第10讲 矩形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第10讲 矩形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 斜边的中线等于斜边的一半 题型六 矩形与折叠问题 题型七 证明四边形是矩形 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）“六一儿童节”快到了，学校要在操场上布置一个矩形的花坛，计划用鲜花摆成对角线，如果一条对角线用了27盆花，还需要再搬来（   ）盆花？ A．28 B．26 C．27 D．25 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）写出一条矩形特殊于平行四边形的性质 ． 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）矩形的性质： ①．矩形是特殊的平行四边形，具有 的一切性质． ②．矩形的 都是直角． ③．矩形的对角线 ． ④．矩形既是 对称图形又是 对称图形． 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东深圳·月考）已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林四平·期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【核心考点一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【例3】（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 【例4】（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【核心考点二 矩形的判定定理理解】 【例1】（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（    ）    A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中的三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【核心考点三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【例4】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）． 【核心考点四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】 （24-25八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【例3】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【例4】 （24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【核心考点五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（    ） A．10千米 B．8千米 C．6千米 D．5千米 【例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，，，点D为的中点，则 ． 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，技术人员利用有些磨损的刻度直尺（单位：）测量直角三角形模具的尺寸，，点A，B，D分别对应刻度尺上的数字1，9，5，推算的长为 ． 【核心考点六 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·吉林白城·月考）如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 【例2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【例3】（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则 ． 【例4】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为 ． 【核心考点七 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·广东清远·月考）如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【例2】（25-26九年级上·河北保定·月考）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（  ） A．甲能，乙不能 B．乙能，甲不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【例3】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【例4】（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是： ． 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比 【核心考点八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【例4】 （24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【核心考点九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【例3】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，且，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ． 【例4】（24-25八年级下·湖南益阳·自主招生）如图，在一次数学课外实践活动中，小英在距离旗杆的处测得旗杆顶端的仰角，测角仪高为．则旗杆高为 ． 【核心考点十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 ． 【例4】（2025·河北石家庄·二模）正方形的边长为4，点为边上一动点，以为边作矩形，且边过点． ①当点移动到中点时，矩形的面积是 ． ②在点从点移动到点的过程中，矩形的面积 ．（填序号） ①先变大后变小             ②先变小后变大     ③一直变大                  ④保持不变 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C．32 D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， (1)如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． (2)如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，作中边上的高； (3)在图3中，找到点，连接，使得四边形为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形的面积． 【变式训练2 矩形的判定定理理解】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【变式训练3 添一条件使四边形是矩形】 1．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【变式训练4 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【变式训练5 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 3．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）如图，在中，，D是上一点，，垂足为点E，连接，M、N分别是的中点，求证：． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，求四边形的周长． (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【变式训练6 矩形与折叠问题】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 4．（24-25八年级下·吉林松原·月考）（1）【感知】如图①，小明将矩形纸片对折，找到它的一条对称轴为，展开得到折痕，连接，则与的数量关系是______； （2）【探究】如图②，G为图①中矩形纸片的边上的点，小明沿折叠使点D的对应点H落在上，连接，其他条件不变．求证：是等边三角形； （3）【应用】如图③，连接图②中的并延长，交边于点M，当四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【变式训练7 证明四边形是矩形】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得，试判断四边形的形状，并说明理由． 4．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，______ ． 请从“①，②，③”这三组条件中选1个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式训练8 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 2．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 【变式训练9 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是 ． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【变式训练10 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 1．（24-25八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D．平分 2．（24-25九年级上·福建漳州·月考）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，点落在点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）数学综合实践课上，张老师布置了一道作图题，已知线段和，且满足．求作：矩形．以下是贝贝、佳佳两位同学的作业． 贝贝：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点A为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求（如图1）． 佳佳：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．贝贝、佳佳两人的作法都不对 B．贝贝、佳佳两人的作法都对 C．贝贝的对，佳佳的不对 D．贝贝的不对，佳佳的对 6．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    7．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·江西九江·月考）如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为 ． 9．（24-25九年级上·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 10．（2024·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在，E、F分别是的中点，求证：． 12．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 14．（24-25八年级下·山东淄博·月考）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 15．（24-25八年级下·山西长治·月考）阅读下列材料，完成后面的任务： 如图，在和中，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，若，则有．这道题表明，同底等高的两个三角形的面积相等，我们把这个结论称为等面积．它是一种重要的解题方法．在数学解题中，有着重要的应用． 下面是它的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ……    任务： (1)请将上述证明过程补充完整 (2)如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上一点，连接AE，BE．若，求．    学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 矩形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 斜边的中线等于斜边的一半 题型六 矩形与折叠问题 题型七 证明四边形是矩形 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）“六一儿童节”快到了，学校要在操场上布置一个矩形的花坛，计划用鲜花摆成对角线，如果一条对角线用了27盆花，还需要再搬来（   ）盆花？ A．28 B．26 C．27 D．25 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质．根据题意利用矩形性质即可得到本题答案． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等， 一条对角线用了27盆鲜花，但是对角线交点处，省去一盆花， 还需要从花房运来鲜花26盆． 故选：B 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）写出一条矩形特殊于平行四边形的性质 ． 【答案】对角线相等或四个角都是直角（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，根据矩形与平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分； 平行四边形的性质：①平行四边形对边平行且相等；②平行四边形对角相等，邻角互补；③平行四边形的对角线互相平分 ∴矩形特殊于平行四边形的性质对角线相等或四个角都是直角． 故答案为：对角线相等或四个角都是直角（答案不唯一）． 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 2．（2025九年级上·全国·专题练习）矩形的性质： ①．矩形是特殊的平行四边形，具有 的一切性质． ②．矩形的 都是直角． ③．矩形的对角线 ． ④．矩形既是 对称图形又是 对称图形． 【答案】 平行四边形 四个角 相等 中心 轴 【解析】略 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东深圳·月考）已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形，故A不符合题意； ∵， 根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形， 故B不符合题意； ∵， ∴， 但不一定与相等，无法判定四边形是矩形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林四平·期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”） 【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形 【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案是三个角是直角的四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用． 【核心考点一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段中线的性质，掌握三角形的中线性质是解题关键，连接，根据题意得出，，． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 空白部分和阴影部分的面积相等， 阴影部分面积和矩形面积的比是； 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 【核心考点二 矩形的判定定理理解】 【例1】（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（    ）    A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中的三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【例4】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 【核心考点三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，故D不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据题意，推出，得到四边形为平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵两个完全相同的三角尺和， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形； 故答案为：（答案不唯一） 【核心考点四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】 （24-25八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【例4】 （24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【核心考点五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（    ） A．10千米 B．8千米 C．6千米 D．5千米 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，千米， ∴千米． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，，，点D为的中点，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 故答案为：7． 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，技术人员利用有些磨损的刻度直尺（单位：）测量直角三角形模具的尺寸，，点A，B，D分别对应刻度尺上的数字1，9，5，推算的长为 ． 【答案】4 【分析】先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故答案为：4． 【核心考点六 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·吉林白城·月考）如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，即得，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用矩形的性质和翻折的性质得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， 由翻折的性质可得， ， ， 假设，则，在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 的面积为， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质． 根据轴对称和矩形性质，得，结合，经计算即可得到答案． 【详解】由题意可知和关于直线对称， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 【核心考点七 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·广东清远·月考）如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·河北保定·月考）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（  ） A．甲能，乙不能 B．乙能，甲不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：甲用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 乙用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度分别相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是否矩形． 故选C． 【例3】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 【例4】（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是： ． 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【核心考点八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【例4】 （24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【核心考点九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，证明四边形是矩形，可得，由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴点D从点A出发沿着线段运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，且，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ． 【答案】80 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质．过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作，过点O作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：80． 【例4】（24-25八年级下·湖南益阳·自主招生）如图，在一次数学课外实践活动中，小英在距离旗杆的处测得旗杆顶端的仰角，测角仪高为．则旗杆高为 ． 【答案】11 【分析】过点作，垂足为，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【核心考点十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得． 【详解】解：如图，过点 D 作于点G， ∵ 四边形 是矩形， ∴， ． ∴ 四边形是矩形． ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC =S矩形B′C′CB =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【例4】（2025·河北石家庄·二模）正方形的边长为4，点为边上一动点，以为边作矩形，且边过点． ①当点移动到中点时，矩形的面积是 ． ②在点从点移动到点的过程中，矩形的面积 ．（填序号） ①先变大后变小             ②先变小后变大     ③一直变大                  ④保持不变 【答案】 ④ 【分析】连接，则的面积是矩形的面积的一半，故矩形的面积保持不变，由此进行计算分析． 【详解】连接，则． 矩形的面积保持不变，面积为． 故答案为：，④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是将矩形的面积转化为与的面积的关系． 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C．32 D． 【答案】C 【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，由图形可知AE = CF= AF= CE = 4，DE=BF=4，则BC=8，即可得出结论． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD与E，如图所示； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴AF⊥AD，CE⊥BC， ∴四边形AFCE是矩形， ∴AE=CF， ∴DE = BF， 由图形可知： AE =CF=AF=CE=4，DE=BF=A， ∴BC= BF + CF = 8， ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AF=8×4=32， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ． 【答案】10km 【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图： 观察图形可得：（km）， （km）， 在中， （km）． 故答案为：10km． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， (1)如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． (2)如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质． （1）根据矩形的对角线相等且互相平分，即可得出结果； （2）由矩形的性质可知，，，，由，可知是等边三角形，得，，再结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． (1)在图1中，作中边上的中线； (2)在图2中，作中边上的高； (3)在图3中，找到点，连接，使得四边形为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查复杂作图，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，交于点，则点为的中点，连接，则即为所求； （2）取格点，连接，则，取格点，连接，交于点，构造，则，即为边上的高； （3）取格点，连接，与交于点，过点作直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，为边上的高； （3）解：如图，点，直线即为所作； 【变式训练2 矩形的判定定理理解】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 4．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图,平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识， （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作． （2）连接，交于点，连接，延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，点，四边形即为所求作． （2）如图，四边形即为所求作．    理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：，可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【变式训练3 添一条件使四边形是矩形】 1．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】解：（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)（或或，，） (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定方法添加条件即可； （2）证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再利用添加的条件证明即可． 【详解】（1）解：添加：（或或，，）； （2）证明：证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于模拟预测常考题型． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①或②（选一项即可） (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据矩形的判定定理选择条件即可； （2）选择①：过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点，证明，进而即可得到结论； 选择②：根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①或②（选一项即可）； （2）选择①：证明：如图，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 为矩形； 选择②：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为矩形． 【变式训练4 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系与四边形的结合问题，熟练掌握图形翻折前后全等的性质是解题的关键； （1）由折叠可得，，可得，再根据勾股定理求出的长，即可得到点坐标； （2）同样利用折叠得到，四边形与四边形全等，设，则，利用勾股定理求出的长，进而得到，根据菱形的判定即可得到四边形的形状； （3）过点作轴于点，根据（2）的结论，利用求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点坐标为， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 在中， ， ∴点的坐标为． （2）解：由题可得图如下：    由折叠知，四边形与四边形全等，点坐标为， ∴，，， 设， ∵点， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ∴四边形为菱形． （3）解：过点作轴于点，如图所示：    由（2）得：， ， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 【变式训练5 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和数轴上两点间距离的计算，熟练掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先根据数轴求出的长度，再利用直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），结合是中点的条件，求出的长． 【详解】解：∵、在数轴上对应的数分别为、， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 3．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）如图，在中，，D是上一点，，垂足为点E，连接，M、N分别是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：如图，连接、， ，，是的中点， ， 是的中点， ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，求四边形的周长． (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，，根据四边形周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的判定可证明点在的垂直平分线上，点也在的垂直平分线上，则题目可证． 【详解】（1）解：是高， ， 在中，是的中点， ， 同理可得：， 四边形的周长为：； （2）解：， 证明如下：， 点在的垂直平分线上， 同理：点在的垂直平分线上， ． 【变式训练6 矩形与折叠问题】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，由折叠的性质可知，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 由折叠可知， 在中，， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， . 故选：D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质找边之间的关系． (1)设，由折叠的性质可知，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度； (2)根据矩形的性质和折叠的性质可知，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：设，由折叠的性质可知， 长方形中，，． ，， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ，， 由折叠可知， ， ， 4．（24-25八年级下·吉林松原·月考）（1）【感知】如图①，小明将矩形纸片对折，找到它的一条对称轴为，展开得到折痕，连接，则与的数量关系是______； （2）【探究】如图②，G为图①中矩形纸片的边上的点，小明沿折叠使点D的对应点H落在上，连接，其他条件不变．求证：是等边三角形； （3）【应用】如图③，连接图②中的并延长，交边于点M，当四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据是的垂直平分线得出； （2）根据轴对称的性质得出，根据是的垂直平分线得出，从而得出结论； （3）根据是等边三角形得出，根据轴对称的性质得出，根据平行四边形的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，从而，进而得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵折叠使点的对应点落在上， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∵折叠使点的对应点落在上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 【变式训练7 证明四边形是矩形】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识，根据作图步骤和矩形的判定分别进行证明即可. 【详解】解：两人都正确，理由如下： 嘉嘉：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确； 明明：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故明明的作图正确； 故选：C 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），解题的关键是明确已知图形为平行四边形，再结合对角线相等的条件，匹配对应的矩形判定定理． 先确定书架是平行四边形，工人师傅测量得其对角线与长度相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，即可判断该平行四边形书架为矩形，由此得出所用的数学原理． 【详解】解：已知书架是平行四边形，工人师傅通过测量发现其对角线；   根据矩形的判定定理，当平行四边形的对角线相等时，该平行四边形为矩形；   因此，所用的数学原理是“对角线相等的平行四边形是矩形”．   故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【分析】此题考查了矩形的判定等知识，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是矩形，理由如下： ，是中点， ， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 4．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，______ ． 请从“①，②，③”这三组条件中选1个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6． 【分析】（1）根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形得到，根据含30度直角三角形的性质即可求出答案． 本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 选择③，不能证明四边形是矩形， 故答案为：①或②； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练8 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)10° 【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形． （2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵于点E，于点F， ∴， 又∵  ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是矩形； （2）由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式训练9 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 过点作于点，此时只有这一种情况，则,，由等腰三角形的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴,， ∴， ∴为等腰三角形，只能是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定解答即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质，，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【详解】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式训练10 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． （2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∴的面积是． 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 1．（24-25八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据矩形的性质即可得． 【详解】解：由题意，画图如下： ， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， ，平分均不一定正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·福建漳州·月考）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，还考查了互余关系；由矩形性质知，则有；再由，得；由及，得，从而可判定选项A、B、D正确，选项C错误； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 即选项A、B、D正确， 当或是等边三角形时，有，否则不相等； 故选项C错误； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，点落在点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形折叠性质，先根据矩形性质得到，，，设，则，再由折叠性质得到，，，根据勾股定理列式，即可求出结果． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，． 设，则． 根据折叠的性质，得，，． 在中， ， ，解得5， ． 故选：C 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】延长交于，交于，交于，根据长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，可得，，并且四边形、四边形都为矩形，可求得，根据求解即可． 【详解】解：如图示，延长交于，交于，交于， ∵长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形， ∴，， ∴， ∴，，并且四边形、四边形都为矩形， ∴，， ∴ =4×2=8， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·月考）数学综合实践课上，张老师布置了一道作图题，已知线段和，且满足．求作：矩形．以下是贝贝、佳佳两位同学的作业． 贝贝：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点A为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求（如图1）． 佳佳：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．贝贝、佳佳两人的作法都不对 B．贝贝、佳佳两人的作法都对 C．贝贝的对，佳佳的不对 D．贝贝的不对，佳佳的对 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定,熟练掌握矩形的判定定理成为解题的关键. 根据两种画法的过程结合矩形的判定性质判断即可. 【详解】解：由甲的作法可知， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴平行四边形是矩形． ∴甲的作法正确． 由乙的作法可知． ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴平行四边形是矩形． ∴乙的作法正确． 故选B． 6．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 7．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握知识点是解题的关键． 明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图所示，连接，，在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ，当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·江西九江·月考）如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或3或 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．当为直角三角形时，有三种情况能组成直角三角形，画出对应的示意图，根据勾股定理和矩形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 当为直角三角形时，分以下三种情况： ①如图1，点P在上，， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ②如图2，点P与点C重合，，此时； ③如图3，点P在上，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为4或3或． 故答案为：4或3或． 9．（24-25九年级上·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 10．（2024·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在，E、F分别是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的三线合一，正确连出辅助线是解题的关键． 连接、，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，即，再根据等腰三角形的三线合一即可得到结论． 【详解】证明：连接、，如图． ，为的中点， ，， ， 又为的中点， ． 12．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【详解】（1）添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，根据勾股定理列方程解出的值，求出和的长，再利用勾股定理求出，则答案可求出． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； （2）解：， 设，则， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 在中，， ， ， ，， ， ． 14．（24-25八年级下·山东淄博·月考）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；（4）条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．结论： 【分析】（1）过作于点，由矩形得到，且互相平分，，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）过作于点，同理可证，即可证明； （3）连接和，交于O，由正方形的性质得出，，由三角形面积关系得出，证出，即可得出结论； （4）由图1、图2、图3的特性求解即可． 【详解】解：（1）证明：过作于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴，且互相平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即． （2）结论： 证明：过作于点，如图： 同理可证， ∵， ∴ ∴，即； （3）解：； 连接和，交于O，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点F，于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）由图1、图2、图3的特性可得，如图①， 条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高． 结论：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的和差等知识点，适当添加辅助线是解决问题的关键． 15．（24-25八年级下·山西长治·月考）阅读下列材料，完成后面的任务： 如图，在和中，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，若，则有．这道题表明，同底等高的两个三角形的面积相等，我们把这个结论称为等面积．它是一种重要的解题方法．在数学解题中，有着重要的应用． 下面是它的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ……    任务： (1)请将上述证明过程补充完整 (2)如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上一点，连接AE，BE．若，求．    【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可证四边线是矩形，进而得到，然后根据三角形面积公式表示出，，最后对比即可证明结论； （2）如图，连接AC，由矩形的性质可得、，再运用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边线是矩形， ∴. ∵，， ∴． （2）解：如图，连接AC，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用矩形的性质和等面积法是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $