐角互余，仍用 180° 繁琐计算，或误判三角形形状（漏看 “最多 1 个直角 / 钝角”）； 2.外角定义混淆，误将三角形内角的邻补角外的角当作外角，或忽略 “一个三角形 6 个外角（两两相等）”； 3.外角性质核心错用，将外角等于 “相邻内角和”，忘记限定 “不相邻”； 4.外角和与内角和混淆，误记三角形外角和为 180°，或认为不同三角形外角和不同； 5..角的计算中，未结合 “内角 + 相邻外角 = 180°”，盲目套用外角性质导致错误。 【题型1.三角形内角和定理证明】 【典例】三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 【跟踪专练1】已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【跟踪专练2】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC= ． 【跟踪专练3】在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【题型2.平行线与内角和问题】 【典例】在中，，，则为 ． 【跟踪专练1】如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【跟踪专练2】如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【跟踪专练3】如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【题型3.角平分线与内角和问题】 【典例】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【跟踪专练2】如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【题型4.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 【跟踪专练1】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【题型5.三角形内角和定理应用】 【典例】在中，若，，则 ° 【跟踪专练1】在中，已知，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【跟踪专练2】如图，是的外角，则的值为 ． 【跟踪专练3】如图，光线a照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即，，．若已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【题型6.直角三角形两锐角互余】 【典例】在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，为边上的高，且，则的度数为 【跟踪专练3】如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型7.锐角互余判定直角三角形】 【典例】.满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【跟踪专练2】如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【题型8.三角形外角的定义与性质】 【典例】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将一副三角板按如图方式叠放，那么等于 ． 【跟踪专练2】如图，在中，是它的一个外角，E为上的一点，延长到点D，连接．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型9.三角形的构成条件】 【典例】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【跟踪专练2】以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型10.三角形第三边取值范围】 【典例】一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 【跟踪专练1】设的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，则第三边c的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【题型11.三角形三边关系的应用】 【典例】某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 【跟踪专练1】若a，b，c是的三边，则 ． 【跟踪专练2】三角形三边长分别为6、、10，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【题型12.三角形的稳定性及应用】 【典例】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 ． 【跟踪专练1】小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 【题型13.四边形的不稳定性】 【典例】妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【跟踪专练1】下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 【跟踪专练2】如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）   . A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，则是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若，，且为奇数，求的值． 2．如图，已知是边延长线上一点，于点，交于点，，，求 (1)的度数； (2)的度数． 3．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 4．如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 5．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $