精品解析：山东省济宁市任城区济宁学院附属中学2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题 (五四学制)

2025-2026学年度第一学期期末考试 初三数学试卷(附中) 一．选择题（满分30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分，90分，80分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为_______ 分． 12. 如图，五边形的一个内角，则等于_________． 13. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离为_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，则AC＝_____． 15. 如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 17. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 19. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 20. 如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． （1）求度数； （2）连，取中点G，连接，若，求的长． 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 22. 课本在线： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长，并写出求解过程． ②如图3，当点在线段的延长线上运动时，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，请用含，的式子直接写出与的差值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试 初三数学试卷(附中) 一．选择题（满分30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项B：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项C：，将多项式化为整式的积，符合因式分解定义； 选项D：，右边不是积的形式． 故选：C． 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 4. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据“多边形的内角和等于它外角和的3倍”列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 ， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 7. 如图，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理与内角和定理，利用旋转性质转化条件是解题关键． 先根据旋转性质得到且，再利用三角形外角定理求出的度数，最后结合等腰三角形的性质与内角和定理，计算出旋转角． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转角度得到， ，，， ，， ， ． 故选：． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形和直角三角形的性质是解题关键． 先利用菱形的面积公式求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出，从而计算出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 9. 长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分，90分，80分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为_______ 分． 【答案】83 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义，运用加权平均数计算公式进行计算即可． 【详解】解：小鹿的最终成绩为（分） 故答案为：83． 12. 如图，五边形的一个内角，则等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和定理，内角与外角的关系，掌握多边形外角和定理是解题关键． 先求出的外角，再用减去该外角，即可得到． 【详解】解：， 的外角为， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，图形平移的性质，平行四边形的判定与面积公式，掌握平行四边形的面积公式是解题关键． 先在直角三角形中求出，再根据平移性质判断出四边形是平行四边形，最后用面积公式求出平移距离． 【详解】解：，，， ， 将沿方向向右平移得到， ，，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，则AC＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA=OB，设OA=OB=x，则OE=x-2，在中，由勾股定理列出方程，解方程求出OA，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∴OA=OB， 设OA=OB=x，则OE=x-2， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， 由勾股定理得：， 即 ， 解得： ∴ ∴AC=2OA=10； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， 分别为，的中点， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 本题根据平行四边形的性质可得，再根据分别为，的中点，可得，然后证明，然后即可求解； 【详解】略 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得​． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 20. 如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． （1）求度数； （2）连，取中点G，连接，若，求的长． 【答案】（1）90度 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到．结合即可． （2）连接，取中点G，连接、，证明四边形为矩形．再利用勾股定理得． 【小问1详解】 证明：∵D、E、F分别是的中点， ∴． ∴． ∴， 【小问2详解】 解：连接，， ∵G、F分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵E、F、G，D分别是、、、的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 课本在线： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长，并写出求解过程． ②如图3，当点在线段的延长线上运动时，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，请用含，的式子直接写出与的差值． 【答案】（1）；（2）24；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得到，， ，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）①连接，作于，根据矩形的性质得到，由折叠性质以及等腰三角形的判定与定理得到，再根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到．于是得到结论；②连接，作于．根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）连接，如图1所示， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ； （2）①如图，连接，作于， 则四边形是矩形，， 矩形沿直线折叠， ，， ， ， ， ， ，， ，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长； ②如图，连接，作于． 矩形沿直线折叠， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，利用面积法得出等底的几个三角形之间高的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $