广东揭阳第一中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度揭阳一中105届高二级第一学期期末考 数学科试卷 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-x2+2x+3>0,B={x0<x≤4}，则A∩B=() A.[0,3) B.(0,3) c.(-1,0) D.（-1,4] 2.已知复数2=1-1，则2+41=（) A.-1+3i B.3+3引 C.3+i D.-1+i 3.直线2c+y-6k+1=0(k∈R)经过定点P,则点P为)】 A.(1,3 8.(3,) C.(-1,-3) D.(3,-1) 4已知sin9=,且0是第三象限的角，则s加2以 =() c0s20+1 3 A. 3 B. 4 C.3 4 D.、4 3 5已知{Q,}是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为S.,若4a,4,24,成等差数列，则=() S A.9 B.2 C. 6.若点G是△ABC所在平面上一点，且AG+BG+CG=0,H是直线BG上一点，A日=xAB+yAC, 则x2+4y2的最小值是(). A.2 B.1 c 1.已知5分别是双雷线号若=(e>06>0的左，右焦点，P为双自线右支上一点 ∠FPF2=60,∠FPF的角平分线PA交x轴于点A,FA=3AF,则双曲线的离心率为() A.5 B. 万 C.5 D.3 2 8设/（闵是定义在(-om,0U0,+)上的奇函数，对任意的，xe0,+o)满足/）-f),0 X-x2 且f(3)=15,则不等式f(x)>5x的解集为() A.（-0,3) B.（-∞，3U(3,+∞)c.(（-∞，-3u(0,3） D.（-3,0)(3,+∞) 第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项， 每选对一个得2分。 9.关于空间向量，以下说法正确的是() A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若ab<0,则a与6的夹角是钝角 C.若向量2a,6,c-a是共面的向量，则a,6,c也是共面的向量 D.若对空间中任意一点0，有0P=1OA+0B+20C,则P,4B,C四点共面 12 10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a,<0,a,+a。>0,则下列选项正确的是（) A.数列{an}为递减数列 B.4<0 C.S,的最大值为S, D.使得Sn>0时n的最大值是13 11.“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象： C,:y=4+√-x2+4x,C2:y=4+V-x2-4x和抛物线C3:x2=2py的部 分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C,焦点F的直线I交C(包含边 界点)于A,B两点（点B在第一象限），P是C或C,上的动点，下列 说法正确的是() A.抛物线C,的方程为x2=4y B.IPB|+|FB|的最小值为5 C.若2=F丽，则直线1的斜率为5 D.若P在C上，则PA.PB的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x,则f'(仙)= 13.设直线：3x+4y+a=0,与圆C:(x-2)+（y-1)=25交于A,B,且AB=6,则a的值 是」 14点P在△A8C所在的平面a外，且PALa,PB=C-厅，n∠BPC-答当A到平面 PBC的距离最大时，△ABC的面积为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)》 某校某次数学考试全体学生的成绩都在[50,100]内，某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究， 随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] 个频率/组距 0.040 0.030 0.020 5060708090100成绩 (1)求图中a的值；根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的80%分位数； (2)从成绩区间是[70,80)，[80,90)的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，求在成绩区间是[80,90)的这组中恰好抽到1人的概率， 16.(本小题15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C, 且3a=V3 csin B+3 bcos C, (1)求B; 2若D是边AC的中点，a=2,BD=四 求△ABC的面积； 第3页共4页 17.(本小题15分) 如图所示，在三棱柱BC-A2G,中，AC=BC=5AB, 2 且△AAC为等边三角形，D是AC的中点，，AD⊥AB (1)证明：AA⊥BC: D (2)求平面ABBA与平面ACB所成角的正弦值. 18.(本小题17分)》 已知椭圆c:+ 豆+=1(a>b>0)的离心率为片，且过点(0N),其左、右顶点分别为4，B,P,2 为椭圆C上异于A,B的两点. (1)求椭圆C的方程 (2)已知直线P2过定点M 10 设△PQA和△PQB的面积分别为S,S2,求S,-S2的最大值； 19.(本小题17分) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn满足8Sn=a+4an+3,4,>1,数列{bn}满足b=a且 bn1=2bn-1. (1)证明：数列{b,-1}是等比数列，并求数列bn}的通项公式： 2若c,=点-1 6,数列c,}的前0项和为，证明：工<写 (3)若an≤2(b,-1)对任意正整数n恒成立，求2的取值范围. 第4页共4页20252026学年度揭阳一中105届高二级第一学期期末考数学参考答案 1-8 BADB ACBC 9.ACD 10.AC11.ABC12.2e13.10或-3014.22 1.B由-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,所以A=（-1,3),所以A∩B=(0,3). 2.A 2+4i_2+4i_2+40+）_2+21+4i+4=2+6i=-1+31 1-i(1-i)0+i）1-i 2 3.D直线方程可整理为：(2x-6)k+(y+1)=0,则当x=3时，y=-1,P(3,-1) 5,ana=-3 4B因为n9=},且9是第二象限的角，则c0s9= 4 所以sin29=2sin6cos8 c0s28+12cos28-1+1 tan8=-3 4 5.A设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),因为4a2,a,2a等差数列，所以a4=2a2+a,即 -9-20,解得-1信去或=2，所以空号1*9= 6.C设G(x,y),Ax,月，B(x2,2),C(x3,), 因为AG+BG+CG=0,所以x=+x+上】 3 y=上++当，所以点G是A4BC的重心， 3 设点D是AC的中点，则AC=2AD,B、G、D共线，如图， 又AH=xAB+2yAD.因为B、H、D三点共线，所以x+2y=1, 所以r+4r=+2广：+2-，当且仅当=2，即x=, 2 时取等号， 即x2+4的最小值是影 IPFI_IFAL-3 7B由∠FP5的角平分线PA交x轴于点4F1=3MG,得，PA 而PF-PF=2a,则PF=3a,PF=a,在△FPF中，∠FPF=60°，由 余弦定理得cos∠FPRa+Q-p,整理得w=10w4,即 2×3a×a c=,则e= =V7,所以双曲线的离心率为V 2 8C由题意可设g(y)f,因为了x)是(m,0)u0,+w)上的奇函数， 第1页共6页 则(-小-)_f四_f国-=g,即g()是（←0)u0+m)上的偶函数 -x -x 对f意5西0+w,满起)6,0，即8： f()f(x,) X1-X2 f(x)f(x2) <0,即函数g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又g(x)是偶函数，故g(x)在(-o,0)上单调递增，且f(-3)=-f(3)=-15, 当x>0时，f()>5x,即/四5=③)，即g()>g3),0<<3; 3 当r<0时，fy)>5x,即f<5=3,即g)<g(←3)，<-3， _3 综上，不等式f(x)>5x的解集为(-o,-3)U(0,3) 9.ACDA选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若db<0,则ā与b的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若2a,b,c-a是共面的向量，则存在实数m,n使得c-a=2ma+nb, 即c=(2m+1)a+b,则向量a,b,c是共面的向量，故C正确； D选项，因+子+山，则由空间向量共面的推论可知，P,48,C四点共画，故D正确 10.AC对于B,4+ao=4,+a>0,a<0,.a,>0,B选项错误； 对于A,因为数列{a,}的公差d=a,-a,<0,所以数列{a}为递减数列，A选项正确； 对于C,设Sn最大，则Sn≥SnH,S,≥S。1,所以an≥0，an1≤0，故n=7, 所以S,的最大值为S,C选项正确； 对于D,:5,-14@+a）-7a.+a)>0,S=15(a+a-15a.<0, ) 2 .使得S,>0时n的最大值是14，D选项错误 11.ABC对于A,C:y=4+V-x2+4x,(x-2)+(y-4=4(≥4)，C,(2,4); 由-x2+4x≥0可得xe[0,4],当x=4时，y=4; 由图可知，抛物线过点(4,4)，代入方程可得p=2,所以抛物线C,的方程为x2=4y,A正确； 第2页共6页 对于B,抛物线的焦点F(0,1),准线方程为'：y=-1，过B向准线作垂线，垂足为B, 因为点B在第一象限，所以BC<BC,所以P在C上； 由抛物线定义可知FB=BB,,所以PB+FB曰PB+|BB,24+1=5, 当且仅当P,B重合于点(4,4)时，取到最小值，B正确； 对于C,设A(x,片)，B(,片2)，易知直线1的斜率存在，设直线1的方程 为y=k+1, y=kx+1 联粒-4，r-4-4=0,△=16+16>0，则+5=4=-45 因为2AF=FB,所以2(-x,1-)=(x,y2-1),则x=-2x,代入上式， 得-=从2戏=4，消去：可得-子，C正确 对于D,当P,B重合时，PAPB=0,显然D不正确 12.因为f(x)=xe,所以f'(x)=(1+x)e,所以f')=2e, 13.因为C:(x-2)+(y-1}=25,圆心为(2,1)，半径为=5， AB=6,由垂径定理得d= (9 =V52-32=4,所以圆心到直线的距离为4. .6+4+a V32+4 =4.a=10或a=-30. 14.PB=PC=7,tanZBPC=8 =5,则有sim<BPC=8 7,cos∠BPC=15 17 由余弦定理BC=Pg+PC:-2PBPC-cos∠BPC=17+17-2x17×15=4,得BC=2, 17 PA⊥a,ABca,ACca,则有PA上AB,PA⊥AC,PB=PC=N17,则有AB=AC, D为BC中点，连接PD,AD,则有PD⊥BC,AD I BC,PAL AD, PD,ADc平面PDA,PDO AD=D,BC⊥平面PDA, 过A作AE⊥PD,交PD于点E,AEC平面PDA,BC⊥AE, B PD,BCc平面PBC,则AE⊥平面PBC,AE是A到平面PBC的距离， PD=PB:-BD2=17-1=4,PD2=16=PA+AD222PA.AD, RtPBC中，1EPD=PAAD,E=4≤=2，当且仅当PA=AD=2V2时，AE有最大 第3页共6页 值2，此时Smnc0*2x22=25. 15.解：(1)由题意，可知10×(a+0.040+0.030+0.020+a)=1,所以a=0.005; 成绩在[50,60)的频率为0.005×10=0.05，[60,70)的频率为0.040×10=0.4， [70,80)的频率为0.030×10=0.3，[80,90)的频率为0.020×10=0.2， 因为0.05+0.4+0.3=0.75<0.8,0.05+0.4+0.3+0.2=0.95>0.8， 所以第80%分位数在[80,90)之间，设为m,则0.75+(um-80)×0.020=0.8, 解得m=82.5,所以该校该次考试全体学生成绩的80%分位数为82.5； (2)根据题意，成绩区间是：[70,80)，[80,90)的两组的人数分别为100×0.3=30人，100×0.2=20人， 按照分层抽样的方式抽取的人数分别为3人，2人，分别记为a,a2,a,b,b,, 设从5人中随机抽取2人为 (a,a2),(a,a),(a,b),(a,b),(a2,a),(a,b),(a2,b),(a,b),(a3,b),(b,b)共10个基本事件； 其中成绩区间是80,90)的这组中恰好抽到1人为(a,b),(a,b),(a2,b),(a2,b),（a,b),(a,b)共6 个基本事件，从而在成绩区间是[80,90)的这组中恰好抽到1人的概率为P-6=? 105 l6.解：(1)由3a=√3 csin B+3 bcos C,则3simA=V3 sinCsin B+3 sin BeosC, sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C,3sin BcosC'+3cos Bsin(=3 sinCsin B+3sin Bcos(, 即3 cos BsinC=sin Csin B,又Ce(0,r),故sinC≠0， 则5coB=sinB,即anB=5,又Be0,,则B=S 2)由D是4C的中点，则BD=)(BA+BC),则 D-(mi+nc)-+2Bccos 即9+4+2，则+2-15=-c+5)=0,解得c=或c=5负值，舍。 则5n82x5 22 17解：(1)证明：因为△AAC为等边三角形，且D是AC的中点，所以AD1AC, 又因为AD1AB,且ACOAB=A,AC,ABC平面ABC,所以AD1平 面ABC,因为BCc平面ABC,所以4D1BC,因为AC=BC=2 AB -i 第4页共6页 所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,又因为AD∩AC=D,AD,ACC平面AAC,所以BC⊥ 平面AAC,因为AAc平面AAC,所以A4⊥BC. (2)不妨设AC=BC=2,取AC的中点为E,连接CE,可得AD/1CE 由(1)知：AD1平面ABC,所以CE1平面ABC, 以C为原点，分别以CA,CB,CE所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(2,0,0),B(0,2,0),A(,0.5),C(0,0,0), 所以CA-(05),CB=(0,20),BA=(2,-2,0),BA=(-25), mCA=x+32=0 设平面ACB的法向量为m=(x,y,),则 mCB=2y=0 取x=3,可得=-1，y=0,所以m=（3.0.-1), 设平面ABB,4的法向量为i=(x,2,22),则 7B4=x2-2y3+V3z3=0 取x=3，,可得z=V3, 7·BA=2x2-2y3=0 3V3+0-V3 √7 女3，所以=33则cosm.mm而V3+0+1xg+913)3 所以平面ABB,A与平面ACB所成角的正弦值为V1-cos2<m,n>= V42 7 即平面4BB4与平面4CB所成角的正弦值为V 7 02 18解：(1)依题意知： b=3 ，解得a=2.b=3.c=1,所以祁椭圆C的方程为：4+3三1. a2=b32+c2 (2)依题意由(1)知A(-2,0),B(2,0),直线PQ的斜率不为0. 设其方程为：=m心+P)Q(,并与椭圆C联立方程组： +号，得+4少+行=0，则+w4g-40+ -3171 -45 3x2+4y2-12=0 Sw××-,同理：S--, 第5页共6页 所以s-s=-为-0+广-4为=；6m5-34m 23m2+4 3m2+4 _12 令1=4m2+5≥5，则m2=1-5 ,所以5-S=36=12 3. 5+4+3i+ 1, 4 因为/：5，则7：、5，所以=i+,结合函数单调性定义知在+时单调遂增 3W5 所以S-S,的最大值是5 19解：)由=2b,-1,得。2，故化-号是公比为2的等比数列， b,-1 因8Sn=a+4an+3,令n=1得(a,-1)(a,-3)=0,又a>1得a1=3. 故b=a,=3，b.-1}的首项为b-1=2,故b,-1=2×2”-=2”，所以bn=2”+1. b.-1 2 1 1 ②因为，-bh0+21+2）1+21+2 T 111 1+21+231+2H3 3)因8Sn=a+4an+3,故8Sn1=a1+4an1+3,(n≥2)，作差得8an=a后-a1+4an-4an1,(n≥2) 移项得a-a1-4an-4an1=0,(n≥2)(a,+an)(am-an1-4)=0,(n≥2). 由于数列{an}是正项数列，故an-an-1-4=0,(n≥2)所以数列{an}是公差为4的等差数列， 放44+a-x4初1由%-，得号智，设物，只高求出的品 大值即阿x=4+3-,”=2可知之，<5<， 2m+1 故m=%子，故子 4 第6页共6页