2026年中考数学重难点一轮复习：专题18 二次函数与方程、二次函数与其他函数

专题18 二次函数与方程、二次函数与其他函数 一、选择题（共8小题） 1．（2025•兖州区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①b＜0；②4ac﹣b2＜0；③a﹣b+c＜0；④3a＞﹣c；⑤ak2+bk≤a﹣b（k为任意实数）；⑥若（﹣3，y1），（1，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确结论的是（　　） A．①②③⑥ B．①②④⑤ C．①②③④⑤⑥ D．①②⑤ 2．（2025•咸安区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025•城关区校级模拟）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞4 D．0＜a＜4 4．（2025•原州区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 5．（2025•江城区一模）关于二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 6．（2025•枣庄校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有（　　）个． ①abc＞0； ②9a﹣3b+c＞0； ③； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025•昌吉州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2025•城西区校级三模）如图是抛物线（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；⑤方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根；其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共8小题） 9．（2025•路南区校级三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x1＝7，则另一个根x2为 　 　 ． 10．（2025•苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 　 ． 11．（2025•包河区校级三模）关于x的二次函数y＝mx2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 　 　 ． 12．（2025•泰州模拟）已知在一次函数y＝mx+3（m≠0）中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数y＝x2+4x+m与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为　 　 ． 13．（2025•金凤区校级四模）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则k的取值范围是 　 　 ． 14．（2025•武进区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　 　 15．（2025•铁岭模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　 　 ． 16．（2025•兴庆区校级三模）一次函数y＝x+4﹣2n，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则n的取值范围是　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2025•昭阳区校级模拟）已知关于x的二次函数y＝mx2+（3m+1）x+3． （1）求证：不论m为任何实数，方程mx2+（3m+1）x+3＝0有实数根； （2）若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上（点P，Q不重合），且y1＝y2，求代数式的值． 18．（2025•东莞市校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象与x轴交于点A和点B，点A在点B的左边． （1）若m＝1，求点A和点B的坐标，并求此时函数的最小值； （2）当1≤x≤4时，函数有最小值﹣3，求常数m的值． 19．（2025•宝鸡模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．且该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求该抛物线的表达式和顶点D的坐标． （2）连接AC交抛物线的对称轴于点E，连接BE，在抛物线上是否存在点F，使S△ABE＝2S△ABF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025•西丰县校级二模）【概念感知】如果两个二次函数的常数项相同，二次项系数互为相反数，我们称这两个二次函数互为同反函数． 【概念理解】 （1）直接写出二次函数y＝x2﹣3x﹣4的一个同反函数的解析式：　 　 ． 【概念应用】 （2）若二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的图象与x轴只有一个交点，求满足条件的y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式． （3）如图，二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的图象经过点B，设B点的横坐标为c．将二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象上x＜0和x＞c的部分记为G1，将二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的图象上（0≤x≤c）的部分记为G2，由图象G1和G2组成的图象记为G．点M（t，m）和点是图象G上两点．当m﹣n＝4时，求t的值． 21．（2025秋•工业园区校级月考）问题背景：对于一个函数，如果存在x0＝m时，y0＝m，那么我们称点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．探究 （1）若点（a+1，2a）是一次函数y＝kx+4的不动点，求k的值； （2）求二次函数y＝x2+x﹣4图象的不动点； （3）若二次函数y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】D 【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线对称轴为， ∴b＝2a＜0，故①正确． 该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确． 由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故③错误． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴a+2a+c＜0， ∴3a＜﹣c，故④错误． ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最大值， ∴ak2+bk+c≤a﹣b+c，即ak2+bk≤a﹣b（k为任意实数），故⑤正确． ∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|1﹣（﹣1）|＝2， ∴点（﹣3，y1），（1，y2）关于抛物线对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故⑥错误． 综上所述，正确的是①②⑤． 故选：D． 2．【答案】D 【分析】利用对称轴公式即可求得2a﹣b即可判断①；利用抛物线的对称性即可判断②；由抛物线与直线y＝1一定有两个交点，即可判断③；由当x＝1时，y＞0即可判断④． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1， ∴1， ∴2a﹣b＝0，故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在1和2之间， ∴另一个交点在﹣4和﹣3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点纵坐标是2， ∴抛物线与直线y＝1一定有两个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根，故③正确； ∵抛物线开口向下，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间， ∴当x＝1时，y＞0， ∴a+b+2＞0， ∴a+b＞﹣2，故④正确． 故选：D． 3．【答案】C 【分析】根据无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函数的图象在x轴的上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断． 【解答】解：∵无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象在x轴的上方， ∴a＞0，b2﹣4ac＜0， 即（﹣4）2﹣4a＜0， 解得a＞4， 故选：C． 4．【答案】C 【分析】依据题意，可得抛物线随x的增大而增大，又当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0，故可得判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.19＜x＜﹣7.18． 故选：C． 5．【答案】A 【分析】令y＝0，得到关于x的一元二次方程，然后由Δ＞0即可判断． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣3x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0， ∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个交点， 故选：A． 6．【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点）， 由图可知抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴a，b符号相同， ∴b＞0， ∵与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点）， ∴﹣3＜c＜﹣2＜0， ∴abc＜0， 故①不正确； 对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， ∴与x轴交于另一点为（﹣3，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0， 故②不正确； 由题意可得方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝﹣3， ∵， ∴c＝﹣3a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， ∴， 故③正确； 若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n）， 则直线y＝x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∵直线y＝x+1过第一、二、三象限且过点（﹣1，0）， ∴直线y＝x+1与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示， 由图象可知﹣3＜m＜1＜n， 故④正确； 故选：B． 7．【答案】D 【分析】由图象可知，当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；由图象知，抛物线y2＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（3，0），可知x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；由三角形的面积公式可得△ABO的面积是7.5；利用待定系数法求出抛物线的解析式为y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，可得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是﹣4＜y2＜5． 【解答】解：由图象可知，当﹣2＜x＜3时，y1＞y2， 故结论①正确； ∵抛物线y2＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（-3，0）， ∴x＝3不是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解， 故结论②不正确； △ABO的面积是7.5， 故结论③不正确； 将A（3，0），B（﹣2，5）代入y2＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是﹣4＜y2＜5， 故结论③④不正确． 综上所述，正确结论的个数是1个． 故选：D． 8．【答案】C 【分析】①依据题意可得：a＞0．b＞0，c＜0，abc＜0，故结论①不正确； ②依据题意，由其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），则1，从而b＝2a，故②正确； ③依据题意，由抛物线的顶点A为（﹣1，﹣3），则对称轴是直线x＝﹣1，又与x轴的一个交点为B（﹣3，0），则另一个与x轴的交点为（﹣1+2，0），即（1，0），故③错误； ④依据题意，由抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A，B两点，则当ax2+bx+c＜mx+n时，﹣3＜x＜﹣1，即不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1，故结论④正确； ⑤依据题意，由抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为A（﹣1，﹣3），可得抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故结论④正确． 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴在y轴右边， ∴0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①错误； ②由题意，∵其顶点坐标为A（﹣1，﹣3）， ∴1． ∴b＝2a，故②正确； ③由题意，∵抛物线的顶点A为（﹣1，﹣3）， ∴对称轴是直线x＝﹣1． 又∵与x轴的一个交点为B（﹣3，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣1+2，0），即（1，0），故③错误； ④由题意，∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A，B两点， ∴当ax2+bx+c＜mx+n时，﹣3＜x＜﹣1，即不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1，故结论④正确； ⑤∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为A（﹣1，﹣3）， ∴抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y＝﹣3只有一个交点， ∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故结论⑤正确． 综上，正确的有②④⑤共3个． 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】1． 【分析】依据题意，由抛物线的对称轴是直线x＝3，又方程ax2+bx+c＝0的一个根为x1＝7，进而可以对称性可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝3， 又∵方程ax2+bx+c＝0的一个根为x1＝7， ∴根据对称性可得，另一个根x2＝1． 故答案为：1． 10．【答案】2． 【分析】列出方程组求出a、b、c的值，则方程ax2+bx﹣2c＝0为mx22m＝0，即可求解． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则方程ax2+bx﹣2c＝0为mx22m＝0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 11．【答案】4． 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到Δ＝0，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝m2﹣4m＝0且m≠0， 解得：m＝4； 故答案为：4． 12．【答案】6． 【分析】根据一次函数的性质，y随x增大而增大，可得m＞0；根据二次函数与x轴有两个交点，可得对应一元二次方程的判别式大于0，即m＜4．因此m的取值范围为0＜m＜4，整数m为1、2、3，求和即可． 【解答】解：∵一次函数y＝mx+3（m≠0）中，y的值随x的增大而增大， ∴m＞0， ∵二次函数y＝x2+4x+m与x轴有两个交点， ∴方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴判别式Δ＝16﹣4m＞0，解得m＜4， ∴0＜m＜4， ∵m为整数， ∴m可取1、2、3， ∴满足条件的整数m的值之和为1+2+3＝6， 故答案为：6． 13．【答案】且k≠1． 【分析】由题意可得，解不等式组即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点， ∴， 解得且k≠1． 故答案为：且k≠1． 14．【答案】x＜﹣3或x＞1． 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q， 如图，设抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P、Q两点， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方， ∴ax2+c＞﹣mx+n即ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 15．【答案】2＜x＜5 【分析】根据图象及点A，B坐标求解． 【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方， ∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n， 故答案为：2＜x＜5． 16．【答案】﹣1＜n＜1． 【分析】根据反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【解答】解：根据题意得， 解得﹣1＜n＜1， ∴n的取值范围是﹣1＜n＜1． 故答案为：﹣1＜n＜1． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）见解析；（2）26． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（3m﹣1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程mx2+（3m+1）x+3＝0得到抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（，0），由于抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，于是得到m＝1，从而得到抛物线解析式；利用二次函数图象上点的坐标特征得到y14x1+3，y2＝（x1+n）2+4（x1+n）+3，则4x1+3＝（x1+n）2+4（x1+n）+3，变形得到n（2x1+n+4）＝0，由于n≠0，所以2x1＝﹣n﹣4，然后把412x1n+5n2+16n+8变形为（2x1）2+6n•2x1+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法化简代数式即可． 【解答】（1）证明：∵函数y＝mx2+（3m+1）x+3为二次函数， ∴m≠0， ∵Δ＝（3m+1）2﹣12m＝（3m﹣1）2≥0， ∴方程mx2+（3m+1）x+3＝0总有实数根； （2）解：令y＝0，mx2+（3m+1）x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（，0）， ∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ∴m＝1， ∴抛物线为y＝x2+4x+3； ∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线y＝x2+4x+3上， ∴y14x1+3，y2＝（x1+n）2+4（x1+n）+3， ∵y1＝y2， ∴4x1+3＝（x1+n）2+4（x1+n）+3， 整理得2x1n+n2+4n＝0， ∴n（2x1+n+4）＝0， ∵点P，Q不重合， ∴n≠0， ∴2x1＝﹣n﹣4， ∴412x1n+5n2+16n+8＝（2x1）2+6n•2x1+5n2+16n+8＝（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8＝26． 18．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），函数的最小值为﹣4， （2）m＝0或m＝5． 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式即可得到函数的最小值，解方程x2﹣2x﹣3＝0即可得到点A和点B的坐标； （2）根据对称轴的位置分三种情况进行讨论解答即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象与x轴交于点A和点B，点A在点B的左边． 当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4 ∵a＝1＞0， ∴当x＝1时，函数的最小值为﹣4， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解答x1＝3，x2＝﹣1， ∵点A在点B的左边． ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， 当m≤1时，则当x＝1时，y取得最小值为﹣3， 即12﹣2m+m2﹣4＝﹣3， 解答m1＝0，m2＝2（不合题意，舍去） 当m≥4时，则当x＝4时，y取得最小值为﹣3， 即42﹣8m+m2﹣4＝﹣3， 解答m1＝5，m2＝3（不合题意，舍去）， 当1＜m＜4时，则当x＝m时，y取得最小值为﹣3， 即m2﹣2m2+m2﹣4＝﹣3，方程无解， 综上可知，m＝0或m＝5． 19．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，（﹣1，﹣4）； （2）存在，或或或． 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得AC所在直线的表达式为y＝﹣x﹣3．得出E（﹣1，﹣2），根据S△ABE＝2S△ABF求得|yE|＝2|yF|＝2，进而根据，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）． （2）存在． 连接AC交抛物线的对称轴于点E，连接BE， 设AC所在直线的表达式为y＝mx+n（m≠0）， 解得 ∴AC所在直线的表达式为y＝﹣x﹣3． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2， ∴， 即x2+2x﹣3＝1或x2+2x﹣3＝﹣1． 解x2+2x﹣3＝1，得，； 解x2+2x﹣3＝﹣1，得，， ∴点F的坐标为或或或． 20．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x﹣4（答案不唯一）；（2）y＝﹣x2+4x﹣4或 y＝﹣x2﹣4x﹣4；（3）或． 【分析】（1）依据题意，根据同反函数的意义：常数项相同，二次项系数互为相反数，进而可以得解； （2）依据题意，设y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为y＝﹣x2+ax﹣4，又二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的图象与x轴只有一个交点，则Δ＝a2﹣16＝0，求出a后即可判断得解； （3）依据题意，设经过点B的二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为 y＝﹣x2+bx﹣4．又在y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，即x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，可得B（4，0）． 将B（4，0）代入 y＝﹣x2+bx﹣4，求出b＝5，故经过点B 的二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4，然后分①时、②3＜t≤4时和③t＞4时三种情形讨论计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意，根据同反函数的意义：常数项相同，二次项系数互为相反数， ∵二次函数为y＝x2﹣3x﹣4， ∴其同反函数可能为y＝﹣x2﹣3x﹣4（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2﹣3x﹣4（答案不唯一）． （2）由题意，设y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为y＝﹣x2+ax﹣4， ∵二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝a2﹣16＝0． ∴a＝±4， ∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣4或y＝﹣x2﹣4x﹣4． （3）由题意，设经过点B的二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为 y＝﹣x2+bx﹣4． 在y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，即x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1． ∵点A在点B的左侧， ∴B（4，0）． 将B（4，0）代入y＝﹣x2+bx﹣4，得0＝﹣42+4b﹣4， ∴b＝5， ∴经过点B的二次函数y＝x2﹣3x﹣4的同反函数的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4． ①当 时，点M（t，m）和点N（3﹣t，n）都在图象G2上， ∴m＝﹣t2+5t﹣4，n＝﹣（3﹣t）2+5（3﹣t）﹣4． ∵m﹣n＝4， ∴﹣t2+5t﹣4﹣[﹣（3﹣t）2+5（3﹣t）﹣4]＝4，解得 ． ②当3＜t≤4时，点M（t，m）在图象G2上，点N（3﹣t，n）在图象G1上， ∴m＝﹣t2+5t﹣4，n＝（3﹣t）2﹣3（3﹣t）﹣4． ∵m﹣n＝4， ∴﹣t2+5t﹣4﹣[（3﹣t）2﹣3（3﹣t）﹣4]＝4，解得 ． ∵3＜t≤4， ∴． ③当t＞4时，点M（t，m）和点N（3﹣t，n）都在图象G1上，此时m＝n，不满足m﹣n＝4． 综上所述，t的值为 或． 21．【答案】（1）k＝﹣1； （2）（2，2），（﹣2，﹣2）； （3）b2+b＝c． 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据不动点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组即可求解； （3）求得二次函数y＝x2﹣2bx+c的顶点即可解答． 【解答】解：（1）∵点（a+1，2a）是一次函数y＝kx+4（k≠0）的不动点， ∴a+1＝2a， 解得：a＝1， ∴点（a+1，2a）的坐标为（2，2）， 将（2，2）代入y＝kx+4得： 2＝2k+4， 解得：k＝﹣1； （2）根据题意联立得：， 解得，； ∴二次函数y＝x2+x﹣4图象的不动点分别是：（2，2），（﹣2，﹣2）； （3）y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2﹣b2+c， 则二次函数y＝x2﹣2bx+c的顶点为（b，﹣b2+c）， 根据题意可得b＝﹣b2+c，即b2+b＝c． 学科网（北京）股份有限公司 $