精品解析：山东菏泽市2025-2026学年上学期1月九年级期末数学试题

2025-2026学年上学期1月九年级期末数学试题九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 3. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 4. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 12. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 13. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 如图，，，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④如果，，则．其中结论正确的序号是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB=13，OE=5，求AE的长． 18. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 19. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 20. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 21. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 22. 如图，是的直径，点是上异于A，B的点，连接，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期1月九年级期末数学试题九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 2. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 3. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 4. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 6. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 7. 如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴，如图所示，负值舍去，则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：D． 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 13. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 15. 如图，，，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④如果，，则．其中结论正确的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，相似三角形判定及性质等．根据题意可得，证明，继而得到，再证明四边形是矩形，再判定即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，则，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，然后计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴或 ∴，． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB=13，OE=5，求AE的长． 【答案】（1） ∵CF=BE ∴ 又∵EF∥AD ∴四边形AEFD为平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形AEFD是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证即可得到答案． （2）由直角三角形的中线定理求得AC长，设EC长为x，进而根据勾股定理列出方程，解方程求得EC长，进而求得AE的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点O是AC的中点，三角形AEC是直角三角形 ∴ 设，则 ∴即 解得 ∴ 【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）为了安全起见，气体的体积应不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 19. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如图， （3）人； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 【小问4详解】 情况：列表格， 甲 乙 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 20. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米 （2）2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 21. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 22. 如图，是的直径，点是上异于A，B的点，连接，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ， ， 又， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）先根据是的直径，可得，再根据可得，再利用已知，易得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由， 可设，则， ，， ， ． 又， ， ，即． 解得， ． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $