21.1四边形及多边形同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1四边形及多边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．正n边形的一个外角为，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．六边形内角和的度数是（    ） A． B． C． D． 3．若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 4．正六边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列语句正确的有（   ）个 ①同旁内角互补；②三角形的一个外角等于两个内角的和；③五边形的外角和为540°；④如果，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 6．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 7．已知一个多边形的内角和与外角和的和为，这个多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．已知一个多边形的每一个外角都等于，下列说法错误的是（    ） A．这个多边形是二十边形 B．这个多边形的内角和是 C．这个多边形每一个内角都是 D．这个多边形的外角和是 10．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 12．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（    ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 二、填空题 13．从七边形的1个顶点出发最多可以画 条对角线 14．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α= ．    15．如图，在四边形中，过点A的直线，若，则 度． 16．n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则 ． 17．如果一个正多边形的每一个内角度数是每一个外角度数的2倍，则该正多边形的对称轴条数为 ． 三、解答题 18．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 19．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．    (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数； (2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数； (3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程) 20．如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 21．请你仿照图中图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并写一篇小论文与同伴交流你的设计过程和原理． 22．一个四边形四个内角的度数之比为．求这四个内角的度数． 23．学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）积分制，那么一共需要进行多少场比赛？ 24．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 《21.1四边形及多边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A C C B B C 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：∵正n边形的一个外角为， ∴n的值为． 故选：B． 2．D 【分析】根据六边形内角和的度数为，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，六边形内角和的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和．解题的关键在于熟练掌握：边形内角和的度数为． 3．C 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．解题的关键是掌握多边形的内角和公式：边形的内角和等于． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 4．B 【分析】利用多边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键． 5．A 【分析】根据相应的知识点，逐一判断即可． 【详解】∵两直线平行，同旁内角互补， ∴①错误； ∵三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和， ∴②错误； ∵五边形的外角和都是360°， ∴③错误； ∵， ∴， ∴④正确； 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，多边形的外角和定理，不等式的性质，熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 6．C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 7．C 【分析】根据多边形的外角和为360°求得这个多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，多边形的内角和为， 设多边形的边数为n，则， 解得，， 故选：C 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 8．B 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系，即可求解． 【详解】解：∵一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线， ∴， 解得：． 故选：B 9．B 【分析】用除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由题意可得： 多边形的边数为：，故A选项不符合题意； 多边形的内角和为：，故B选项符合题意； 每一个内角为：，故C选项不符合题意； 多边形的外角和为：，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，主要利用了多边形的内角和公式与外角和定理，根据外角和求出边数是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 11．C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 12．C 【分析】设这个多边形是n边形，则它的内角和是，得到关于n的方程组，就可以求出边数n． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意知， ， ∴， ∴该多边形的边数是六边形． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键． 13．4 【分析】本题考查了多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发最多可画条对角线，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，从七边形的1个顶点出发最多可以画条对角线． 故答案为：4． 14．40°/40度 【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值． 【详解】解：设小林走的正多边形的边数为n， 根据题意得，n＝108÷12＝9， ∴α＝360°÷9＝40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键． 15．150 【分析】先由平行线性质得，再由四边形内角和为与平角为，可得出，再将、代入即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：150． 【点睛】此题考查了多边形的内角和公式、平行线的性质定理、平角的定义，熟练掌握四边形的内角和与平行线的性质是解答此题的关键． 16． 【分析】经过n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，分成个三角形，即可得答案； 【详解】解：n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，所以，将这个n边形分成个三角形，所以， 所以； 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的对角线，解题关键是根据从一个顶点出发可以画的对角线的条数． 17．6 【分析】设这正多边形的每一个外角度数为 则它的内角度数为，根据题意列出方程，可得 ，从而得到该正多边形为正六边形，即可求解． 【详解】解：设这正多边形的每一个外角度数为 则它的内角度数为，根据题意得： ， 解得： ， ∴该正多边形的边数为 ， 即该正多边形为正六边形，而正六边形有6条对称轴， 即该正多边形的对称轴条数为6． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，轴对称图形，根据题意得到该正多边形为正六边形是解题的关键． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 19．(1) (2) (3) 【分析】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系． 三角形外角的性质和三角形内角和定理． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴；    （2）∵，， ∴；      （3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加， 所以当截去5个角时增加了， 则 20．(1)65 (2) (3)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可； （2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案； （3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （3）解：四边形中， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； ②∵五边形的内角和为， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 21．见解析 【分析】根据题意得到用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．用两种正多边形镶嵌，每一顶点可用3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形等能镶嵌成一个平面图案． 【详解】现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见． 在学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面． 如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 3个正六边形的内角． 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+•y=360，整理得：2x+3y=8， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60a+120b=360； 我们可以找到两组适合方程的正整数解 或 ． 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．也考查了二元一次方程的应用． 22． 【分析】根据四边形内角和为，即可求解． 【详解】解：∵一个四边形的内角和为，四个内角的度数之比为． 则，，，， ∴这四个内角的度数分别为： 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，掌握四边形的内角和为是解题的关键． 23．15场 【分析】由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数． 【详解】解：如图所示，由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，即共需比赛（场）．    【点睛】体育比赛中的单循环赛、打电话、握手等问题，都是多边形对角线公式在实际问题中的应用．需要注意的是一班与二班比赛一场和二班与一班比赛一场，只能算一场，不能重复计算． 24．(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $