2026年中考数学重难点一轮复习：专题22 相交线与平行线

专题22 相交线与平行线 一、选择题（共8小题） 1．（2025秋•晋江市期末）如图，AC⊥MN于点C，射线CD在∠ACM内，CF⊥CD，下列说法正确的是（　　） A．∠ACD＝∠ACF B．∠NCF＝∠ACF C．∠ACD＝∠NCF D．∠MCD＝∠NCF 2．（2025秋•五指山期末）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上，a∥b，若∠1＝42°，则∠2的度数是（　　） A．42° B．52° C．48° D．58° 3．（2025秋•东方期末）如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 4．（2025秋•五指山期末）下列说法正确是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补 5．（2025•康巴什三模）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝75°，则∠β﹣∠α＝（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 6．（2025•深圳模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，则∠CBE的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．（2025•枣庄校级四模）如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，现调节台灯使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 8．（2025•建华区三模）如图，在数学活动课上，小明同学将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在矩形的两条对边上，则∠1，∠2的数量关系为（　　） A．∠2﹣∠1＝30° B．∠1+∠2＝90° C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2＝60° 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l1上，若∠1＝35°，则∠2的度数是　 　 ． 10．（2025秋•陵水县期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题如图，已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是　 　 ． 11．（2025秋•北京期末）如图是一款儿童小推车的示意图．若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3＝　 　 °． 12．（2025秋•昌平区期末）如图，某条公路可视为直线l，从公路外一点P向公路前进，PB垂直于直线l，三条路线PA，PB，PC中最短的是　 　 ，依据是　 　 ． 13．（2025•青山区校级模拟）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝37°，则∠2＝　 　 ． 14．（2025•郴州二模）如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　 　 度． 15．（2025•商河县一模）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 　 　 ． 16．（2025•番禺区二模）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝　 　 度． 三、解答题（共5小题） 17．（2025秋•泸县校级期末）已知如图1，线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC， （1）请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （2）若点P在图2的位置时，请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （3）若点P的位置如图3和图4，请分别写出图3和图4中∠APC与∠A、∠C之间的关系． 18．（2025秋•五指山期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OD，若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数． 19．（2025秋•南明区期末）如图，一条直线分别与直线AE、直线DE、直线AF、直线DF相交于点B，G，H，C，∠1＝∠2，AB∥CD．求证： （1）AF∥ED； （2）∠A＝∠D． 20．（2025•武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F． （1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数． （2）求证：∠E+2∠F＝360°． （3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）． 21．（2025•长安区校级模拟）如图，直线AC，BD被直线BC所截，连接AB，CD，BA平分∠CBD，且与线段CD相交于点E，F是线段AC上一点，连接EF．若∠A＝∠ABC，∠AFE+∠CBD＝180°．求证：EF∥BC． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】对于选项A，依题意得∠ACM＝∠ACN＝90°，∠DCF＝90°，由于AC不一定是∠DCF的平分线得∠ACD与∠ACF不一定相等，据此可对该选项进行判断； 对于选项B，由于CF不一定是∠ACN的平分线得∠NCF与∠ACF不一定相等，据此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据∠ACD+∠ACF＝90°，∠NCF+∠ACF＝90°得∠ACD＝∠NCF，据此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据∠MCD+∠NCF＝90°，∠NCF+∠ACF＝90°得∠MCD＝∠ACF，由于CF不一定是∠ACN的平分线得∠NCF与∠ACF不一定相等，进而得∠MCD与∠NCF不一定相等，据此可对该选项进行判断综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵AC⊥MN于点C，CF⊥CD， ∴∠ACM＝∠ACN＝90°，∠DCF＝90°， 由于时AC不一定是∠DCF的平分线， ∴∠ACD与∠ACF不一定相等， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵CF不一定是∠ACN的平分线， ∴∠NCF与∠ACF不一定相等， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项C， ∵∠ACD+∠ACF＝∠ACN＝90°，∠NCF+∠ACF＝∠DCF＝90°， ∴∠ACD＝∠NCF， ∴该选项正确，符合题意； 对于选项D， ∵∠DCF＝90°， ∴∠MCD+∠NCF＝180°﹣∠DCF＝90°， 又∵∠NCF+∠ACF＝∠DCF＝90°， ∴∠MCD＝∠ACF， 由于CF不一定是∠ACN的平分线， ∴∠NCF与∠ACF不一定相等， ∴∠MCD与∠NCF不一定相等， ∴该选项不正确，不符合题意， 故选：C． 2．【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出∠3＝∠2，再利用∠1与∠3互余即可． 【解答】解：如图： ∵a∥b， ∴∠2＝∠3， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝42°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣42°＝58°． 故选：D． 3．【答案】B 【分析】作n∥l，根据平行线的性质求出∠4，再根据角的和差得∠5＝∠2﹣∠4＝95°﹣65°＝30°，再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，作n∥l， ∵∠1＝115°， ∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣115°＝65°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠5＝∠2﹣∠4＝95°﹣65°＝30°， 又∵l∥m， ∴n∥m， ∴∠3＝∠5＝30°（两直线平行，内错角相等）， 故选：B． 4．【答案】A 【分析】根据对顶角相等以及平行线的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A．对顶角相等，因此选项A符合题意； B．两点之间线段最短，因此选项B不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，若两直线不平行，同位角也不相等，因此选项C不符合题意； D．两直线平行，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角也不互补，因此选项D不符合题意； 故选：A． 5．【答案】A 【分析】先求解∠1＝180°﹣75°﹣60°＝45°，再结合平行线的性质求解∠β＝135°，再进一步求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠α＝75°， ∴∠1＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∵直尺的两条对边平行， ∴∠β+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠β＝135°， ∴∠β﹣∠α＝135°﹣75°＝60°， 则∠β﹣∠α的度数为60°， 故选：A． 6．【答案】C 【分析】根据题意，延长AB交DE于F点，利用AF∥DE及∠2，求出∠EBM的度数，再根据AB∥CD，求出∠CBM的度数，从而得到结果． 【解答】解：如图，延长AB交DE于F点， ∵AF∥DE，∠1＝90°， ∴∠BME＝90°， ∵∠2是△BME的外角， ∴∠2＝∠BME+∠EBM， ∵∠2＝110°， ∴∠EBM＝20°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠CBM＝180°， ∵∠C＝135°， ∴∠CBM＝45°， ∴∠CBE＝∠CBM+∠EBM＝70°． 故选：C． 7．【答案】B 【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°． 【解答】解：过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°， ∴∠ABH＝∠BAG＝68°， 由题意可得：∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE＝∠ABH＝68°． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质可得∠3＝30°+∠1，然后利用平行线的性质可得答案． 【解答】解：如图， ∵矩形的对边平行， ∴∠2＝∠3， ∵∠3＝30°+∠1， ∴∠2＝30°+∠1， ∴∠2﹣∠1＝30°， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】55°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝35°，∠ABC＝90°， ∴∠3＝55°． ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠3＝55°． 故答案为：55°． 10．【答案】34°． 【分析】延长CD交AB于F，根据两直线平行，同位角相等，可得∠CFE＝∠BAE＝87°，再根据三角形外角的性质得∠CFE+∠E＝∠DCE，即可求解． 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝87°， ∴∠CFE＝∠BAE＝87°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠CFE+∠E＝∠DCE， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣87°＝34°， 故答案为：34°． 11．【答案】70． 【分析】根据平行线的性质及三角形的外角性质即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠A＝30°， ∴∠3＝∠A+∠2＝∠1+∠2＝30°+40°＝70°， 故答案为：70． 12．【答案】PB，垂线段最短． 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【解答】解：三条路线PA，PB，PC中最短的是PB，依据是垂线段最短． 故答案为：PB，垂线段最短． 13．【答案】53°． 【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，求得∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，再求解即可． 【解答】解：如图， 由平行线的性质可得∠1＝∠3，∠2＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠3+∠4+∠5＝180°，∠5＝90°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， ∵∠1＝37°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠1＝53°． 故答案为：53°． 14．【答案】70． 【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠C＝∠1＝110°，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠2＝180°﹣∠C，据此求解即可． 【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝110°， ∴∠C＝∠1＝110°（两直线平行，同位角相等）， ∵DF∥AC， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：70． 15．【答案】40° 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图，∵直线a∥b， ∴∠4＝∠1＝75°， 由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°． 故答案为：40°． 16．【答案】106． 【分析】依据题意，由已知条件AB∥CD，可得∠1＝∠3＝76°，又由于∠2与∠3是邻补角，则可得∠2的度数． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝76°． ∵∠2与∠3是邻补角， ∴∠2+∠3＝180°． ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣74°＝106°． 故答案为：106． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）∠APC＝∠A+∠C； （2）∠APC+（∠A+∠C）＝360°； （3）图3中：∠APC+∠A﹣∠C＝180°，图4中：∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （3）图3中，过点P作PE∥CD，图4中，过点P作作PE∥AB，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠APC＝∠APE+∠EPC， ∴∠APC＝∠A+∠C， （2）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°， ∵AB∥CD ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°， ∴∠APC+∠A+∠C＝360°， ∴∠APC+（∠A+∠C）＝360°； （3）图3中：∠APC+∠A﹣∠C＝180°，图4中：∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°， 理由如下：过点P作PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°， ∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°， ∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°； 如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°， ∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°， ∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°． 18．【答案】72°． 【分析】依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC． 【解答】解：∵OF⊥CD，∠EOF＝54°， ∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°， 又∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠DOE＝72°， ∴∠AOC＝72°． 19．【答案】（1）∵∠1＝∠CGD，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CGD， ∴AF∥ED； （2）∵AF∥ED， ∴∠A＝∠BED． ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠D， ∴∠A＝∠D． 【分析】（1）根据平行线的判定进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵∠1＝∠CGD，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CGD， ∴AF∥ED； （2）∵AF∥ED， ∴∠A＝∠BED． ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠D， ∴∠A＝∠D． 20．【答案】（1）140°； （2）证明见解答； （3）∠P． 【分析】（1）过点F作直线FG∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答； （2）过点E作直线EH∥AB，根据平行线的性质，角平分线的定义及平行线公理即可得证； （3）根据角的等量代换表示出∠E，进而表示出∠ABP+∠CDP，过点P作直线PJ∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答． 【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图， ∵FG∥AB， ∴∠BFG＝∠1＝65°， ∵FG∥AB，AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠DFG＝∠2＝75°， ∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°； （2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图， ∵EH∥AB， ∴∠ABE+∠BEH＝180°， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CDE+∠HED＝180°， ∴∠E+2∠1+2∠2＝360°， 由（1）得，∠F＝∠1+∠2， ∴∠E+2∠F＝360°． （3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP， ∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP， 由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP）， 由（2）得，∠E+2∠F＝360°， ∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°， ∴∠ABP+∠CDP， 过点P作直线PJ∥AB，如图， ∵PJ∥AB， ∴∠BPJ＝∠ABP， ∵PJ∥AB，AB∥CD ∴PJ∥CD， ∴∠DPJ＝∠CDP， ∴∠P＝∠ABP+∠CDP． 21．【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AB平分∠CBD， ∴∠ABD＝∠ABC， ∵∠A＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠A， ∴BD∥AC， ∴∠ACB+∠CBD＝180°， ∵∠AFE+∠CBD＝180°， ∴∠ACB＝∠AFE， ∴EF∥BC． 学科网（北京）股份有限公司 $