2026年中考数学重难点一轮复习：专题19 二次函数与几何综合

专题19 二次函数与几何综合 一、选择题（共8小题） 1．（2025秋•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为（　　） A．2 B． C． D． 2．（2025秋•兴隆台区期末）如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2025秋•富顺县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．下列四种说法：①﹣1＜m＜2；②若2＜x＜3，则﹣（x﹣3）2+2（x﹣3）+m＜2；③若点M（﹣2，y1）、点，点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D，E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025•中山市校级一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 5．（2025•黑龙江模拟）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2025春•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点位于（﹣2，0），（﹣3，0）两点之间．下列结论：①bc＜0；②2a﹣b＜0；③若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则b2﹣4ac＝12．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025•榕城区校级三模）如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　） A． B． C． D．1 8．（2025•龙江县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为B，C为抛物线的顶点．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③a+b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC是等腰直角三角形，则．其中结论正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•南昌县月考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使△CPM为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 　 　 ． 10．（2024秋•武威期末）抛物线y＝x2﹣4与x轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为　 　 ． 11．（2025•金山区模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 　 　 ． 12．（2025秋•思明区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①2a﹣b＝0；②3a+c＝0；③当△ABC是等边三角形时，a；④若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中，正确结论的序号为 　 　 ． 13．（2025秋•久治县期末）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的关系式为，则图中CD的长为　 　 ． 14．（2025•广州校级自主招生）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 　 　 ． 15．（2025秋•紫阳县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，PQ为抛物线对称轴上的线段，且PQ＝2，则四边形ACPQ周长的最小值为 　 　 ． 16．（2025秋•房山区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为　 　 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2025秋•松山区期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a，c是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？ （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标． 18．（2025秋•镇原县期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，8），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025秋•北林区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点B，与x轴交于A（﹣4，0），C（1，0），点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连接AE、BE． （1）求抛物线的解析式； （2）求出当△ABE的面积为3时，m的值； （3）在x轴上有一个点F，△ABF恰好是等腰三角形，请直接写出点F的坐标． 20．（2025秋•盐池县校级期末）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设第一象限内的点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．（不写过程，直接写坐标） 21．（2025秋•沛县期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AC一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，△CAQ的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）点P是直线AC一动点，过点P作PQ平行于y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标是　 　 ． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】D 【分析】代入A（2，4）求得抛物线解析式为y＝x2，设E点坐标为（m，m2）（m＞0），进而表示出F、C点坐标，利用CE＝EF列出方程求解即可． 【解答】解：由条件可知4＝4a， 解得：a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2， 设E点坐标为（m，m2）（m＞0），由抛物线的对称性得F点坐标为（﹣m，m2）， ∴C点坐标为（m，4）， ∴CE＝EF， 即4﹣m2＝2m， 解得：（舍去）， ∴， ∴． 故选：D． 2．【答案】C 【分析】设P（x，﹣x2+x+3），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：设P（x，﹣x2+x+3）， 四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， 当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为8． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点在2和3之间得出不等式组，求解后可判断①；由抛物线的对称性及抛物线与x轴的一个交点在2和3之间可得出该抛物线与x轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断②；结合图象，根据二次函数的性质（抛物线的开口向下，离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③；因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值，可判断④． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与x轴的一个交点在2和3之间，且二次项系数﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为：直线x＝1， ∴， 解得：﹣1＜m＜2，故结论①正确； ∵抛物线y＝﹣x2+2x+m+1对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2和3之间，且﹣1＜m＜2， ∴抛物线与x轴另一交点横坐标在﹣1和0之间，0＜m+1＜3， ∵2＜x＜3， ∴﹣1＜x﹣3＜0， ∴x﹣3时对应的函数值小于x＝0时对应的函数值， ∴﹣（x﹣3）2+2（x﹣3）+m+1＜m+1， ∴﹣（x﹣3）2+2（x﹣3）+m+1＜m+1＜3， ∴﹣（x﹣3）2+2（x﹣3）+m＜2，故结论②正确； ∵抛物线y＝﹣x2+2x+m+1对称轴为直线x＝1，且开口向下， 1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1， ∴y1＜y3＜y2，故结论③错误； 当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，对称轴为直线x＝1， 当x＝0时，得y＝2， ∴A（0，2）， ∴C（2，2），B（1，3）， 如图，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，则B′（﹣1，3），C′（2，﹣2）， ∴BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC， 此时B′C′的长最短， ∴四边形BCDE周长的最小值为B′C′+BC， ∵B′（﹣1，3），C′（2，﹣2），C（2，2），B（1，3）， ∴， ∴四边形BCDE周长的最小值为，故结论④正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：C． 4．【答案】D 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如图，先证明四边形CDFE为平行四边形得到CE＝DF，则CB＝DF，利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝AB+CD+AF，根据两点之间线段最短可判断此时四边形ABCD的周长最小，再解方程x2﹣4x+6＝0得E（6，0），从而确定抛物线的对称轴为直线x＝4，F（6，3），接着确定A（0，6），然后利用待定系数法求出直线AF的解析式为yx+6，于是计算自变量为4对应的函数值得到D点坐标． 【解答】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如图， ∵CD＝EF＝3，CD∥EF， ∴四边形CDFE为平行四边形， ∴CE＝DF， ∵CB＝CE， ∴CB＝DF， ∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝AB+CD+DF+AD＝AB+CD+AF， ∴此时四边形ABCD的周长最小， 当y＝0时，x2﹣4x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝6， ∴B（2，0），E（6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4，F（6，3）， 当x＝0时，yx2﹣4x+6＝6， ∴A（0，6）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b， 把A（0，6），F（6，3）代入得， 解得， ∴直线AF的解析式为yx+6， 当x＝4时，yx+6＝6， ∴D（4，6）． 故选：D． 5．【答案】D 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置便可确定a、b、c的正负，进而确定结果正确与否； ②由对称轴得a、b的关系，再A点坐标得a、b、c的关系，两条件结合便可得b、c的关系； ③由二次函数的最小值进行判断； ④由等腰直角三角形求得D点的坐标，再用待定系数法求得a便可； ⑤由x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根得抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝4的两交点是（x1，4）和（x2，4），再求出抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴的交点，最后根据二次函数的性质判断结论便可． 【解答】解：①∵a＞0，抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0． ∴abc＞0．则此小题的结论正确； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴对称轴为：x，∴， 把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a﹣b+c＝0， ∴b﹣b+c＝0， ∴3b＝2c，则此小题的结论错误； ③∵当x＝1时，ymin＝a+b+c， ∴当m≠1时，am2+bm+c＞a+b+c，于是a+b＜am2+bm，则此小题的结论错误； ④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形． ∴AD2+BD2＝42．解得，AD2＝8． 设点D坐标为（1，y）． 则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．解得y＝±2． ∵点D在x轴下方． ∴点D为（1，﹣2）． ∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）． 设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2． ∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．解得a，则此小题的结论正确； ⑤∵若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝4的两交点是（x1，4）和（x2，4）， ∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x交点为（﹣1，0）和（3，0）， ∴根据二次函数的性质知，x1＜﹣1＜3＜x2，此小题错误． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】由图象得a＜0，c＞0，由对称轴为直线，得b＝2a＜0，可得bc＜0，2a﹣b＝0，判断①②；抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0），（﹣3，0）两点之间，由对称性知另一个交点在（1，0），（0，0）之间，得y＝a+b+c＜0，于是，进一步推知﹣30，由根与系数关系知﹣3＜x1•x2＜0判断③；顶点纵坐标为，抛物线与x轴的两交点间的距离为，两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，12判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＝2a＜0， ∴bc＜0，故①正确； 2a﹣b＝0，故②不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点位于（﹣2，0），（﹣3，0）两点之间，对称轴为直线x＝﹣1， ∴另一个交点在（1，0），（0，0）之间， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， ∴， ∵a＜0，c＞0， ∴﹣3＜a＜0， ∵x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴， ∴﹣3＜x1•x2＜0，故③正确； ∵顶点纵坐标为，，， ∴， ∵抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图△ABD， ∴AB＝AD＝BD， ∵AE⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵a＜0，b2﹣4ac＞0， ∴， ∴， ∴， ∴b2﹣4ac＝12， 故④正确； ∴正确的有①③④，共3个． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据等边三角形的性质得出AD＝3，，C（3，k），A（0，9a+k），将点A代入抛物线解析式，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 由条件可知AD＝3，，C（3，k）． ∵当x＝0时，y＝9a+k， ∴A（0，9a+k）， ∴， ∴． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可． 【解答】解：由函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0）、B关于对称轴对称， ∴B的坐标为（3，0）， ∴当x＝2时，函数值y＞0， 即：4a+2b+c＞0，故②正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴，b＝﹣2a，a+b＝﹣a， ∵﹣a＞0， ∴a+b＜0，故③错误； 由A点坐标可得：a﹣b+c＝0， 将b＝﹣2a代入可得：c＝﹣3a， ∴c﹣4b＝﹣3a﹣4（﹣2a）＝5a＜0， 即：c＜4b，故④正确； 由题意，A、B是关于对称轴对称的，C为顶点， 当△ABC是等腰直角三角形，则 ∴a+b+c＝2 又c＝﹣3a，a+b＝﹣a ∴；故⑤错误； ∴正确的有：①②④， 故选：B． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】（3，1）或）或（3，14）． 【分析】求得B、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据等腰三角的定义，可得关于b的方程，根据解方程，可得b的值，可得M点坐标． 【解答】解：由y＝﹣x+5， 当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5， ∴C（0，5），B（5，0）， 将B、C点坐标代入函数解析式y＝x2+bx+c，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5， ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即P（3，﹣4）， ∴对称轴为x＝3， 设M（3，b），则MP＝|b+4|，CP3，MC， 当MC＝MP时，|b+4|， 化简，得18b＝18， 解得b＝1，即M（3，1）； 当MC＝CP时，3， 化简，得b2﹣10b﹣56＝0， 解得b＝14，b＝﹣4（舍），即M（3，14）； 当MP＝CP时，|b+4|＝3， 化简，得b2+8b﹣74＝0， 解得b＝﹣4+3，b＝﹣4﹣3（舍去）， M（3，﹣4+3）， 综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标（3，1）或）或或（3，14）． 10．【答案】8 【分析】由抛物线表达式求出与x轴交点坐标，由图可以看出此抛物线关于y轴对称，求出顶点坐标，便可求出三角形的面积． 【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4＝（x﹣2）×（x+2） 则抛物线与x轴地交点坐标为：（2，0），（﹣2，0）， ∵抛物线关于y轴对称， 故顶点在y轴上， 令x＝0，得y＝﹣4 ∴三角形的面积为：8． 11．【答案】3． 【分析】利用“k型全等”求得B点的坐标，代入y＝x2即可求解． 【解答】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D， 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，则AC＝BC， ∵A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1）， ∴AD＝1，BE＝b， ∵点A、B在抛物线y＝x2上， ∴A（1，1），B（b，b2）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， ∴△BEC≌△CDA（AAS）， ∴CE＝AD＝1，CD＝BE＝b， ∴OE＝OD+CD+CE＝1+b+1＝2+b， ∴b2＝2+b， 整理b2﹣b﹣2＝0， 解得：b＝3或﹣1（舍去）， ∴b的值为3， 故答案为：3． 12．【答案】①②④ 【分析】利用待定系数法，二次函数的性质，等边直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可． 【解答】解：把A（﹣3，0），B（1，0），代入y＝ax2+bx+c得到， 消去c得到2a﹣b＝0， 故①正确； ∴b＝2a， 又a+b+c＝0， ∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0， 故②正确； 如图，设对称轴与x轴相交于点E， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝4， ∵△ABC是等边三角形，CE⊥AB， ∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，AEAB＝2， ∴，OE＝AO﹣AE＝1， ∴C（﹣1，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）2， ∵抛物线经过点B（1，0）， ∴0＝a， ∴a， 故③错误； ∵方程|ax2+bx+c|＝2有四个根， ∴方程ax2+bx+c＝2有两个根，ax2+bx+c＝﹣2有两个根， 设方程ax2+bx+c＝2有两个根为x1＞x2，ax2+bx+c＝﹣2有两个根为x3＞x4， ∴，， ∴x1+x2+x3+x4＝﹣4． 故④正确． 故答案为：①②④． 13．【答案】． 【分析】先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令x＝0，即可求得点D的坐标，然后求得CD的长即可． 【解答】解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1，x2＝1， ∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（1，0）， ∵AB是半圆的直径， ∴， 当x＝0时，， ∴D点坐标为， ∴OD， ∴． 故答案为：． 14．【答案】1． 【分析】依据题意，过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解． 【解答】解：对于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，解得x＝1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3）， 函数的对称轴为直线x2，则点D（4，3）， 过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED， 则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小， 则DE+EF最小＝HF＝HB﹣111． 故答案为：1． 15．【答案】3+2． 【分析】作点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，3），将点D向下平移2个单位得到点E（2，1），连接AE交抛物线对称轴于点Q，将点Q向上平移两个单位得到点P，则此时，四边形ACPQ周长的最小，进而求解． 【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）， 令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝3或﹣1，即点A（﹣1，0），点B（3，0）， 则抛物线的对称轴为x＝1， 作点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，3），将点D向下平移2个单位得到点E（2，1）， 连接AE交抛物线对称轴于点Q，将点Q向上平移两个单位得到点P，则此时，四边形ACPQ周长的最小， ∵DE∥PQ且DE＝PQ，则四边形DEQP为平行四边形，则PD＝QE， 由抛物线的对称性知，PC＝DP， 则四边形ACPQ周长＝AC+PQ+CP+AQ＝AC+PQ+QE+AQ＝AC+PQ+AE为最小， 即四边形ACPQ周长的最小值＝AC+PQ+AE33+2， 故答案为：3+2． 16．【答案】（0，3）；（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）． 【分析】令x＝0，代入抛物线y＝﹣x2+2x+3求解可得点C的坐标；分情况讨论，当BC、BP、BQ分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中， 令x＝0， 解得y＝3， 故点C的坐标为（0，3）； 若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3， 故点B的坐标为（3，0）； ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴设点Q（1，q），P（p，﹣p2+2p+3）； 当BC为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点P（2，3）； 当BP为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点P（﹣2，﹣5）； 当BQ为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点P（4，﹣5）； 综上，点P的坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）； （3）（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出直线BD的解析式，得到点E，F的坐标，根据面积公式得到四边形EFOC的面积，再根据二次函数的性质得到最值； （3）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，分当P点在x轴上方时和当P点在x轴下方时两种情况讨论． 【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2﹣2x+c 得， 解得， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由抛物线解析式y＝﹣x2﹣2x+3知：顶点D（﹣1，4） 设BD所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0） ， 解得：， ∴BD所在直线解析式：y＝2x+6， ∵E在BD上， ∴E（m，2m+6），﹣3≤m≤﹣1． 当x＝0时，y＝0+0+3＝3， ∴C（0，3）， 由题意可知，OC＝3，OF＝﹣m，EF＝2m+6， ∴， ∴当时，； （3）抛物线的对称轴为x＝﹣1， 当P点在x轴下方时，如图2，易知A′与B重合， ∵AP＝A′P，∠APA′＝90°， ∴△APA′为等腰直角三角形， ∴PQ＝AQ＝2， ∴P（﹣1，﹣2）； 当P点在x轴上方时，如图1，易知点A′与点C重合， 过点A′作A′M⊥直线x＝﹣1，垂足为M，则∠MPA′+∠MCP＝90°， ∵∠APA′＝90°， ∵AP＝A′P， ∴△MPC≌△QAP（AAS）， ∴PQ＝MC＝1， ∴P（﹣1，1）， 综上所述，P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 18．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8； （2）四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）； （3）存在，M点坐标为（﹣22，0）或（3，0）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8），所以四边形ABPC面积6×84×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+32，当t＝2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）； （3）先求出P（3，5），设M（x，0），分别求出MP2＝（x﹣3）2+25，MB2＝（x﹣4）2，BP2＝26，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，8）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+8， ∴4k+8＝0， 解得k＝﹣2， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8， 过点P作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8）， ∴PQ＝﹣t2+2t+8+2t﹣8＝﹣t2+4t， ∵AO＝2，CO＝8， ∴四边形ABPC面积6×84×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+32， ∵点P在直线BC上方， ∴0＜t＜4， ∴当t＝2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当x＝3时，y＝5， ∴P（3，5）， 设M（x，0）， ∴MP2＝（x﹣3）2+25，MB2＝（x﹣4）2，BP2＝26， ①当MP为斜边时，（x﹣3）2+25＝（x﹣4）2+26， 解得x＝4， ∴M（4，0）（舍）； ②当MB为斜边时，（x﹣4）2＝（x﹣3）2+25+26， 解得x＝﹣22， ∴M（﹣22，0）； 19．【答案】（1）； （2）m的值为； （3）（1，0）或（﹣9，0）或（4，0）或． 【分析】（1）将点A、C的坐标代入y＝ax2+bx+3即可； （2）利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，推出D点纵坐标，再由E点纵坐标得到ED长度，根据，即可推出答案； （3）设点F的坐标为（t，0），由A（﹣4，0），B（0，3）可知，AB2＝25，AF2＝（t+4）2，BF2＝t2+9，根据题意，分类讨论：①当AB＝AF时，②当AB＝BF时，③当AF＝BF时，三种情况分别讨论求解即可． 【解答】解：（1）知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0），C（1，0），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）抛物线与y轴交于点B， 当x＝0时，得：y＝3， ∴B（0，3）； 设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将点A，点B的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵M（m，0），EM⊥AO，点E、D分别是抛物线和直线AB上的点， ∴D点坐标为，E点坐标为， ∴， ∵，AO＝4， ∴， 解得：，， ∵，，符合点M（m，0）是线段OA上的一个动点， ∴m的值为； （3）点F的坐标为（1，0）或（﹣9，0）或（4，0）或．理由如下： 设点F的坐标为：（t，0）， 由A（﹣4，0），B（0，3）可知，AB2＝25，AF2＝（t+4）2，BF2＝t2+9， 若△ABF是等腰三角形，则： ①当AB＝AF时，即AB2＝AF2，得（t+4）2＝25， 解得：t1＝1，t2＝﹣9， ∴点F的坐标为（1，0）或（﹣9，0）； ②当AB＝BF时，即AB2＝BF2，得t2+9＝25， 解得：t1＝4，t2＝﹣4（舍去）， ∴点F的坐标为（4，0）； ③当AF＝BF时，即AF2＝BF2，得t2+9＝（t+4）2， 解得：， ∴点F的坐标为； 综上所述，△ABF恰好是等腰三角形时，点F的坐标为（1，0）或（﹣9，0）或（4，0）或． 20．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小；点P坐标为（1，2）； （3）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）或（1，2）或． 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值为AC+CP+AP＝AC+CB，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为（1，m），则MA2＝（1+1）2+m2＝4+m2，MC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，AC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣0）2＝10，分∠ACM＝90°、∠AMC＝90°、∠CAM＝90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小；理由如下： 如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值为AC+CP+AP＝AC+CB， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵当x＝1时，得：y＝﹣x+3＝2， ∴当△PAC周长最小时，点P的坐标为（1，2）； （3）点M的坐标为（1，1）或（1，2）或．理由如下： 如图2，设点M的坐标为（1，m）， 由勾股定理得：MA2＝（1+1）2+m2＝4+m2，MC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，AC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣0）2＝10， 此时分三种情况考虑： ①当∠ACM＝90°时，由勾股定理得：AM2＝AC2+CM2，即4+m2＝10+1+（m﹣3）2， 解得：， ∴点M的坐标为； ②当∠AMC＝90°时，由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即10＝4+m2+1+（m﹣3）2， 解得：m1＝1，m2＝2， ∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）； ③当∠CAM＝90°时，由勾股定理得：CM2＝AM2+AC2，即1+（m﹣3）2＝4+m2+10， 解得：， ∴点M的坐标为（不合题意，舍去）， 综上所述，当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）或（1，2）或． 21．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）当时，S有最大，最大为值为； （3）点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣1，﹣2）或（﹣2，﹣1）或（﹣4，1）． 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出m＝﹣1，得到A（﹣3，0），B（1，0），代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出抛物线的解析式； （2）由PQ∥y轴得到点Q的横坐标为t，设直线AC的解析式为y＝mx+n，求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，得到点P（t，﹣t﹣3），进而得到PQ解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）可知直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设P（a，﹣a﹣3），则Q（a，a2+2a﹣3），得到PQ＝|a2+3a|，分⊙P与x轴相切、⊙P与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1， ∴点A和点B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称， ∴， 解得：m＝﹣1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 将点A，点B的坐标分别代入抛物线y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，PQ∥y轴，点P的横坐标为t， ∴点Q的横坐标为t，点Q（t，t2+2t﹣3）， 抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， ∴点P（t，﹣t﹣3）， ∴， ∴当时，PQ最大， ∴； （3）由（2）可知直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， ∵点P是直线AC一动点，PQ∥y轴，点Q在抛物线上， 设P（a，﹣a﹣3），则Q（a，a2+2a﹣3）， ∴PQ＝|a2+2a﹣3﹣（﹣a﹣3）|＝|a2+3a|， 当⊙P与x轴相切时，|a2+3a|＝|﹣a﹣3|， 则a2+3a＝a+3或a2+3a＝﹣a﹣3， 解得：a1＝1，a2＝﹣3或a1＝﹣1，a2＝﹣3； 当a＝﹣3时，点P、Q重合，不合题意； 当a＝1时，可有﹣a﹣3＝﹣4，即P（1，﹣4）； 当a＝﹣1时，可有﹣a﹣3＝﹣2，即P（﹣1，﹣2）； 当⊙P与y轴相切时，|a2+3a|＝|a|， 则a2+3a＝a或a2+3a＝﹣a， 解得：a1＝0，a2＝﹣2或a1＝0，a2＝﹣4； 当a＝0时，点P、Q重合，不合题意； 当a＝﹣2时，可有﹣a﹣3＝﹣1，即P（﹣2，﹣1）； 当a＝﹣4时，可有﹣a﹣3＝1，即P（﹣4，1）； 综上所述，⊙P与x轴相切时，点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣1，﹣2）或（﹣2，﹣1）或（﹣4，1）， 故答案为：（1，﹣4）或（﹣1，﹣2）或（﹣2，﹣1）或（﹣4，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $