第09讲 平行四边形及其性质与判定（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第09讲 平行四边形及其性质与判定（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 求平行线间的距离 题型二 利用平行线间距离解决问题 题型三 判断能否构成平行四边形 题型四 添一个条件成为平行四边形 题型五 数图形中平行四边形的个数 题型六 证明四边形是平行四边形 题型七 全等三角形拼平行四边形问题 题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 题型九 利用平行四边形性质和判定证明 题型十 平行四边形性质和判定的应用 题型十一 与三角形中位线有关的求解问题 题型十二 与三角形中位线有关的证明 题型十三 三角形中位线的实际应用 知识点一：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点二：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 知识点三：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 2. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 3. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，E为边上的三等分点（），F为边的中点，过点E，F分别作，的平行线，记交点为D．若，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，即有，根据F为边的中点，可得，再根据E为边上的三等分点（），可得，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵F为边的中点， ∴，即， ∵E为边上的三等分点（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点四：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是通过作辅助线构造中位线． 如图，过点如图，过点的中点H，连接，利用三角形中位线定理来求解的值． 【详解】如图，过点的中点H，连接， ∵是的中线， ，点是的中点， ， ， 故答案为：． 【核心考点一 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的距离，熟连掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线的距离理解解答即可． 【详解】解：∵直线向下平移个单位可与重合， ∴与的距离为， 故答案为：． 【例4】 （24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 【核心考点二 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 【例2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米，则丙的面积是 平方厘米．    【答案】27 【分析】连接，因为面积＝面积（同底等高），可得面积＝面积,同理面积＝的面积，再根据甲、乙的面积即可求出丙的面积． 【详解】解：如图，连接，    在平行四边形中，, 根据同底等高可得， ， ， 同理，， 因为甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米， 所以丙的面积（平方厘米）； 故答案为：27． 【点睛】解答此题的关键是两直线平行时三角形同底等高时面积相等的性质，进行分析，进而解决问题． 【例4】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【核心考点三 判断能否构成平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【例3】 （24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 【核心考点四 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，仍不能使四边形是平行四边形，符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：A、添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； B、添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； C、添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； D、添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，我们要结合已知条件来选择合适的判定方式添加条件． 【详解】解：已知，又添加了，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”， ∵这里和这组对边既相等（ ）又平行（ ）， ∴四边形是平行四边形， 已知，再添加，此时四边形的两组对边分别相等，依据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：或 【例4】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【核心考点五 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（2025八年级下·江西·模拟预测）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山西阳泉·期中）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 【核心考点六 证明四边形是平行四边形】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选C． 【例2】（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图，点P是直线n外一点，在n上取两点M、N，分别以P、N为圆心，、长为半径画弧．两弧交于点Q，分别连接、、，则四边形是平行四边形，理由是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，尺规作图，掌握平行四边形的判定方法和从尺规作图的作法中获取条件是解题的关键； 根据尺规作图的作法可得，，，从而可得四边形是平行四边形． 【详解】根据尺规作图的作法可得，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【例4】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知：和线段， 求作：平行四边形，使， 作法；如图． （）在射线上截取，在射线上截取； （）分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （）连接、 如果是一个直角，那么这个平行四边形就是一个矩形． 你认为王芳同学做出判断的依据是： ． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形都是矩形， 做出判断的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【核心考点七 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【例4】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是 ． 【答案】平行四边形或正方形/正方形或平行四边形 【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,进而可得，再根据题意拼接成四边形，进而证明四边形是正方形或者平行四边形即可 【详解】根据题意，是等腰三角形 , ， 又 ①如图，若拼成如下图形，则 四边形是菱形， 又 四边形是正方形 ②如图， 四边形是平行四边 故答案为：平行四边形或正方形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形和平行四边形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 【核心考点八 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）将一副三角板在四边形中按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用平行四边形的判定与性质求解、根据平行线判定与性质求角度 略 【例3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是 度． 【答案】68 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先结合两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，即可作答． 【详解】解：，依题意，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：68． 【例4】（24-25八年级下·河南开封·月考）如图，在平行四边形中，，点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为．在点P，Q的运动过程中，t为 时，四边形为平行四边形．    【答案】或10 【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，由此分情况构建方程，可得结论． 【详解】解：∵P的速度为每秒， ∴， ∵Q是速度为每秒， ∴， 当时，； 当时，； ∵四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴或， 解得或10， 答：t为或10时，四边形为平行四边形． 故答案为：或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，分弄清Q在上往返运动情况是解决此题的关键． 【核心考点九 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键． 由条件可知，可证明四边形为平行四边形，可得到． 【详解】由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ， 故选：C． 【例2】 （2025·河北邯郸·二模）如图1，中，，为锐角．要用尺规作图的方法在对边上分别找点M，N，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（        ） 甲：按照如图所示的方法，分别在上确定点M，N． 乙：分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，交于点N，M． 丙：在上取一点N，使，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点M．    A．只有乙、丙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．甲、乙、丙都是 【答案】C 【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形，根据乙的作图，不能判断是平行四边形． 【详解】解：甲：由作图可知，为，的中点， 即， 四边形是平行四边形， ，， ，， 是平行四边形； 乙：由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 是平行四边形； 丙：四边形是平行四边形， ，，， 由作图可知，， ， ， 不能判断，则不能判断， 所以不能判断四边形是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【例4】 （24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【核心考点十 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【例3】（2025·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【答案】 【分析】取格点E，连接，构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接，    ∵，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握构造平行四边形是解题的关键． 【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 【核心考点十一 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，B，C均在网格线的交点上，点，分别是边与的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．点，分别是边与的中点，则是的中位线，，由勾股定理求得长，即可得出结论． 【详解】解：点，分别是边与的中点， 则是的中位线， ∴， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，地面上A，B两处被池塘隔开，为测量A，B两处的距离，可在岸边选一点C，分别连接，，依次取它们的中点D，E，若测得米，则A，B两处的距离是 米． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， 故答案为：30． 【核心考点十二 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，E、F、G分别是三边的中点，若四边形是菱形，则应当满足的条件是（    ） A．任意三角形 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，要使四边形是菱形，则，即，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，E、F、G分别是三边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则，即， 故选；C． 【例2】（24-25九年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别是边，，的中点，在图中能画出多少个平行四边形（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由于D、E、F分别是边，，的中点，易知、、都是的中位线，那么，，，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形． 【详解】解：∵D、E、F分别是边，，， ∴、、都是的中位线 ∴，，， ∴四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容． 【例3】（2025·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 【例四】（2024·山东济南·二模）如图，中，，是斜边上的中线． 某同学按照如下步骤画图： （1）取的中点F； （2）连接并延长到E，使； （3）连接，．所得四边形的形状是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论． 【详解】解：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∵，点F为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形。 【核心考点十三 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 【例2】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， 分别是的中点， ， 是的中位线， ， 需要篱笆的长是． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到． 【例4】（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 【变式训练1 求平行线间的距离】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 【变式训练2 利用平行线间距离解决问题】 1．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线间的距离等知识，正确找出两个全等三角形的性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再求出点到地面的高度，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵处距地面， ∴处距地面， ∴点距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点到地面的高度等于点到地面的高度， ∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ； （3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． （1）根据“距离坐标”定义解答即可； （2）根据距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0解答即可； （3）根据代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，求解即可；通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上，解答即可． 【详解】解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和． 故答案为： （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为：． （3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”． 故答案为：2，4． 3．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键． （1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【变式训练3 判断能否构成平行四边形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知直角坐标系内四个点．以点为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它成为平行四边形． 【答案】不一定是平行四边形，添加 【分析】利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【详解】解：以点 为顶点的四边形不一定是平行四边形， 添加， ∵点， ∴轴，轴， ∴， ∵， ∴ ∴以点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 4．（2025·浙江温州·一模）如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图： (1)在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C、D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6； (2)在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作底为2，高为3的平行四边形即可； （2）利用数形结合的思想作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形ACBD即为所求作． （2）如图2，四边形ABEF即为所求作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练4 添一个条件成为平行四边形】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一排除即可，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形，原选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级·四川广安·期中）如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    【答案】（不唯一） 【分析】连结，交于点O，然后根据平行四边形的判定和性质可以得到解答． 【详解】解：如图，连结，交于点O，    ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 若，则即 ∴四边形为平行四边形， 故答案为（不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 【答案】(1)①②④ (2)①（答案不唯一），见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）解：选择①，，、为垂足； 证明：∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 【变式训练5 数图形中平行四边形的个数】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建漳州·月考）如图，在中，，，分别是边，，的中点． (1)图中共有___________个平行四边形； (2)请写出其中一个平行四边形___________，并证明你的结论． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型． （1）利用三角形中位线定理求解； （2）根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】（1）解：由图可得四边形、四边形、四边形是平行四边形，图中共有3个平行四边形； 故答案为：． （2）解：①四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ③四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【答案】5，图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：    故答案为：5． 【变式训练6 证明四边形是平行四边形】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等即可判断Ⅰ可行，证明得出，同Ⅰ的方法即可判断四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：方案Ⅰ，根据作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 方案Ⅱ，∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ 在中， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 【详解】如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且的面积等于6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)72 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质及，证明即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得，再由，得这三个三角形的面积相等，从而得的面积，由即可求得结果． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式训练7 全等三角形拼平行四边形问题】 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）图1、过平行四边形的一个顶点作高，沿这条高裁剪，即可拼成一个矩形； （2）图2、沿短对角线裁剪，将两个三角形的长边重合，即可得到正方形； （3）图3、过一个顶点和长边的中点剪开，将得到的三角形旋转180度即可得到一个角为135度的三角形． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程． 【变式训练8 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）中，点在边上，，点是中点，若，． (1)用，表示：______，______，______； (2)作向量：． 【答案】(1)，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的判定和性质，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形法则进行求解即可； （）作，则四边形是平行四边形，所以，可得，故有即为所求． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵点是中点， ∴ ∴，， 故答案为：，，； （2）解：如图，作， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即为所求． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解； （2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解． 【详解】（1）解：由平移得： ，， ， ， ； （2）解：由平移得： ， ，， 四边形是平行四边形， 点落在的中点处， ， 四边形的面积为： ． 【变式训练9 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，六边形是正六边形，四边形是正方形，是正三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键； 连接，，由正多边形的性质可知是正三角形，再由正方形的性质可知，，可得到，即可求解． 【详解】解：连接，， 是正三角形， ，， 六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ， 是正三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； 故选：C． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有 填写序号 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ②， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ③， ， 平分， ， ， ， ，不能判定四边形是菱形； ④， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到，利用等边三角形的性质，得到根据得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，推出，等量代换得到，即可得证； （3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：中，， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （2）证明：是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 四边形ADFE是平行四边形． （3）解：， 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式训练10 平行四边形性质和判定的应用】 1．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【答案】C 【分析】构造四边形FEPP′为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 【详解】作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， ∴四边形FEPP′为平行四边形，∴P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故选：C． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是构造平行四边形． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 3．（2025·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 4．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 【变式训练11 与三角形中位线有关的求解问题】 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为 为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的判定． 根据点、分别是、的中点，得到，，，从而证得，得到，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．若，则的取值可以为（   ） A．2                        B．5               C．                    D．3 （2）在（1）的条件下，当取得最小值时，求的度数． 【答案】(1)B，C；(2)． 【分析】本题考查等边三角形中，轴对称的性质，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长是解题的关键． (1)由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时取得最小值，当点F与点A重合时，求出，即， 即可解答； (2)先求出，由（1），得当取得最小值时，，且E是的中点，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：（1）∵是等边三角形且边长为4，是边上的中线， ∴，， ∴点B和点C关于轴对称， 连接交于点F，则， ∴，即此时取得最小值， ∵等边的边长为4，E是的中点， ∴，， ∴， ∴， 当点F与点A重合时，， ∴， 即， 故选B，C． (2)∵是等边三角形且边长为4， ∴， 由（1），得 当取得最小值时，，且E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练12 与三角形中位线有关的证明】 1．（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定方法是解题的关键； 根据三角形的中位线定理可得，进而可得，即可得出四边形是平行四边形，结合可得，得到四边形是菱形，即得答案． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定定理可证明结论； （2）由三角形高的定义和三角形内角和定理可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此可证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵在中，D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点 分别在边上．给出5个论断： ①，②，③，④，⑤． (1)如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗?答： ； (2)从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是 (只需填论断的序号)； (3)用(2)中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明． 【答案】(1)一定 (2)①③④ (3)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边等于斜边的一半）、三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是通过构造中位线，将与转化为同一条线段的2倍，从而建立等量关系． （1）由①②③得是的中线兼高，故（三线合一）；在中，得，结合则，利用可推出，故⑤一定成立． （2）分析组合：①②③缺角度无法联线段；①②④缺中点无法构造线段倍分关系；②③④缺无法证；仅①③④可通过辅助线证，故选①③④． （3）取的中点F，由三角形中位线定理，再由可得，等量代换得． 【详解】（1）解：∵①，②，③， ∴是中边上的中线且高，故（等腰三角形三线合一）； 在中，角所对直角边等于斜边的一半）， 又 ∴； ∵， ∴． 故答案为：一定． （2）解：若选①②③：仅知、为高且E为中点，无角度条件，无法证； 若选①②④：无（中点）条件，无法构造线段倍分关系，不能证； 若选②③④：无条件，无法证，不能用角性质，无法证； 若选①③④：可通过作平行线构造中位线，证得，符合要求． 故答案为：①③④． （3）已知：如图，在中，点分别在边上，． 求证：． 证明：如图，取的中点F，连接，则为的中位线， ∴ 又∵， ∴， 在中，， ∴，又， ∴． 【变式训练13 三角形中位线的实际应用】 1．（24-25九年级上·山西临汾·期中）第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 3．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，与交于点，连接，即为所求； （2）分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）如图所示；    作法：连接，与交于点，连接，即为所求； 证明：∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵，M为的中点， ∴为的中位线， ∴是的中点， 即为的边上的中线． （2）如图所示；    作法：分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求；如图：    证明：∵四边形为平行四边形， ∴，是平行四边形的对角线， ∴点是，的中点， 又∵为的中位线， ∴， ∴的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即是的中点， ∵， ∴是的边上的高． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在四边形中，，再添加下列其中一个条件后，四边形不一定是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：A、∵，若，则四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B、∵，若，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B选项符合题意； C、∵，若，则四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，若，则四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 4．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的定义和性质；由三角形中位线的性质可得，，相加即可求解. 【详解】解：∵的边，，上的中点分别是D，E，F，且，， ∴、为的中位线， ∴， ∴四边形的周长为. 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，由平行四边形的性质得，，，可得，由判定，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， （）， ， ． 故答案为：． 9．（2025·浙江湖州·三模）如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中位线定理，斜边上的中线，根据三角形的中位线定理，求出的长，进而求出的长，根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 10．（24-25八年级下·江西新余·期中）如图，在矩形中，，，点从点A向点以每秒的速度运动，同时点以每秒的速度从点出发，在，两点之间做往返运动，点到达点时，，两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为 s时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．    【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，解题关键是要注意数形结合与方程思想的应用； 利用矩形对边平行且的性质，明确当时，四边形是矩形． 根据点在不同时间段的运动方向，分、 、 、这几个时间段，分别表示出和的长度表达式．在各时间段内令列方程求解，并根据实际情况对解进行取舍，从而得出满足条件的时间值． 【详解】根据题意可知：当点P到达点D时，点Q将由运动， 因为四边形是矩形， 所以，， 则 ， 当时，四边形是矩形 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ， 此时点到达点，点也停止运动，这种情况不符合构成四边形的条件，应舍去． ∴当运动时间为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的长，并判断四边形是否为平行四边形． 【答案】，四边形为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等四边形是平行四边形的判定方法是解决问题的关键．由勾股定理可得出即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：， ． 在中，，， ． ， ． 在中，，， ， ． 又， 四边形为平行四边形． 12．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【答案】标语的长度为16米 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由平行线的性质可得，利用定理可得，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ，即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ， 在与中，， ∴， 米． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形网格的特点和平行四边形的判定确定出点D位置即可； （2）根据正方形网格的特点可作出CE⊥AB，此时最短，然后作CD∥AB，再根据正方形网格的特点作出点F，可得BE＝CF，即此时四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：点D位置如图所示： （2）解：点E、F位置如图所示： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及正方形网格的特点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 15．（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平行四边形及其性质与判定（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 求平行线间的距离 题型二 利用平行线间距离解决问题 题型三 判断能否构成平行四边形 题型四 添一个条件成为平行四边形 题型五 数图形中平行四边形的个数 题型六 证明四边形是平行四边形 题型七 全等三角形拼平行四边形问题 题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 题型九 利用平行四边形性质和判定证明 题型十 平行四边形性质和判定的应用 题型十一 与三角形中位线有关的求解问题 题型十二 与三角形中位线有关的证明 题型十三 三角形中位线的实际应用 知识点一：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 知识点二：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 知识点三：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 2. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 3. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，E为边上的三等分点（），F为边的中点，过点E，F分别作，的平行线，记交点为D．若，则四边形的面积为 ． 知识点四：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为 ． 【核心考点一 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是 ． 【例4】 （24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【核心考点二 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米，则丙的面积是 平方厘米．    【例4】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【核心考点三 判断能否构成平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3】 （24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【核心考点四 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 【例4】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【核心考点五 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（2025八年级下·江西·模拟预测）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【例2】（24-25八年级下·山西阳泉·期中）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【例4】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【核心考点六 证明四边形是平行四边形】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【例2】（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图，点P是直线n外一点，在n上取两点M、N，分别以P、N为圆心，、长为半径画弧．两弧交于点Q，分别连接、、，则四边形是平行四边形，理由是 ． 【例4】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知：和线段， 求作：平行四边形，使， 作法；如图． （）在射线上截取，在射线上截取； （）分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （）连接、 如果是一个直角，那么这个平行四边形就是一个矩形． 你认为王芳同学做出判断的依据是： ． 【核心考点七 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【例4】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是 ． 【核心考点八 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）将一副三角板在四边形中按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是 度． 【例4】（24-25八年级下·河南开封·月考）如图，在平行四边形中，，点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为．在点P，Q的运动过程中，t为 时，四边形为平行四边形．    【核心考点九 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （2025·河北邯郸·二模）如图1，中，，为锐角．要用尺规作图的方法在对边上分别找点M，N，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（        ） 甲：按照如图所示的方法，分别在上确定点M，N． 乙：分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，交于点N，M． 丙：在上取一点N，使，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点M．    A．只有乙、丙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．甲、乙、丙都是 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【例4】 （24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【核心考点十 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【例3】（2025·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【核心考点十一 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【例3】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，B，C均在网格线的交点上，点，分别是边与的中点，连接，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，地面上A，B两处被池塘隔开，为测量A，B两处的距离，可在岸边选一点C，分别连接，，依次取它们的中点D，E，若测得米，则A，B两处的距离是 米． 【核心考点十二 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，E、F、G分别是三边的中点，若四边形是菱形，则应当满足的条件是（    ） A．任意三角形 B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别是边，，的中点，在图中能画出多少个平行四边形（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【例四】（2024·山东济南·二模）如图，中，，是斜边上的中线． 某同学按照如下步骤画图： （1）取的中点F； （2）连接并延长到E，使； （3）连接，．所得四边形的形状是 ． 【核心考点十三 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 【例4】（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【变式训练1 求平行线间的距离】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【变式训练2 利用平行线间距离解决问题】 1．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ； （3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个． 3．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【变式训练3 判断能否构成平行四边形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知直角坐标系内四个点．以点为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它成为平行四边形． 4．（2025·浙江温州·一模）如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图： (1)在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C、D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6； (2)在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为． 【变式训练4 添一个条件成为平行四边形】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B．， C． D．， 2．（24-25八年级·四川广安·期中）如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 【变式训练5 数图形中平行四边形的个数】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 3．（24-25八年级下·福建漳州·月考）如图，在中，，，分别是边，，的中点． (1)图中共有___________个平行四边形； (2)请写出其中一个平行四边形___________，并证明你的结论． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【变式训练6 证明四边形是平行四边形】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 2．（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且的面积等于6，求的面积． 【变式训练7 全等三角形拼平行四边形问题】 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 【变式训练8 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）中，点在边上，，点是中点，若，． (1)用，表示：______，______，______； (2)作向量：． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【变式训练9 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，六边形是正六边形，四边形是正方形，是正三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有 填写序号 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【变式训练10 平行四边形性质和判定的应用】 1．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则 ． 3．（2025·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 4．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【变式训练11 与三角形中位线有关的求解问题】 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为 为正整数． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．若，则的取值可以为（   ） A．2                        B．5               C．                    D．3 （2）在（1）的条件下，当取得最小值时，求的度数． 【变式训练12 与三角形中位线有关的证明】 1．（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点 分别在边上．给出5个论断： ①，②，③，④，⑤． (1)如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗?答： ； (2)从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是 (只需填论断的序号)； (3)用(2)中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明． 【变式训练13 三角形中位线的实际应用】 1．（24-25九年级上·山西临汾·期中）第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 3．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 4．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在四边形中，，再添加下列其中一个条件后，四边形不一定是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 4．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为 ． 7．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为 ． 9．（2025·浙江湖州·三模）如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 10．（24-25八年级下·江西新余·期中）如图，在矩形中，，，点从点A向点以每秒的速度运动，同时点以每秒的速度从点出发，在，两点之间做往返运动，点到达点时，，两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为 s时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．    11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的长，并判断四边形是否为平行四边形． 12．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 15．（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $