精品解析：广东汕头金南实验学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026（上）高一数学期末考试题 2026.1 试题分值：150分 考试时长：120分钟 命题人：蔡健勋 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的定义可求答案. 【详解】因为终边经过点，所以到原点的距离为，所以. 故选：C 2. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】半径为2的扇形的圆心角为， 由扇形面积公式. 故选：B 3. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得，然后求得，最后根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 则. 故选：A. 4. 已知为角终边上一点，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，进而使用零点存在性定理求解零点所在区间即可. 【详解】由指数函数性质得在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增，而， ，由零点存在性定理可得零点在区间内. 故选：B 7. 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 8. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，且，， 由，得或， 作出的示意图， 所以x的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得，由不等式性质判断A，由指数函数性质判断BD，由对数函数性质判断C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，故B正确；，故D正确； 对于C，当时，此时，故C错误. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得此时函数单调递减，所以在区间上的最小值为，B正确； 对于C，因为，所以点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象不关于轴对称，D错误； 故选：BC. 【点睛】三角函数图象变换题的解题入手点 1.对于函数，其图象的基本变换有如下几种： （1）纵向伸缩变换：由的变化引起，时伸长，时缩短； （2）横向伸缩变换：由的变化引起，时缩短，时伸长； （3）横向平移变换：由的变化引起，时左移，时右移； （4）纵向平移变换：由的变化引起，时上移，时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2.若变换前后的函数名不同，则需要先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来进行推． 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD. 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数和对数运算公式化简求值. 【详解】由题意得 . 故答案为：. 13. 已知函数，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】因为函数， 则，， 所以. 故答案为：. 14. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）结合补集运算以及子集的定义，利用数轴讨论即可得解. 【小问1详解】 当时， ∴，. 【小问2详解】 ∵或，又， ∴或 解得或. 17. 已知，计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）2 （2）0 【解析】 【分析】（1）（2）根据齐次式以及弦切互化即可求解. 【小问1详解】 ，化简得， . 【小问2详解】 . 18. 已知函数. （1）把函数化简为的形式，并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求先列表再作图）； （2）求的单调递增区间； （3）若时，方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的图象作图即可； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可； （3）方程有解，则在上值域即为的范围，求出在上的值域即可. 【小问1详解】 由， ， 列表如下： 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如图所示： 【小问2详解】 令，解得， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，，则， 所以在上的值域为 因为方程有解，所以的取值范围为. 19. 已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解； （2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以该函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减； 又因为函数在上存在零点，所以， 所以，解得，所以a的取值范围为； 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 当时，的值域为. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）高一数学期末考试题 2026.1 试题分值：150分 考试时长：120分钟 命题人：蔡健勋 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知为角终边上一点，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 13. 已知函数，则_______ 14. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 17. 已知，计算下列各式的值. （1）； （2）. 18. 已知函数. （1）把函数化简为的形式，并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求先列表再作图）； （2）求的单调递增区间； （3）若时，方程有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $