精品解析：山东临沂市兰陵县2025-2026学年上学期期末质量调研八年级数学试卷（二）

2025-2026学年度上学期质量调研 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nmm．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 6. 若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 7. 图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 12. 已知，，则的值为______． 13. 如图，在Rt中，，以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，连接两弧交点，交、于、两点，若，，则的长度是_____． 14. 若关于的代数式是一个完全平方式，则实数______． 15. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 20. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点G，若，求的长． 21. 为培养学生语文的阅读能力，某校初二年级购进《西游记》和《红楼梦》两种书籍，花费分别是元和元，已知《西游记》的订购单价是《红楼梦》订购单价的倍，并且订购的《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多本．设购买《红楼梦》的单价为x元． （1）根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《红楼梦》 x 《西游记》 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《西游记》和《红楼梦》的单价各为多少元？ 22. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． （1）如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （2）如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． （3）将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 23. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期质量调研 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题中只要把每组数中较小的两条边长相加，如果和大于最长的一条边，则三边即可组成三角形． 【详解】解：A、，、、不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，、、能组成三角形，故C选项符合题意； D、，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 3. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nmm．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：. 故选B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 由同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方逆运算，利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 6. 若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 把和都扩大为原来的倍后代入化简即可． 【详解】解：由题意得：，则分式的值缩小为原来的 故选：C． 7. 图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形， ∴正方形的边长为：a+b， ∴正方形的面积为（a+b）2， ∵原矩形的面积为4ab， ∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2． 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键． 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键． 求出O为的三条角平分线的交点，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可； 【详解】∵ 在中，点O是内的一点，且点O到三边距离相等， ∴ O为的三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可． 【详解】连接、、，如图， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，故①正确， ∵， ∴，， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，故③错误； 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开已知条件，通过相加两个等式消去，求解的值即可． 【详解】解：由，， 两式相加得， ， 故答案为5． 13. 如图，在Rt中，，以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，连接两弧交点，交、于、两点，若，，则的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，根据等边对等角可知，从而可求，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得：，再利用可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为： ． 14. 若关于的代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，掌握完全平方式的积的倍项的特点是解题的关键．由完全平方式的特点可得，从而可得答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或． 15. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式、公式法等因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式对分式进行化简； （2）按照通分、去分母、合并同类项、系数化为1求解分式方程的根，最后要检验分式方程的根． 【详解】解：（1） ． （2）， ， 则， ， ， ， 系数化为1得，． 经检验：当时，，， 故是原分式方程的解． 18. 先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 20. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点G，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 又， ． ； （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 为培养学生语文的阅读能力，某校初二年级购进《西游记》和《红楼梦》两种书籍，花费分别是元和元，已知《西游记》的订购单价是《红楼梦》订购单价的倍，并且订购的《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多本．设购买《红楼梦》的单价为x元． （1）根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《红楼梦》 x 《西游记》 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《西游记》和《红楼梦》的单价各为多少元？ 【答案】（1），， （2）该校初二年级购买的《红楼梦》的单价为元，《西游记》的单价为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费元订购《西游记》的数量比花费元订购《红楼梦》的数量多本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出订购《红楼梦》的单价，再将其代入中，即可求出订购《西游记》的单价． 【小问1详解】 解：设该校初二年级购买《红楼梦》的单价为x元，则购买《西游记》的单价为元， ∴购买《红楼梦》的数量为本，购买《西游记》的数量为本， 故答案为： ，1.4x，； 【小问2详解】 据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《红楼梦》的单价为10元，《西游记》的单价为14元． 22. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． （1）如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （2）如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． （3）将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①，②1 （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解和图形的结合，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则； （2）①大长方形的面积，大长方形的面积=，则； ②由题意得：，则，结合即可求得； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积． 【小问1详解】 解：根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵大长方形的面积， 大长方形的面积=， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 【小问3详解】 解：阴影部分的面积 ． 23. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】 （1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $